第2章 第5节 对数与对数函数（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第5节　对数与对数函数

[必备知识]

1．对数的概念

(1)对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作　x＝logaN　，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两种常见对数

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③alogaN＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)．

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝　logaM＋logaN　；

②loga＝　logaM－logaN　；

③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)；

④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：　logbN＝　(a，b均大于零且不等于1)；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝　logad　.

3．对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线　y＝x　对称．

　对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)

(2)log2x2＝2log2x.(　　)

(3)当x>1时，logax>0.(　　)

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　)

(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

[小题查验]

1．(log29)·(log34)＝(　　)

A.　　　B.　　　C．2　　　D．4

解析：D　[法一：原式＝·＝＝4.

法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.]

2．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．b＜c＜a

C．c＜a＜b  D．c＜b＜a

解析：D　[由a＝50.3＞1＞b＝log0.30.5＞0＞c＝log30.4，∴c＜b＜a.]

3．(多选题)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则(　　)

A．f(ln 2)＝ln

B．f(x)是奇函数

C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

D．f(x)的最小值为ln 2

解析：ACD　[f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln，A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln ex＝ln＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B错误；当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．]

4．(2024·全国甲卷(理))已知a＞1且－＝－，则a＝________.