4.4.2对数函数的图象和性质（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.4.2 对象函数的图象和性质（导学案） 1、掌握对数函数的图象画法，理解对数函数的图象特征与性质，能利用图象和性质比较对数大小、解决简单问题。 2、通经历画图象、观察归纳性质的过程，体会数形结合、分类讨论思想，提升观察概括与类比推理能力。 3、感受指数函数与对数函数的内在联系，体会函数图象的对称美，养成严谨的思维习惯。 重点：掌握对数函数图象画法，理解底数对图象的影响，熟记对数函数定义域、单调性等核心性质并简单应用。 难点：区分底数范围对应的单调性，利用图象性质比较对数大小，体会对数函数与指数函数的内在联系。 阅读教材，完成以下问题： 【1】对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：________ 值域：________ 过定点________，即时， 当时，________， 当时，________ 当时，________， 当时，________ 在上是________函数 在上是________函数 利用直线可以区分底数的大小 探究一、对数函数的图象 问题1：你能使用描点法画出y=log2x的图像吗？ 问题2：在同一坐标系中作出函数的图象.你有什么发现？ 思考2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称,那么，对于底数互为倒数的两个对数函数，比如y=log2x 和，它们的图象是否也具有对称关系呢？ 探究二、对数函数的性质 问题3：为了得到对数函数（且）的性质，我们还需要更多具体的对数函数的图象进行观察。你能画出，的图象吗？ 思考3：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？ 探究三、反函数 思考4：对数函数 y = loga x 和指数函数 y=ax 的图象有何联系？ 问题4：如何由指数函数得到对数函数y = loga x的表达式呢？ 【例3】比较下列各题中两个值的大小： (1) (2)，； (3). 【知识点拨】 比较对数大小问题的求解方法： (1)当底数相同、真数不相同时，直接利用对数函数的单调性进行比较。 (2)当底数不同，真数相同时，可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较，并借助图形进行比较。 (3)当底数和真数都不相同时，可考虑引入第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较，然后通过第三个数的传递进行比较。 【题型1：比较大小】 1、比较下列各题中两个值的大小： (1) (2) (3) 【题型2：与对数函数有关的图象问题】 2、已知 ，则（ ）. 【题型3：解对数不等式】 1、解下列不等式： (1) (2) (3) 【知识点拨】 对数不等式的三种考查类型及求解方法： (1)形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论； (2)形如的不等式：应将化为以为底数的对数式的形式(),再借助的单调性求解； (3)形如(,且不等于1,)的不等式：可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解。 2、不等式的解集为____________. 3、若求的取值范围。 4、如图，若，分别为函数和的图象，则( ). 5、画出函数 的图象，并写出函数的值域和单调区间。 【题型4：函数图象有关问题】 1、在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( ). 一、单选题 1．函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 2．设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（     ） A． B． C． D． 5．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 8．已知函数的图象关于直线对称．则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．已知，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 10．函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 11．已知函数，则函数的（   ） A．值域为 B．值域为 C．零点个数为4个 D．零点个数为5个 三、填空题 12．不等式的解集为______． 13．图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 14．已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 四、解答题 15．已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 17．已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 19．已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.2 对象函数的图象和性质（导学案）（解析版） 1、掌握对数函数的图象画法，理解对数函数的图象特征与性质，能利用图象和性质比较对数大小、解决简单问题。 2、通经历画图象、观察归纳性质的过程，体会数形结合、分类讨论思想，提升观察概括与类比推理能力。 3、感受指数函数与对数函数的内在联系，体会函数图象的对称美，养成严谨的思维习惯。 重点：掌握对数函数图象画法，理解底数对图象的影响，熟记对数函数定义域、单调性等核心性质并简单应用。 难点：区分底数范围对应的单调性，利用图象性质比较对数大小，体会对数函数与指数函数的内在联系。 