第2章 第4节 指数与指数函数（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第4节　指数与指数函数

[必备知识]

1．根式

(1)概念：式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)性质：()n＝　a　(a使有意义)；当n为奇数时，＝　a　，当n为偶数时，＝|a|＝

2．分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂　没有意义　.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3．指数函数及其性质

(1)概念：函数　y＝ax(a>0且a≠1)　叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

(2)指数函数的图象与性质

1.()n＝a(n∈N*)．

2.＝

3．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)2a·2b＝2ab.(　　)

(2)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)

(3)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(4)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

[小题查验]

1．化简的结果为(　　)

A．－9　　　 B．7　　　C．－10　　　D．9

解析：B　[原式＝＝8－1＝7.]

2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　)

A．关于y轴对称  B．关于x轴对称

C．关于原点对称  D．关于直线y＝x对称

解析：A　[∵y＝x＝2－x，

∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．]

3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)

A．(1,5)　　B．(1,4)　　C．(0,4)　　D．(4,0)

解析：A　[由a0＝1知，当x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1,5). ]

4．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b  B．c>b>a

C．a>b>c  D．b>a>c

解析：D　[由y＝1.01x在R上单调递增，

则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，

由y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.]

5．已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为　________.

解析：当x＞0时，y＝2x＞1，当x≤0时，y＝1，故值域为[1，＋∞)．

答案：[1，＋∞)

考点一　根式与有理数指数幂的运算(自主练透)

[题组集训]

1．(2026·上海卷)a是不为1的任意实数，则a·＝(　　)

解析：B　[由题意，a·＝a·.]

2．求值与化简．

解：(1)原式＝－(－1)－2·－2＋－1＝－49＋－1＝－45.