对勾函数解决恒成立和实根分布问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题 对勾函数解决恒成立和实根分布问题 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 当同号时，的图象是由直线与双曲线构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：和 【例1】（26-27高一上·全国·期中）已知 ，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知，则（    ） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【例4】（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【例5】（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 达标训练 一、单选题 1．（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）已知 ，则函数 的最小值为（    ） A． B． C． D．无最小值 2．（26-27高一上·江西九江·阶段检测）已知，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 3．（26-27高三上·四川成都·开学考试）函数的最大值为（    ） A．−2 B．−4 C．−6 D．−9 4．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 二、多选题 1．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）以下命题正确的有（    ） A．函数的最小值是 B．若，且，则 C．的最小值是 D．函数的最大值为 2．（26-27高一上·江西抚州·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．若，且，则 D．当时， 3．（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．函数的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数，满足，则的最小值为 D．设，，，则的最小值为 4．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列四个命题中，正确的选项为（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 3．（25-26高一上·云南红河·期末）已知函数，若在区间上有2个不同的零点，则的取值范围是__________． 4．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知，若，的最小值为__________. 5．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 1．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）设； (1)当时，求的最大值； (2)当时，求的最小值. 2．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）（1）已知，，，求的最小值并求出取最小值时a，b的值； （2）求函数的值域. 3．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）若，求函数的最大值，并求此时的值； （3）若，求的最小值，并求此时的值． 4．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，求的最大值； （3）已知，，且，求的最小值. 5．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 6．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）（1）求函数的最小值． （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 对勾函数解决恒成立和实根分布问题 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 当同号时，的图象是由直线与双曲线构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：和 【例1】（26-27高一上·全国·期中）已知 ，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故最小值为． 【例2】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求在上的最小值，得出“，成立”的等价条件的范围，再判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 所以“，成立”等价于“”. ，但不能推出，故“”是“，成立”的充分不必要条件. 【例3】（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知，则（    ） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】逐项用基本不等式（或配方法）求最值，注意“一正二定三相等”． 【详解】对于A：，当 时取等号，正确； 对于B：因为，所以，当且仅当即 时取等号，正确； 对于C：令 ，因为，所以， 那么原式 ，当且仅当即 时取等号， 由于，所以上式无法取等式，所以，故 的最小值不是 ，错误； 对于D：，当且仅当即 时取等号，正确． 【例4】（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 【例5】（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）； (2) 【分析】（1）（i）根据单调性的定义及作差法证明即可. （ii）换元，将原函数化为二次函数求解即可. （2）待求问题等价于，结合一次函数的单调性求出，根据对勾函数及基本不等式对分情况求出，列不等式求解即可． 【详解】（1）（1）（i）略 （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 达标训练 一、单选题 1．（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）已知 ，则函数 的最小值为（    ） A． B． C． D．无最小值 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则函数   的最小值为． 2．（26-27高一上·江西九江·阶段检测）已知，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即（舍去正值）时等号成立， 所以，即有最大值. 3．（26-27高三上·四川成都·开学考试）函数的最大值为（    ） A．−2 B．−4 C．−6 D．−9 【答案】C 【详解】因为，所以，. 由基本不等式得： 当且仅当，即，即.时，等号成立. 因此，的最小值为. 所以. 故当时，函数取得最大值. 4．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 二、多选题 1．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）以下命题正确的有（    ） A．函数的最小值是 B．若，且，则 C．的最小值是 D．函数的最大值为 【答案】BD 【详解】对于A，当时， ，故A错误； 对于B，由知，， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 显然取等条件不成立，故的最小值不可能是，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 2．（26-27高一上·江西抚州·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．若，且，则 D．