第1章 第2节 充分条件与必要条件、量词（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第2节　充分条件与必要条件、量词

[必备知识]

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“　∀　”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“　∃　”表示．

3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定

　若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　)

(2)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　)

(3)存在一个集合，它里面没有任何元素．(　　)

(4)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

[小题查验]

1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　)

A．p和q都是真命题

B．綈p和q都是真命题

C．p和綈q都是真命题

D．綈p和綈q都是真命题

解析：B　[因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题．

因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，

即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，

所以命题q为真命题，

所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题．]

2．(2025·北京卷)已知函数 f(x) 的定义域为D，则“函数 f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)| > M”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：A　[若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得|f(x1)|＝|M|＋1，

取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，充分性成立；

取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，

取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立；

所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的充分不必要条件．故选：A.]

3．已知命题p：∃x∈[－1,1]，x2＞a，则綈p为________________．

解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，在对命题进行否定时不能改变其大前提即变量的取值范围x∈[－1,1]，只需要将存在改为任意，后面命题改为其反面即可，因此綈p为∀x∈[－1,1]，x2≤a.

答案：∀x∈[－1,1]，x2≤a

4．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案：充分不必要

5．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________．

解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．即命题p可写为∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1.

答案：∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1

考点一　充分、必要条件的判断与应用(多维探究)

[命题角度1]　充分、必要条件的判定

1．(2026·天津卷)设x∈R，则“x>0”是“x2＋3x>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[由x2＋3x>0知：x＜－3或x＞0.

∴x＞0⇒x2＋3x>0，充分性成立．

x2＋3x>0有x＞0或x＜－3，必要性不成立．

∴x＞0是x2＋3x>0的充分不必要条件．]

2．设x∈R，则“＜0”是“|x－1|＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件