第2章 第2节 函数的单调性与最值（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第2节　函数的单调性与最值

 

[必备知识]

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是　增函数　或　减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，　区间D　叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则有以下结论：①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减；

②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增；

③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．

2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．

3．单调函数的运算性质

(1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：

①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数；

②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数；

(2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；

②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性；

③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性．

4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　)

(2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)

(3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　)

(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　)

(6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√

[小题查验]

1．下列函数中是增函数的为(　　)

A．f(x)＝－x　　　　 B．f(x)＝x

C．f(x)＝x2  D．f(x)＝

解析：D　[AB递减，排除，C有增有减，排除，因此只有D正确．]

2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是(　　)

A．在[－1,1]上单调递减

B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增

C．在[5,7]上单调递减

D．在[3,5]上单调递增

解析：B　[由图象可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝无意义，故排除A，C，D.]

3．以下函数既是奇函数，又是减函数的是(　　)

A．y＝－3x  B．y＝x3

C．y＝log3x  D．y＝3x

解析：A　[选项B、C、D均为增函数，只有A正确．]

4．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)