【微点2】恒成立、有解问题（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

微点2 恒成立问题、有解问题高频考点 力学笃行·知行并进·学用相长 微点02 恒成立问题、有解问题·高频考点 目录 题型01 实数范围内的恒成立 题型02 区间上的恒成立 题型03 有解问题 题型04 基本不等式中的恒成立 题型05 分段函数中的恒成立 题型06 更换主元法 学科网（北京）股份有限公司 方法 题型 题型01 实数范围内的恒成立 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】关于的不等式的解集为，当时，成立， 当时，需满足，解得，综上，的取值范围为． 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当，即时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意实数恒成立，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 题型02 区间上的恒成立 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意为真命题，所以在上恒成立，即. 实数a的取值范围是 已知命题“，”是假命题，则实数的最小值为_____． 【答案】 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 由二次函数性质得，解得，所以的最小值是． 题型03 有解问题 已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【详解】当时，变形为，构造函数，对称轴为， 所以函数在上单调递增，则时，，所以，即，所以实数的取值范围为.故答案为：. 若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为在区间内有解，所以在区间内有解， 令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，故， 所以，即.故答案为：. 题型04 基本不等式中的恒成立 已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】（或） 【详解】由题意得：恒成立，即， ，所以， 当时，即时，等号成立，所以. 已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________． 【答案】 【详解】因为，故，所以 ， 当且仅当即时等号成立，故的最小值为，故，解得， 故满足条件的整数的个数是. 题型05 分段函数中的恒成立 设，若的最小值为，则的值为__________. 【答案】1 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立.故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且，解得或（舍去），故答案为：1 设，若是的最小值，则a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为，当时，；当时，开口向上，对称轴为，又是的最小值，，所以，解得，故a的取值范围为.故答案为：. 题型06 更换主元法 对于任意为真命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】原不等式变形为：， 设关于的函数， 题目条件等价于：当时，恒成立. ①当时，，不成立，舍去； ②当时，是关于的一次函数，由于一次函数在闭区间上的最值只在区间端点处取得，因此只需保证区间两个端点的函数值都大于即可： 代入：，整理得，解得或； 代入：，整理得，解得或. 取两个解集的交集，得的取值范围是或. 故的取值范围为. 若对于恒成立，则实数x的取值范围为______． 【答案】. 【详解】令，因为对于恒成立，所以， 即，解得，所以实数x的取值范围为，故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $微点02恒成立问题、有解问题·高频考点 目录 题型01实数范围内的恒成立 题型02区间上的恒成立 题型03有解问题 题型04基本不等式中的恒成立 题型05分段函数中的恒成立 题型06更换主元法 微点02恒成立问题、有解问题高频老点 力学笃行·知行并进·学用相 长 方法题型 题型01实数范围内的恒成立 例1 若关于的不等式 a2-6kc+k+8≥0 R 的解集为，则的取值范围为 练习1(a-2)x2+2(a-2)x+1>0 不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 题型02区间上的恒成立 例1若命题“3r∈儿，2]，3x-a<0”为假命思，则实数4的取值范围是 国I已知命题x∈，3，？-r+1>0”是假命题，则实数u的最小值为一 1 微点02恒成立问题、有解问题高频老点 力学笃行·知行并进·学用相 长 题型03有解问题 例1 ?3r∈[2,3]x+2x+a≤0 己知命题： 为真命题，则实数“的取值范围为 练习1 若关于的不等式 x2-4x-2-a>0东gl,4] 在区间内有解，则的取值范围是 题型04基本不等式中的恒成立 例1 知正数，'满足+9y=”,且+y>m 恒成立，则实数”m的取值范围为 国1已知实数x>0:20且x+2y=1若m2-3m≤名4 ≤xx+y恒成立，则满足条件的整数m的个数是 2 微点02恒成立问题、有解问题高频老点 力学笃行·知行并进·学用相 长 题型05分段函数中的恒成立 [x2-(a2-5a+4)x+3a,(c<) 例1 2x++3e0 若fx)的最小值为，G (0)'则的值为 (x-a)2,x≤0 设f(x)= 练习1 1+x>0·若0是的最小值，则a的取值范围是 f(0)f(x) 题型06更换主元法 例1 m∈[-1,1]，x2+(m-4)x+4-2m>0 对于任意 为真命题，则的取值范围为 微点02恒成立问题、有解问题高频老点 力学笃行·知行并进·学用相 长 国T老m-1<0对于mc2恒 对于 恒成立，则实数x的取值范围为一 4