第1章 第4节 一元二次不等式及其解法（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第4节　一元二次不等式及其解法

[必备知识]

1．一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数　大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．

(2)计算相应的　判别式　.

(3)当　Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根．

(4)利用二次函数的图象与x轴的　公共点情形　确定一元二次不等式的解集．

2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

　简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系

1.＞0等价于(x－a)(x－b)＞0.

2.＜0等价于(x－a)(x－b)＜0.

3.≥0等价于

4.≤0等价于

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

[小题查验]

1．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　　　B．(1,3)

C．(－∞，2)∪(2，＋∞)  D．(1,2)∪(2,3)

解析：D　[由题意知即

故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．]

2．不等式≤0的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(－1,2]  B．[－1,2]

C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)  D．(－1,2]

解析：D　[≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．]

3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则

不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪  B．(4，＋∞)

C.∪(4，＋∞)  D．(－∞，－2)

解析：C　[因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0.

则当x＞3或x＜－3时，f(x)＜0；

当－3＜x＜3时，f(x)＞0.

不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为或.

所以或或

解得x＞4或x∈∅或－2＜x＜，

即－2＜x＜或x＞4，即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．]

4．(2025·上海卷)不等式<0的解集为______．

解析：∵＜0，

∴(x－3)(x－1)＜0，

∴1＜x＜3，

∴原不等式的解集为{x|1＜x＜3}，即(1,3)．

答案：(1,3)

5．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3＜0的解集为　________.

解析：将不等式分解因式得(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3.

答案：(－1,3)

考点一　一元二次不等式的解法(自主练透)

[题组集训]

解关于x的不等式：

(1)x2＋3x＋4＜0；

(2)－3x2－2x＋8≤0；

(3)ax2－(a＋1)x＋1<0.