第1章 第1节 集合（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书
[上篇] 知识必备一遍通
第1节 集 合
课程标准 | 核心素养 | 考情聚焦 |
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的从属关系． 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 3．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 4．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 7．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 | 1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养． 2．集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养． 3．集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养 | 集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情境设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情境设置题的阅读理解能力 |
[必备知识]
1．集合的基本概念
(1)集合元素的性质： 确定性 、 无序性 、 互异性 .
(2)元素与集合的关系
①属于，记为 ∈ ；②不属于，记为 ∉ .
(3)常见数集的记法
集合 | 自然数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
符号 | N | N*(或N＋) | Z | Q | R |
(4)集合的表示方法：① 列举法 ；② 描述法 ；③ 图示法 .
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2．集合间的基本关系
关系 | 自然语言 | 符号语言 | Venn图 |
子集 | 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) | A⊆B(或B⊇A) |
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真子集 | 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 | AB或BA |
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集合相等 | 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 | A＝B |
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3.集合的基本运算
基本运算 | 并集 | 交集 | 补集 |
符号表示 | A∪B | A∩B | 若全集为U，则集合A的补集为∁UA |
图形表示 |
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数学语言 | {x| x∈A， 或x∈B } | {x| x∈A， 且x∈B } | {x|x∈U， 且x∉A} |
运算性质 | A∪∅＝ A ； A∪A＝ A ； A∪B＝B∪A | A∩∅＝ ∅ ； A∩A＝ A ； A∩B＝B∩A | A∪(∁UA)＝ U ；A∩(∁UA)＝ ∅ ； ∁U(∁UA)＝ A |
1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.
2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
[自主诊断]
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)∅＝{0}．( )
(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．( )
(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.( )
(4)N⊆N*⊆Z.( )
(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
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[小题查验]
1．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝( )
A．2 B．1 C.
D．－1
解析：B [若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意．]
2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3≥0}，B＝{y∈N|y＝4－x2}，则A∩B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,3,4}
C．{1,3,4} D．{－1,0,1,2,3,4}
答案：B
3．(2026·北京卷)已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x≥2}，则M∪N＝( )
A．[2,3) B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(2,3)
答案：B
4．(2025·全国一卷)已知全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素的个数为( )
A．0 B．3 C．5 D．8
解析：C [8－3＝5，选C.]
5．已知A＝{x|2x≤1}，B＝{－1,0,1}，求A∩B＝ ________ .
解析：∵A＝
，B＝{－1,0,1}，∴A∩B＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
考点一 集合的基本概念(自主练透)
[题组集训]
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
解析：A [∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，
∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝－1,0,1；
当x＝0时，y＝－1,0,1；
当x＝1时，y＝－1,0,1；
所以A中的元素共有9个．]
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