阅读教材，完成以下问题： 【1】对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：________ 值域：________ 过定点________，即时， 当时，________， 当时，________ 当时，________， 当时，________ 在上是________函数 在上是________函数 利用直线可以区分底数的大小 【答案】 R 增 减 探究一、对数函数的图象 问题1：你能使用描点法画出y=log2x的图像吗？ 【答案】列表： 描点： 连线： 问题2：在同一坐标系中作出函数的图象.你有什么发现？ 【答案】列表： 描点： 连线： 思考2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称,那么，对于底数互为倒数的两个对数函数，比如y=log2x 和，它们的图象是否也具有对称关系呢？ 【答案】 探究二、对数函数的性质 问题3：为了得到对数函数（且）的性质，我们还需要更多具体的对数函数的图象进行观察。你能画出，的图象吗？ 【答案】 思考3：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？ 【答案】 探究三、反函数 思考4：对数函数 y = loga x 和指数函数 y=ax 的图象有何联系？ 【答案】 动态演示： 【结论】对数函数y = loga x和指数函数y=ax图象关于直线y=x对称． 问题4：如何由指数函数得到对数函数y = loga x的表达式呢？ 【答案】 【例3】比较下列各题中两个值的大小： (1) (2)，； (3). 解：(1)∵在定义域上单调递增，而，∴. (2)∵在定义域上单调递减， 而，∴. (3)∵ ∴当时，在定义域上单调递增 而,∴ 当时，在定义域上单调递减 而,∴ 【知识点拨】 比较对数大小问题的求解方法： (1)当底数相同、真数不相同时，直接利用对数函数的单调性进行比较。 (2)当底数不同，真数相同时，可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较，并借助图形进行比较。 (3)当底数和真数都不相同时，可考虑引入第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较，然后通过第三个数的传递进行比较。 【题型1：比较大小】 1、比较下列各题中两个值的大小： (1) (2) (3) 解：(1)对数函数在上单调递增， 而∴. (2)由于，，又对数函数在上单调递增，且 ∴即.(或者“底大图低”也可以直接判断) (3)(中间值法)∵ ∴. 【题型2：与对数函数有关的图象问题】 2、已知 ，则（ ）. 【答案】： 分析：∵ 且即 ∴. 故选. 【题型3：解对数不等式】 1、解下列不等式： (1) (2) (3) 解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为 (2)当时，，解得此时，无解。 当时，，解得此时，. 即不等式的解集为 (3)当时，解得即不等式的解集为 当时，，解得即不等式的解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为 【知识点拨】 对数不等式的三种考查类型及求解方法： (1)形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论； (2)形如的不等式：应将化为以为底数的对数式的形式(),再借助的单调性求解； (3)形如(,且不等于1,)的不等式：可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解。 2、不等式的解集为____________. 【答案】： 3、若求的取值范围。 解：据题意得， ①当时，是增函数，解得，所以； ②当时，是减函数，解得，所以； 综上所述，或. 4、如图，若，分别为函数和的图象，则( ). 【答案】： 5、画出函数 的图象，并写出函数的值域和单调区间。 【答案】 其值域为 单调递增区间为， 单调递减区间为. 【题型4：函数图象有关问题】 1、在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( ). 【答案】： 一、单选题 1．函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可。 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 2．设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，因为，所以， 又，，而 ，所以. 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有， 解得或， 所以函数的定义域是. 4．若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数函数在定义域内单调，故其在上的最大值、最小值在端点取得， ，故，即，解得． 5．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令，结合题意可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数是周期为4的周期函数。 所以. 又，令，得， 所以. 6．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 7．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】由的图象关于点对称，可得为奇函数；结合可得，从而的周期为,再将化到上求值。 【详解】设，则的图象关于点对称， 故，即，所以. 由，将换成，得， 所以，即是周期为的函数。 ，且， 所以. 8．已知函数的图象关于直线对称．则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求函数定义域，结合对称性可知，再根据可得，并代入检验，进而可得结果。 