杭州市2027届高三数学一模考试练习卷

2026 学年杭州高三一模数学试题·举一反三变式训练 数学变式训练（母题 19 道 + 变式 57 道，共 76 题） （满分 150 分　建议用时 120 分钟　母题对应原卷 1~19 题） 使用说明： 1. 本题库对原卷 19 道题逐题配置 3 个同源变式，编号 “m-n” 表示母题 m 的第 n 个变式。 2. 变式保持母题的考查知识点与解题主线，只改变数据、设问角度或图形位置。 一、选择题变式：母题 1~8 各配 3 个变式（共 24 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 1】 已知 为虚数单位，若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数的四则运算；复数模的计算（1/i = -i） 【答案】C 【解析】 由 得 ，两边同除以 ： （用到 ）， 所以 ，选 C。 1-1. 已知 为虚数单位，若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数的除法运算（分母实数化）；复数模的计算；模的性质 【答案】B 【解析】 思路：已知 与一个复数的积，先作除法把 解出来，再求模。 由 得 。 分母实数化：分子、分母同乘 （分母的共轭复数），得 。 其中 ，故分子 ，即 。 所以 ，选 B。 另解（更快）：两边取模，由 得 ，即 ，故 。 1-2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为 A. B. C. D. 【考查知识点】复数的除法运算；复数的代数形式；实部与虚部的概念 【答案】B 【解析】 思路：先解出 的代数形式，再读虚部。 由 得 。 分子、分母同乘 ： 。 分子化简为 ，故 。 即 ，实部为 ，虚部为 ，选 B。 易错点：虚部是 的系数 （实数），写成 就错了。 1-3. 已知 为虚数单位，复数 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数模的性质（|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|）；复数的除法 【答案】A 【解析】 思路一（先化简再求模）：分母实数化。 。 分子 ，故 。 所以 。 思路二（更快）：用模的性质 ， ，选 A。 提醒：分子、分母的模都易求时，优先用思路二。 【母题 2】 设随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】正态分布密度曲线的对称性（关于 x = μ 对称） 【答案】B 【解析】 正态曲线关于 对称，故 与 关于 对称： ，解得 ，选 B。 2-1. 设随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】正态曲线的对称性；对称区间概率的转化 【答案】A 【解析】 思路：把所求区间通过对称性转化到已知概率的区间上。 正态曲线关于 对称，而 与 关于 对称， 故 。 区间 在对称轴右侧，占右半边概率 的一部分， ，选 A。 提醒：连续型随机变量在单个点的概率为 ，故 ，端点写法不影响结果。 2-2. 设随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】正态曲线的对称性（关于 x=μ 对称） 【答案】A 【解析】 思路：只需判断 与 是否关于 对称。 对称轴 ，而 ，故两点关于 对称。 由正态曲线的对称性，左右两侧对称区间的概率相等： ，选 A。 提醒：本题不需要知道 ，也不必先求 。 2-3. 某次考试的成绩 服从正态分布 ，已知 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】正态分布的对称性；实际应用中的概率估计 【答案】C 【解析】 思路：先由对称性求右侧尾部概率，再用 减去两侧尾部。 成绩 ，对称轴 。 因 ，故 与 关于 对称， 所以 。 中间区间概率 ，选 C。 提醒：两侧尾部都要扣，只减一侧会得 的错误答案。 【母题 3】 已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】函数的奇偶性；特殊角的三角函数值 【答案】A 【解析】 因为 ，所以 。 又 为奇函数，所以 ，选 A。 3-1. 已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】函数的奇偶性；指数运算 【答案】A 【解析】 思路： 不在已知区间 内，必须先用奇偶性转化。 因 是偶函数，故 ，即 。 又 ，可代入已知式：。 所以 ，选 A。 易错：直接把 代入 得 ，这是忽略了区间条件。 3-2. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】函数的奇偶性；对数运算 【答案】A 【解析】 思路： 不在 的范围内，用奇函数转化。 因 为奇函数，故 。 而 ，代入已知式：。 所以 ，选 A。 提醒：，不要写成 或 。 3-3. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】函数的奇偶性；由一段解析式求另一段函数值 【答案】A 【解析】 思路：先求 （在已知区间内），再用奇偶性转到 。 因 ，代入已知式：。 又 为奇函数，故 。 所以 ，选 A。 易错：把 直接代入 得 ，这是忽略了“当 时”这一前提。 【母题 4】 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】由递推关系构造等比数列求通项 【答案】D 【解析】 由 得 ，又 ， 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，，即 ，选 D。 检验：，，均符合。 4-1. 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】构造等比数列求通项（配凑法） 【答案】A 【解析】 思路：形如 的递推式，用“配凑”构造等比数列。 设 ，展开得 。 与原式 比较常数项，得 ，。 故 ，即相邻两项 与 之比恒为 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 所以 ，即 。 检验 ：，符合，选 A。 4-2. 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】累加法求通项；等差数列求和 【答案】A 【解析】 思路：递推式给的是差 ，且差随 变化，用累加法。 当 时，把 个等式相加： 。 各项代入 ，得 。 由 得 。 检验 ：，符合，故对一切正整数成立，选 A。 4-3. 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】构造等差数列求通项（两边同除以 2^{n+1}） 【答案】A 【解析】 思路：递推式中含 （随 变化），先两边同除以 ，把各项“齐次化”。 ， 即 ，相邻两项之差为常数。 故 是首项 、公差 的等差数列。 所以 ， 即 。 检验 ：，符合，选 A。 【母题 5】 已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】导数的几何意义（切线斜率）；复合函数求导 【答案】B 【解析】 由 得曲线在 处的切线斜率为 。 又切线方程为 ，斜率为 ，故 ，，选 B。 5-1. 曲线 在 处的切线方程为 A. B. C. D. 【考查知识点】导数的几何意义；切线方程的点斜式 【答案】A 【解析】 思路：切线的斜率等于切点处的导数值。 先用积的求导法则：。 在 处，斜率 。 切点纵坐标 ，即切点为 。 由点斜式 ，即 ，选 A。 易错：，若误算成 就会得到 等错误选项。 5-2. 曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 【考查知识点】导数的几何意义；切线方程 【答案】A 【解析】 思路：先用导数求斜率，再用点斜式写方程。 先检验点 在曲线上：，确为切点。 求导：，故 。 由点斜式 ，展开得 ，选 A。 提醒：题目说的是“在点 处”，该点就是切点，可直接用，不必另设切点坐标。 5-3. 若曲线 在 处的切线斜率为 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】导数的几何意义（斜率等于导数值） 【答案】A 【解析】 思路：已知斜率求参数，只需让导数值等于已知斜率。 求导：。 在 处 。 由题意 ，解得 ，选 A。 提醒：本题与切点纵坐标无关，故不需要算 。 【母题 6】 中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究。在一定条件下，系统的熵 随时间 的变化规律为 ，其中 为平衡态熵， 为初始熵， 为分子碰撞频率， 为自然对数的底数。设 ，当 增大时，系统的熵 A. 减小，且减速越来越慢 B. 减小，且减速越来越快 C. 增大，且增速越来越快 D. 增大，且增速越来越慢 【考查知识点】指数型函数的单调性；变化率（导数）的符号与大小；数形结合 【答案】D 【解析】 因为 ，而 随 增大而减小，所以 增大（负值不断接近 ），故 从 单调增大并趋于 。 