第1章 第5节 基本不等式（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第5节　基本不等式

 

[必备知识]

1．基本不等式：≤.

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时取等号．

(3)　　称为正数a，b的算术平均数，　　称为正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当　x＝y　时，x＋y有最小值是　2　(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当　x＝y　时，xy有最大值是　　(简记：和定积最大)．

　几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

[自主诊断]

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　)

(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)

(4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　)

(5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

[小题查验]

1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　)

A．ab<　　　　　 B．ab<2

C.>   D. >

解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2及a>b>0，知>ab，ab<2，选项A、B正确；<＝，选项D正确．]

2．(2026·天津卷)的最小值为(　　)

A．10　　　B．9　　　C．8　　　D．6

答案：B

3．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　)

A．a2＋b2>2ab  B.＋≥

C．a＋b>  D.＋≤

解析：C　[由基本不等式结合特例即可判断．

对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错误；对于C，

由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．故选：C.]

4．若实数x，y满足lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则xy的最小值为________．

解析：依题意可知x＞0，y＞0，由lg x＋lg y＝lg(x＋y)，得lg(xy)＝lg(x＋y)，得xy＝x＋y.由基本不等式得xy＝x＋y≥2，即xy－2＝(－2)≥0.

所以≥2，xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最小值为4.

答案：4

5．(2026·上海卷)已知a2＋4b2＝1，则ab的最大值为________．

答案：

考点一　利用基本不等式求最值(多维探究)

[命题点1]　通过配凑法利用基本不等式

[典例]　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

[解析]　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，

当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

[答案]　

(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

[解析]　y＝＝

＝

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．

[答案]　2＋2

[命题点2]　通过常数代换法利用基本不等式

[典例]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)

A．8　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．2

数学运算——基本不等式应用中的核心素养