【详解】令，等价于，解得或， 所以函数的定义域为， 若函数的图象关于直线对称，则， 且，即，解得， 所以， 且， 可知函数的图象关于直线对称，即，符合题意， 所以. 二、多选题 9．已知，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数运算及对数函数的单调性比较大小判断ABD，根据幂函数的单调性比较大小判断C. 【详解】因为，所以，故A错误． 由于，函数在上单调递减，故，故B正确． ，则幂函数在上单调递减，故，故C正确． 由于，故，故D正确． 故选：BCD 10．函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】ABC 【详解】首先对数真数需满足，解得定义域为. 令真数，对称轴为，代入得最大值，因此真数范围为. 函数的底数，在上单调递减：当时，取最小值； 当时，，故函数值域为. 选项A：，符合要求； 选项B：，符合要求； 选项C：，符合要求； 选项D：，不符合要求。 11．已知函数，则函数的（   ） A．值域为 B．值域为 C．零点个数为4个 D．零点个数为5个 【答案】BC 【详解】当即时， ，当时取等号； 当即时，，当且仅当时取等号。 综上，，当且仅当或或时取等号， 所以，即的值域为，故A错误，B正确； 当时，由得 或， 解得或或（因为，故舍去）； 当时，由得 或， 解得或. 综上，方程有4个解，即函数有4个零点，故C正确，D错误。 三、填空题 12．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域限制与单调递增性质，将原不等式转化为一元一次不等式组，求解后取交集即可求解。 【详解】根据对数函数的性质，原不等式等价于不等式组， 解得， 因此，不等式的解集为. 13．图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解。 【详解】由，可得， 即，解得. 14．已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 【答案】7 【详解】（1）当时，有，有. ①当时，由，有，解得； ②当时，由，有，解得或. （2）当时，有，有或. ①当时，由或，有或，解得（舍去）或（舍去）。 ②当时，由或，有或，解得或或或. 由上知或3或或9或或或，故满足条件的实数的值有7个。 四、解答题 15．已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数定义求出参数，得到函数解析式； （2）根据底数大于时对数函数单调递增，列出真数为正、以及不等关系的不等式组，联立求解得到对数不等式的解集． 【详解】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以； （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 【答案】(1)奇函数 (2)在内是减函数， 设， 则 ． ，，则． ，． ，． ，即． 故在内是减函数． (3)， ． ， ． 【分析】（1）根据条件，直接利用奇偶函数的判定方法，即可求解； （2）利用函数单调性的定义，设，再判断与的大小，即可证明； （3）利用对数的运算，直接代入，即可证明 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2）在内是减函数，略。 （3）略 17．已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由定义域为，得出，列出不等式求解即可； （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值，进而得出，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由的定义域为，知的解集为， 则，解得：， 所以a的取值范围为． （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值， 所以只要即可，其中， 所以，解得：或， 所以实数a的取值范围是． 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果。 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增。 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 19．已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），函数的单调递减区间为，无单调递增区间。 （ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式解答。 （2）（ⅰ）由题知，解不等式即可，用定义法求的单调区间。 （ⅱ）结合单调性和值域可以得出，当时，能让对恒成立，然后分离参数，结合函数最值即可求出的取值范围。 【详解】（1）当时，，由 ， ，当即时等号成立。 当时，的最小值为. （2）（ⅰ）由 或， . 设， ， 当时， ，函数在区间上单调递减； 当时， ，函数在区间上单调递减， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间。 （ⅱ）由，， 令 函数的值域为. 当，时，令，，当时，， 当，由 ， 由 ， 当时，， 对不恒成立。 当时，由 ，由 ， 令，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 当时，在区间上恒成立， 在区间上恒成立。 由 ，由 ， 令，，函数在区间上单调递减， ， 当时，在区间上恒成立 在区间上恒成立。 综上所述，存在，当时，对恒成立。 的取值范围为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $