4.4.3 不同函数增长的差异-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

10 随堂检测重反馈 1.(2025·江苏宿迁市高一期未测试)函数fx)=lg(3-1)+√1-x的定义域为 A.(0,+∞) B.(-0,1] C.(0,1] D.[0,1] 2.函数f(x)=log.[(a-1)x+1]在定义域上 ( A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 3.已知函数f(x)=l1og2+x m一x为奇函数，则实数m的值为 4.函数y=log(1-x2)的单调递增区间为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[35] 4.4.3不同函数增长的差异 新课程标准解读 学科核心素养 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型， 数学抽象 理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义， 逻辑推理 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 数学建模 教材梳理明要点 ●情境导入 [提示] 投资理财是提高经济收入，改善家庭生活的一个重要途径.现有三种 投资1~6天，应选择 投资方案可供选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报 方案一；投资7天，应 40元； 选择方案一或方案二； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三： 投资8~0天，应选择 第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，如何选择投 方案二；投资11天（含 资方案使收益最大呢？ //天)以上，应选择方 P[提示] 案三 e新知初探 [知识点反思] 知识点三种函数的性质及增长速度比较 一次函数按同一速度 增长，指数函数增长越 指数函数 对数函数 ·元一次函数 来越快，呈爆炸性增 解析式 y=a(a>1) y= y=hx(h>0) 长，对数函数y-ogx 单调性 在(0，+0)上单调 (Q>)的增长速度越来 越慢.当描述增长速度 图象（随x的增大） 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升 变化很快时，常常选 用指数函数模型；当 增长速度（随x的 y的增长速度越 y的增长速度越 y值逐渐增加 要求不断增长，但又 增大) 来越 来越 不会增长过快，也不 增长关系 存在一个xo,当x>x0时，a>hx>log。x 会增长很大时，常常 选用对数函数模型。 [知识点反思] 111 ©预习自测 1.下列说法正确的个数是 (1)函数y=logx的衰减速度越来越慢， (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型， (3)若a>1,n>0,对于任意x∈R,一定有a>x0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如 图所示，则下列说法正确的是 A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 题型探究提技能 题型一函数模型的增长差异 例1.甲，乙，丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程() [方法总结1] 三种函数模型的增长 (i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)=2-1, 规律： f(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论： 1.对于幂函数y=x”, ①当x>1时，甲走在最前面； 当x>0,n>0时，y =x”才是增函数，当 ②当x>1时，乙走在最前面； n越大时，增长速度 ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； 越快 ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； 2.指数函数与对数函 数的递增前提是Q> ⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲 1,又它们的图象关 其中正确结论的序号为 >[方法总结1] 于y=x对称，从而可 知，当a越大，y=a 》跟踪训训练1 增长越快；当Q越 三个变量y1,y2,y随着变量x的变化情况如表： 小，y=ogx增长越 快，一般来说，a*> 1 3 5 7 9 11 log x(x >0,a >1). y 5 135 625 1715 3635 6655 3.指数函数与幂函 数，当x>0,n>0, y2 5 29 245 2189 19685 177149 Q>时，可能开始时 5 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 有x”>a,但因指数 函数是爆炸型函数， 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 当x大于某一个确定 ( 值x。后，就一定有a A.y1,y2,y3 B.y2,y1,Y3 C.y3,Y2, D.y3,y1,y2 zx". 112 题型二指数函数、对数函数与幂函数模型比较 例2函数)=2和g()-2的图象如图所示，设两 函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2 [方法总结2] (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数； 由图象判断指数函 数、对数函数和幂函 (2)结合函数图象，判断f氵)与g3引w2023)与 数的方法 g(2023)的大小 根据图象判断增长型 ●[方法总结2] 的指数函数、对数函 数和幂函数时，通常 是观察函数图象上升 的快慢，即随着自变 量的增长，图象最 “陡”的函数是指数 函数，图象趋于平缓 的函数是对数函数. )》跟踪训练2 函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示。 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f(x),g(x)的大小 进行比较). [方法总结3] 建立函数模型应遵循 的三个原则 1.简化原则：建立函 数模型，原型一定要 题型三函数模型的选择 简化，抓主要因素， 主要变量，尽量建立 例 3.为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一 较低阶、较简便的 些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实 模型； 地测量得到表中的数据 2.