当时， 【答案】AB 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取“”，故A正确； 对于B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，.故D错误. 3．（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．函数的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数，满足，则的最小值为 D．设，，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；将已知变形为，然后根据“1”的妙用可判断D. 【详解】对A，，但即无实数解， 故等号不可取，故函数的最小值不为，故A错误. 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 4．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列四个命题中，正确的选项为（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A、B需通过拆凑项和提取负号构造条件，再利用基本不等式定值，并注意验证等号条件与定义域是否匹配；C通过换元由对勾函数的单调性求最值；D需连续两次使用均值不等式，关键在于验证两次等号条件能否同时满足. 【详解】选项A因为 ，所以 ，将原式拆凑：， 由基本不等式，， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，选项A正确； 选项B因为 ，所以 ， 则， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最大值为 ，选项B正确； 选项C令 ，则 ，且 ，代入得：， 对勾函数 在 上单调递增， 故在 处取最小值：，选项C错误； 选项D，因为，当且仅当 （即 ）时取等， 于是：， 因为 ，又，当且仅当 ，即 时取等. 验证两次等号能否同时取到：由 得 ，代入 得， ，存在实数解，所以最小值为 ，选项D正确. 三、填空题 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 3．（25-26高一上·云南红河·期末）已知函数，若在区间上有2个不同的零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意，转化为函数和函数在上有两个交点，作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】函数在区间上有2个不同的零点， 方程在上有2个不同的实数解， ⇔方程在上有2个不同的实数解， 函数和函数在上有两个交点． 令，因为在上单调递减，在[2，4]上单调递增， 所以在处取得最小值为4，又由， 当时，． 如图， 当时，函数和函数在上有两个交点， 故的取值范围是． 故答案为： 4．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 5．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 四、解答题 1．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）设； (1)当时，求的最大值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）变形为，利用基本不等式求最值即可； （2）变形为，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）当时， ，当且仅当， 即时取等号， 故的最大值为； （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为8. 2．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）（1）已知，，，求的最小值并求出取最小值时a，b的值； （2）求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】(1) 的最小值为，此时，。 由，得，因此 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立。 结合，解得，，代入得，即最小值为。 (2) 函数的值域为。 令，由得，且，代入原函数得 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立，对应。 因此，故函数的值域为。 3．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）若，求函数的最大值，并求此时的值； （3）若，求的最小值，并求此时的值． 【答案】（1）最小值为 ，此时 ；（2）最大值为 ，此时 ；（3）最小值为 ，此时 . 【分析】（1）由 知 与 都是正数，且乘积为定值，因此可用基本不等式求和的最小值. （2）由 知 ，，且两者之和为定值，因此可用基本不等式求积的最大值. （3）把 写成 ，将原式化为 ，再用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为 ，所以 . 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以最小值为 . （2）因为 ，所以 ，. 于是 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以最大值为 ，此时 . （3）因为 ，所以 . 于是 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以 ，即 ，此时函数取得最小值 . 4．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，求的最大值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）对原式进行配凑变形，构造出能使用基本不等式的形式，求解并验证等号成立的条件. （2）利用完全平方公式将已知等式转化为含与的式子，结合基本不等式消去，解出的范围. （3）根据确定的取值范围，再将的表达式代入目标式，通过配凑法构造出基本不等式的形式，求其最小值. 【详解】（1）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以原式的最小值为. （2）， 因为，由基本不等式得， 所以,即， 得，因为，所以. 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. （3）由，得. 因为，若，则不成立，故，所以. 因为，即，又，所以，即. 于是 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 5．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将原函数解析式变形为，利用基本不等式处理； （2）由可得，则，展开利用基本不等式处理. （3）应用基本不等式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】（1）∵，∴. ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为. （2）因为，，则由得， 则，当且仅当，即时等号成立. ∴的最小值是. （3），所以，所以， 所以或，又因为，所以 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 6．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）（1）求函数的最小值． （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 （1）；（2） 【分析】（1）通过拆分分式变形构造正项和结构，结合基本不等式求最值；（2）利用“的代换”构造基本不等式适用条件求解最值. 【详解】（1）由可得，对函数做如下变形，， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 因此，即函数的最小值为； （2）已知且，可得，因此， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 结合解得，满足为正实数的条件， 因此，即所求最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $