第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第3节　函数的奇偶性与周期性

[必备知识]

1．函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　存在一个最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的　最小　正周期．

　　1.函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝

奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数．

2．函数周期性的三个常用结论

对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.

3．函数对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)

(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)

(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 026)＝0.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√

[小题查验]

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A．－　　　B.　　　C.　　　D．－

解析：B　[依题意知b＝0，且2a＝－(a－1)，

∴a＝，则a＋b＝.]

2．下列函数为奇函数的是(　　)

A．y＝2x－  B．y＝x3sin x

C．y＝2cos x＋1  D．y＝x2＋2x

解析：A　[由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数．]

3．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝log4x－1，则＝(　　)

A．－     B．－       C.  D.

4．已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　)

A．－2    B．－1      C．1  D．2

解析：D　[因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，

又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，

即ex＝e(a－1)x，

则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.]

5．(2026·上海卷)已知函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－a，若f(－4)＝3，则a＝________.

答案：－1

考点一　判断函数的奇偶性(自主练透)

[题组集训]

1．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝　　　 B．f(x)＝

C．f(x)＝  D．f(x)＝

解析：B　[对A，f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数，故A错误；对B，f(x)＝，函数定义域为R，