又 ，且 随 增大而减小，故熵增大但增速越来越慢，选 D。 6-1. 某放射性物质的质量 随时间 （单位：年）的变化规律为 （，）。当 增大时，该物质的质量 A. 减小，且减少得越来越慢 B. 减小，且减少得越来越快 C. 增大，且增长得越来越慢 D. 增大，且增长得越来越快 【考查知识点】指数型函数的单调性；变化率与导数的关系 【答案】A 【解析】 思路：分两步——先判断增减，再判断增减的“快慢”。 因 ， 随 增大而减小；又 ，故 单调递减，质量减小。 “快慢”看导数的绝对值：， 其绝对值 随 增大而减小，即瞬时减少的速率越来越小。 故质量减少得越来越慢，选 A。 提醒：判断快慢看 的变化，不是看 本身的大小。 6-2. 某药物在血液中的浓度 与时间 （单位：h）满足 （），则当 从 增大到 时，浓度 A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【考查知识点】二次型函数的单调性；导数的符号与单调区间 【答案】A 【解析】 思路：先判断 在 上的单调性。 配方：，其图象是开口向上的抛物线，对称轴 。 故在 上 单调递减。 又 ，正系数不改变单调性，故 在 上单调递减，一直减小。 也可求导验证：。选 A。 6-3. 某地冬季某天的气温 （单位：℃）与时间 （单位：h）满足 ，则当 增大时，气温 A. 升高，且升温越来越慢 B. 升高，且升温越来越快 C. 降低，且降温越来越慢 D. 降低，且降温越来越快 【考查知识点】指数型函数的单调性；渐近趋势与变化率 【答案】A 【解析】 思路：先看 的单调性，再看前面负号的作用。 因 递减，故 递增， 单调递增，气温升高。 速度看导数：，且随 增大而减小。 故升温越来越慢，且 逐渐趋近上限 ℃，选 A。 提醒：函数递增而趋于常数，说明增速在减小，这是指数型模型的典型特征。 【母题 7】 如图， 是曲线 与 的三个相邻的交点，若 的面积为 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【考查知识点】三角函数的图象与性质（周期、对称性）；三角形面积；形数结合与特殊值检验 【答案】C 【解析】 由 得 （另一支 无解），所以交点的横坐标 。 相邻两交点横坐标相差 ，且 ，即纵坐标正负交替、绝对值相同。 于是 同高且 ，点 到 的距离为 ，故 ， 即 ，，故 的最小值为 ，选 C。 【法二】（检验排除法）由上面推导得 ，逐一检验各选项： 若 ，则 ，排除 D； 若 ，则 ，符合； 若 ，则 ；若 ，则 ，均不为 ，排除 A、B。 故只有 C 成立。 7-1. 已知 是曲线 与 的三个相邻交点，则 的面积为 A. B. C. D. 【考查知识点】三角函数的图象与周期性；交点坐标；三角形面积 【答案】A 【解析】 思路：先求交点横坐标，再用“底乘高除以二”。 由 得 ，即 。 相邻两交点的横坐标相差 ，故三个相邻交点可取 。 对应纵坐标依次为 ，即 同高、 在另一侧。 取 为底：。 高为 。 所以 ，选 A。 7-2. 已知 是曲线 与 的三个相邻交点，若 的面积为 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【考查知识点】三角函数的图象与性质；和差化积；三角形面积；方程思想 【答案】A 【解析】 思路：仿母题，先由和差化积求交点横坐标，再分别算底和高。 由 得 ， 和差化积：。 若 ，则两曲线重合，不合题意，故只能 。 于是 ，即 。 相邻两交点横坐标相差 ，故 。 再看纵坐标：交点处 ， 相邻两交点符号相反，故三点纵坐标为 （），高为 。 所以 。 由 得 ，即 。 故 ， 的最小值为 ，选 A。 7-3. 已知 是曲线 与 的三个相邻交点，则 的面积为 A. B. C. D. 【考查知识点】三角函数的图象与性质；和差化积；三角形面积 【答案】A 【解析】 思路：同母题，先求交点，再算底与高。 由 用和差化积： ， 因 ，故 。 于是 ，即 ，相邻交点横坐标相差 。 取 为底：。 纵坐标 ，交替出现，高为 。 所以 ，选 A。 【母题 8】 已知圆 ，，，直线 被 截得的弦长分别为 。若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】直线与圆的位置关系；弦长公式（垂径定理 + 点到直线距离）；方程思想 【答案】A 【解析】 设圆心 到直线 的距离为 ，则 。令 ，则 ， 。 由 得 。 两边平方：，即 ，需 。 再平方：，化简得 ，即 （满足 ）。 由 得 ，，选 A。 【法二】（检验 + 单调性）令 ，。 ，其中 ，，， 故 ， 在 上单调递增，方程 至多一个解。 把 （即 ）代入检验： ，，， 因 ，等式成立，由唯一性知 ，选 A。 8-1. 已知圆 ，，直线 被 截得的弦长分别为 。若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】直线与圆的位置关系；弦长公式；方程思想 【答案】A 【解析】 思路：把弦长转化为圆心到直线的距离，两条弦用同一个参数表示。 两圆半径都是 ，由垂径定理 （ 为圆心到 的距离）。 圆心 到 的距离 ； 圆心 到 的距离 ，故 。 令 ，则 ，于是 ，。 由 两边平方得 ， 即 ，，。 由 得 ，，，选 A。 检验：，说明 确与 相交。 8-2. 已知圆 ，，直线 被 截得的弦长分别为 。若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】直线与圆的位置关系；弦长公式；方程思想 【答案】A 【解析】 思路：同母题，令 把两条弦长统一表示。 两圆半径都是 ，。 圆心 、 到 的距离分别为 、， 故 ，，，。 由 平方得 ， 即 ，，。 由 得 ，， 所以 ，选 A。 检验：，符合。 8-3. 直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】圆的弦长与弦心距（垂径定理）；点到直线的距离 【答案】A 【解析】 思路：已知弦长求斜率，走“弦心距—勾股”这条路，不必联立方程。 圆 的圆心为 ，半径 ； 圆心到 的距离 。 由垂径定理，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形： 。 代入 得 ，。 故 ，，。 所以 ，选 A。 提醒：，说明直线确与圆相交，不必另行检验。 二、多项选择题变式：母题 9~11 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 6 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 9】 为研究光照时间 （单位：h）与某植物产量 （单位：t/hm）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为 ，植物平均产量为 ，经验回归方程为 ，则 A. B. 变量 和 正相关 C. 光照时间每增加 ，植物产量约增加 D. 当 时， 的预测值为 【考查知识点】经验回归方程过样本中心点；回归系数的统计意义；预测值 【答案】ABC 【解析】 经验回归直线必过样本中心 ，代入得 ，，A 正确。 斜率 ，两变量正相关，B 正确；斜率表示 每增加 个单位 平均增加 个单位，C 正确。 当 时 ，D 错误。故填 ABC。 9-1. 已知一组数据 的样本中心为 ，经验回归方程为 ，则 A. B. 变量 与 正相关 C. 样本点 处的残差为 D. 当 时， 的预测值为 【考查知识点】经验回归方程过样本中心；回归系数的意义；残差与预测 【答案】ABC 【解析】 A：经验回归直线必过样本中心 ， 代入方程得 ，即 ，正确。 B：斜率 ，说明 随 增大而增大，两变量正相关，正确。 C：样本点 恰为样本中心，落在回归直线上， 其预测值 ，残差 ，正确。 D：当 时 ，错误。 故填 ABC。 9-2. 已知某组数据的经验回归方程为 ，则 A. 变量 与 负相关 B. 样本中心可以是 C. 当 每增加 个单位时， 平均减少 个单位 D. 当 时， 的预测值为 【考查知识点】回归系数的统计意义；经验回归方程过样本中心 【答案】ABC 【解析】 A：斜率 ，两变量负相关，正确。 B：经验回归直线过样本中心，故样本中心应满足 ； 取 得 ，即 可以是样本中心，正确。 C：斜率 的意义就是“ 每增 个单位， 平均变化 个单位”，正确。 D：当 时 ，错误。 故填 ABC。 9-3. 关于一元线性回归分析，下列说法正确的是 A. 经验回归直线一定经过样本中心点 B. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C. 样本相关系数 的绝对值越接近 ，两个变量的线性相关性越强 D. 决定系数 越小，模型的拟合效果越好 【考查知识点】回归分析的基本思想；残差、相关系数、决定系数的意义 【答案】ABC 【解析】 A：由最小二乘法的推导，使残差平方和最小的直线必过样本中心，正确。 B：残差平方和越小，说明观测点越贴近回归直线，拟合效果越好，正确。 C： 越接近 线性相关性越强，越接近 越弱，正确。 D：（ 为残差平方和， 为总平方和）， 故 越接近 拟合越好，越小越差，D 说反了，错误。 故填 ABC。 