第2章 第9节 函数模型及应用（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书
第9节 函数模型及应用
课程标准 | 核心素养 | 考情聚焦 |
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 | 1.用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养． 2．应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养． 3．构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养 | 函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力 |
[必备知识]
1．常见的函数模型
函数模型 | 函数解析式 |
一次函数型 | f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) |
二次函数型 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) |
指数函数型 | f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) |
对数函数型 | f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) |
幂函数型 | f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) |
2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数 性质 | y＝ax(a>1) | y＝logax(a>1) | y＝xn(n>0) |
在(0，＋∞)上的增减性 | 单调递增 | 单调递增 | 单调递增 |
增长速度 | 越来越快 | 越来越慢 | 相对平稳 |
图象的变化 | 随x的增大逐渐表现为与 y轴 平行 | 随x的增大逐渐表现为与 x轴 平行 | 随n值变化而各有不同 |
值的比较 | 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax | ||
3.解决应用问题的基本步骤
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(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；
(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；
(3)求解：求解数学问题，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案．
形如f(x)＝x＋
(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－
)和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2.
[自主诊断]
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．( )
(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )
(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
(4)幂函数增长比直线增长更快．( )
(5)指数函数模型一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题．( )
答案：(1)× (2) √ (3)× (4)× (5)√
[小题查验]
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快．]
2．下列函数中随x的增大，增长率最终最大的是( )
A．y＝1 000x B．y＝x2
C．y＝ln x D．y＝(1.01)x
解析：D [当x充分大时，指数函数y＝ax(a＞1)增长最快，因此选D.]
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3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．200只 B．300只
C．400只 D．500只
解析：A [由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，
则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．]
4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－
Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000
＝
－10Q－2 000
＝－ (Q－300)2＋2 500，
所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)．
答案：2 500
5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．
解析：设矩形花园的宽为y m，则
＝
，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
6．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e
k，所以k＝2ln 2，则y＝e2tln 2，当t＝5时 ，
y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
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