可推演原则：建立 月份x/月 3 4 模型，一定要有意 植物面积y/m 24 36 义，既能作理论分 析，又能计算、推 现有两个函数模型y=ha(k>0,a>1)与y=mx2+n(m>0)可供 理，且能得出正确 选择 结论； (1)分别求出两个函数模型的解析式； 3反映性原则：建立 (2)若市环保局在2019年年底投放了11m2的水生植物，试判断哪个 模型，应与原型具有 函数模型更合适？并说明理由. ●[方法总结3] “相似性”，所得模 型的解应具有说明问 题的功能，能回到具 体问题中解决问题. 113 》跟踪训练3 生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高 度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应 ;B对应 ;C对应 ;D对应 水 水1 水角 高度 高度 时间 时间 时间 时间 (1) (2) (3) (4) 随堂检测 重反馈 1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是 A.y=100x B.y=log10x C.y=x100 D.y=100 2.以下四种说法中，正确的是 A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对任意的x>0,x”>logx C.对任意的x>0,a>log。x D.不一定存在x0,当x>x时，总有a>x”>logx 3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间（年）的函数关系如图，给出下列四种说法： ①前三年中产量增长的速度越来越快； ②前三年中产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变， t(年 其中说法正确的是 4.已知函数f(x)=3,g(x)=2x,当x∈R时f(x)与g(x)的大小关系为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[36]预习自测 随堂检测 重反馈 1A由-121，得-1≤-2≤1解得号≤≤厄 1.C 愿意得官0已01，做选C 2增由3-2x>0,解得x<子设4=3-2e(-0, 3 2.A当a>1时，y=log,t和t=(a-1)x+1都是增函数，所以 f(x)是增函数；当0<a<1时，y=logt和t=(a-1)x+1都 因为函数y=logo.3是减函数，且函数t=3-2x是减函数，所 是减函数，所以f(x)是增函数，故选A. 以函数y=1g(3-2)在(-，）上是塔函数 32)为奇函数-)+x)=le空+lg2+ 题型探究提技能 例1：由3x2-2x-1>0,得函数的定义域为 =10g,m-=0,即%--1，所以m2=4,m=±2，当m= 4-x2 4-x2 11 {xx>1或x<-3} -2时受，-1<0不满足真数为正的条件m=2 当a>1时，若x>1,:y=logu为增函数，又u=3x2-2x-1 4.「0,1)要使函数有意义，则1-x2>0,解得-1<x<1,即函 为增函数， 数的定义域为(-1,1).令t=1-x2,xe（-1,1).在(-1,0) ∴.fx)=log(3x2-2x-1)为增函数 上，x增大，t增大，y=log1t减小，即在(-1,0)上，y随x的增 若x<-了，：u=3r-2x-1为减函数， 大而减小，为减函数；在[0,1)上，x增大，t减小，y=log号t增 ∴fx)=log(3x2-2x-1)为减函数. 大，即在[0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数.综上y= 当0<a<1时，y=log。u为减函数，若x>1,则f(x)= 1og(1-x2)的单调递增区间为[0,1). 1og（3x2-2x-1)为减函数， 4.4.3 不同函数增长的差异 若x<-子，则(x)=1og,(3x2-2x-1)为增函数 教材梳理 明要点 跟踪训练1：A由题意，得x2-3x-10>0,·.(x-5)(x+2)> 0,∴x<-2或x>5.令u=x2-3x-10,函数f(x)的单调递增 新知初探 区间即为函数u=x2-3x-10在(-0，-2)U(5,+0)上 知识点 的单调递减区间，又u=x2-3x-10在(-∞，-2)上递减，故 logx(a>1)递增快慢 选A. 预习自测 例2：(1)y=log2(x2+4)的定义域为R 1.C对于(1)，由函数y=logx的图象可知其衰减速度越来越 ‘x2+4≥4，.l0g2(x2+4)≥log24=2 慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度 ∴.y=log2(x2+4)的值域为yly≥2}. 不变，正确：对于(3)，如2<3，错误.故选C. (2)设u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4. 2.D .u>0,.0<u≤4. 题型探究提技能 又y=logu在(0，+∞)上是减函数，∴.log号u≥log号4=-2， 例1：③④⑤在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象 y=log号(3+2x-x2)的值域为{yly≥-2. (图略)，易得：①错误：因为f(2)=2-1=3,f2(2)=2=4, 跟踪训练2：B令1=x+1 +-i+1=x-1+1 所以f(2)<f(2),所以当x=2时，乙在甲的前面.②错误： +x-1+2≥4(x>1), 因为f(5)=2-1=315(5)=52=25,所以f(5)>f6(5), 当x=2时，取得等号，又y=logo5t在(0，+∞)上是减函数 所以当x=5时，甲在乙的前面.③正确：当0<x<1时， 所以y≤-2，所以函数的值域是(-0，-2]. f(x)方(x)的图象在f5(x)图象的下方，f4(x)的图象在f(x) 例3：(1)由题意得：+1>0，-1<x<1 图象的上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最 11-x>0. 下方，即丁走在最后面.④正确：当0<x<1时，丙在甲、乙前 .函数f代x)的定义域为(-1,1). 面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x=1 (2)由(1)知函数f(x)的定义域为(-1,1)关于原点对称. 时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确：当x充分大时，指数 .f(-x)=log.(x+1)-log,(1+x) 函数的增长速度越来越快，f(x)的图象必定在f方(x)、f(x)、 =-[log(1+x)-log(1-x)]=-fx) f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲.