第2章 第6节 二次函数与幂函数（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书
第6节 二次函数与幂函数
课程标准 | 核心素养 | 考情聚焦 |
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 2．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 3．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 | 1.幂函数的图象与性质，发展数学抽象和直观想象素养． 2．二次函数的最值问题，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．二次函数零点的分布问题，提升直观想象和逻辑推理素养 | 幂函数、二次函数的图象与性质是高考考查的热点内容，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查数形结合思想，这种思想方法常融合在函数的最值、函数零点的分布问题之中．主要以选择题或填空题的形式出现，属于低中档题，在解答题中常与导数的应用综合，属于中高档题 |
[必备知识]
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数 | y＝x | y＝x2 | y＝x3 |
| y＝x－1 |
定义域 | R | R | R | [0，＋∞) | {x|x≠0} |
值域 | R | [0，＋∞) | R | [0，＋∞) | {y|y≠0} |
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
单调性 | 在R上单调递增 | 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上 | 在R上单调递增 | 在[0，＋∞)上单调递增 | 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 |
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| 单调递增 |
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公共点 | (1,1) | ||||
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) .
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n) .
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) | f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) |
图象 |
|
|
定义域 | (－∞，＋∞) | (－∞，＋∞) |
值域 | | |
单调性 | 在 在 | 在 在 |
对称性 | 函数的图象关于x＝－ | |
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是
[自主诊断]
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)函数
是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是
.( )
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答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
[小题查验]
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点
，则k＋α＝( )
A.
B．1 C.
D．2
解析：C [由幂函数的定义知k＝1.又f
＝
，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.]
2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
解析：B [图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D；图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：A [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－
，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.]
4．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为__________．
解析：∵函数图象与x轴只有一个交点，则顶点在x轴，
∴顶点是(3,0)．
设函数解析式为y＝a(x－3)2
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