综上，正确结 .函数f(x)为奇函数. 论的序号为③④⑤. 跟踪训练3：(1)21>2-2.2a+1>5a-2,即3a<3 跟踪训练1：C由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比 ∴.a<1,即0<a<1. 较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知， .实数a的取值范围是(0,1). 少1是幂函数型函数，2是指数型函数，卢3是对数型函数，故 (2)由(1)得，0<a<1,:log(3x+1)<log。(7-5x), 选C. x>-3 例2：(1)C1对应的函数为g(x)=2x,C2对应的函数为f(x) r3x+1>0. 7 =2 7 7-5x>0, 即x< 5， 解得3 <x< 51 (2)f1)=g(1)f2)=g(2), 3x+1>7-5x, 3 从图象上可以看出，当1<x<2时，f(x)<g(x), x> 即不等式的解集为(？子)】 f()<(3): 当x>2时f(x)>g(x),∴.f2023)>g(2023). (3).0<a<1,..函数y=log(2x-1)在区间[1,3]上单调 跟踪训练2：(1)C,对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函 递减， 数为f(x)=lgx. .当x=3时，y有最小值为-2，即log5=-2 (2)当0<x<x1时，g(x)>fx): 当x1<x<x2时f(x)>g(x)； 5 当x>2时，g(x)>f(x).当x=x1或x=x2时f(x)=g(x). 336 32 g(x)=3ax2+axax(3x+1). 例3：(1)由已知得 「k·a2=24 k= 所以y= 32 令g(x)=0,即ax(3x+1)=0, 1k.a2=36 3 3 a=2 得x=0或x=-3 () 所以函数g()的零点为0和-号 12 由已知得4m+n=24 m 5 所以y=2x2+ 跟踪训练1：(1)08，-120(2)-6 9m+n=36 72 5 【解析】(1)①f(x)=(x-3)(x+1),令f(x)=0,得：1= n=5 -1,x2=3,.fx)的零点为3和-1. (2)若用模型y=号×（）广，则当=0时号。 ②由1gx+2=0得，lgx=-2,x=10故g(x)的零点 若用模型y 号+号则当=0时%号， 为高 易知，使用版型-受×（）广型为合适 ,f-1)=0,.ja-b-4=0, (2)由条件知4)=0， 「a=1, {16a+46-4=0,{6=-3, 跟踪训练3：(4)(1)(3)(2) ∴.f1)=a+b-4=-6. 【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4) 例2：Cf1)=1-9=-8<0,f(2)=ln2+8-9=ln2-1<0, 对应；B容器为球形，水高度变化为快一慢一快，应与(1)对 f3)=ln3+27-9=ln3+18>0,f2)·f3)<0,.函数 应；C,D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型， f代x)的零点所在的区间为(2,3). 但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3) 跟踪训练2：Cf(-2)=e2-2-2=e2-4=1 -4<0. 对应，D容器慢，与(2)对应， 随堂检测重反馈 f-1)）=e1-1-2=1-3<0,f0)=°-2=1-2<0， 1.D由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时， e 函数y=100*的增长速度最快. f(1)=e-1>0,∴.f(0)·f代1)<0，.函数f(x)的零点所在的 2.DABC均错误，只有D正确.故选D. 一个区间为(0,1). 3.②③由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y=x“(0<a<1), 例3：C作出函数g(x)=(x-2)(x-5)的图象如图，将y= 反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t g(x)的图象向下平移1个单位即得y=f(x)的图象，由图象 [3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止 易知x1<2,x2>5,故选C. 生产 4.f代x)>g(x)在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3*,g(x) y=g(x) =2x的图象，如图所示，由于函数f(x)=3的图象在函数 g(x)=2x图象的上方，则f(x)>g(x) y=f(x) fx)=3 g(x)=2x 4.5函数的应用（二） 跟踪训练3：(1)B(2)(0,1] 【解析】(1)函数y=a-log,xl (0<a<1)的零点的个数即方程 g(x)=llog,xl 4.5.1函数的零点与方程的解 a=llog,x(0<a<1)的根的个 教材梳理 明要点 数，也就是函数f(x)=a(0<a< fx)=a 新知初探 1)与g(x)=llog,x1(0<a<1)的 -10 知识点一 图象的交点的个数.画出函数f(x)=a(0<a<1)与g(x) 1.fx)=0 =Ilog。x(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)= 知识点二 a(0<a<1)与g(x)=llogI(0<a<1)的图象的交点的 连续不断的曲线 个数为2，从而函数y=a-l0gx的零，点的个数为2.故 预习自测 选B. 1C令4-6=0，得x=子函数x)=4x-6的零点是 (2)当x>0时，由f代x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两 个不同的零，点，则当x≤0时，函数f(x)=2"-a有一个零，点，令 2.2令ax2+br+c=0,A=b2-4ac,a·c<0b2-4ac>0, f(x)=0得a=2,因为0<2≤2°=1，所以0<a≤1，所以实数 ..方程ax+bx+c=0有两个不相等实根，.二次函数y= a的取值范围是(0,1]. ax+bx+c(a·c<0)有2个零点. 例4：(1)由题意可知方程x2+2mx+3m+4=0有两个相等实 题型探究提技能 数根， 例1：(1)当x≤0时，令x2+2x-3=0,解得x=-3: 4=4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=-1或m 当x>0时，令-2+lnx=0,解得x=e2 =4. 所以函数)=2-3，x≤0的零点为-3和 4=4m2-4(3m+4)>0, 1-2+lnx,x>0 (2)由题意得{-m>-1, 解得-5<m<-1. (2)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a. f-1)=1+m+4>0, 337