【母题 10】 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 在 的准线上，则 A. 的最小值为 B. 存在点 ，使得 C. 若 ，则直线 与 有两个交点 D. 若点 在 轴上，则 【考查知识点】抛物线的定义与几何性质；焦点弦的最值；直线与抛物线的位置关系；以焦点弦为直径的圆与准线相切 【答案】AD 【解析】 A：由 得 ，焦点弦 的最小值为通径 （此时 轴），A 正确。 B、C：设 在准线上的射影为 ， 为 中点，则由定义 ，， 即点 到准线的距离为 ， 故以 为直径的圆与准线相切，准线上其余各点都在该圆外，从而 ，不可能等于 ，B 错误。 当 时 ，此时 必为切点， 都是该圆的切线，而抛物线的切线与其只有一个公共点，C 错误。 D：此时 。设 ，，，与 联立得 ，故 。 ，同理 。 由 得 ，代入得 ， 故 ，D 正确。故填 AD。 10-1. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，则 A. 的最小值为 B. 若 的中点到 轴的距离为 ，则 C. 以 为直径的圆与 轴相切 D. 若 的倾斜角为 ，则 【考查知识点】抛物线的定义；焦点弦；通径；直线与抛物线的位置关系 【答案】ABD 【解析】 由 得 ，焦点 ，准线 。 A：通径（垂直于对称轴的焦点弦）长为 ，它是所有焦点弦中最短的，故 的最小值为 ，正确。 B：设 ，由定义 、。 则 ；中点 的横坐标 。 故 到准线的距离 ，到 轴的距离 。 由 得 ，正确。 C：以 为直径的圆与准线相切；与 轴相切需 ，即 ，仅当 轴时成立，一般不成立，错误。 D：设 ，代入 得 ，，。 。 倾斜角 时 ，，正确。 故填 ABD。 10-2. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 在 的准线上，则 A. 存在点 ，使得 B. 以 为直径的圆与准线相切 C. 若 ，则 D. 可以取到 【考查知识点】抛物线的定义；焦点弦；以焦点弦为直径的圆与准线相切；斜率与角的相等 【答案】ABC 【解析】 由 得 ，焦点 ，准线 。 B：设 中点为 ，同上一题可得 到准线的距离等于 ，故圆与准线相切，正确。 A：设切点为 ，取 。由“直径所对的圆周角为直角”，得 ，正确。 D：焦点弦 ，不能取 ，错误。 C：设 ，由焦点弦性质 ，且 。 则 ，。 因 在 轴上，要证 ，只需证 。 而 ， 分子 ，故结论成立，正确。 故填 ABC。 10-3. 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则 A. B. 点 的坐标为 C. 抛物线的准线方程为 D. 过焦点且垂直于 轴的弦长为 【考查知识点】抛物线的定义（焦半径公式）；准线与通径 【答案】ABC 【解析】 A：由抛物线定义， 到焦点的距离等于到准线 的距离，即 ， 解得 ，正确。 B：抛物线为 ，代入 得 ，，正确。 C：由 得准线 ，正确。 D：通径长为 ，错误。 故填 ABC。 【母题 11】 若存在实数 和 ，使得对 ，，则 A. B. 当 时， C. 当 时， 的最小值为 D. 当 时， 的最小值为 【考查知识点】三角函数的周期性；相位点在单位圆上的分布（有理/无理）；上确界与分类讨论 【答案】ACD 【解析】 记 ，题设条件等价于 。 若 为无理数，则相位 在圆周上稠密，，须 。 若 为有理数，设 （ 互质，），则相位恰为圆周上 个等距点（间隔 ），适当旋转后最大正弦值的最小值为 。 A：由 知 ，若 则条件不可能成立，故 ，A 正确。 B：取 ，，则 恒成立，而 ，B 错误。 C： 时 ，最小值为 ，C 正确。 D：需 ，故 ；其中 时 ， 时 ， 时 或 ，故 的最小值为 ，D 正确。故填 ACD。 【法二】（间隔法）条件要求全部相位点落在“”的弧上，即不能落在 内，这段“禁区”弧长为 。 相位点为 个等距点、间隔 。要求存在一个间隔能容纳整段禁区，即 。 A：，且 时禁区长 无解，A 正确。 B： 时 可取 ，但 也可取 （），故 不唯一，B 错误。 C： 时最小 ，C 正确。 D：由 得 ，结合 得 或 、，最小为 ，D 正确。 11-1. 若存在实数 和 ，使得对 ，，则 A. 当 时， 的最小值为 B. 当 时， 的最小值为 C. 当 时， 可以取 D. 当 时， 的最小值为 【考查知识点】三角函数的周期性；相位点在圆周上的均匀分布；上确界的计算 【答案】AB 【解析】 记 。 “存在 使 恒成立”等价于 ， 故 的最小值就是 关于 的最小值。 若 （ 互质），则 取遍圆周上均匀分布的 个点。 取 使其中一个相位恰为 ，则 的最小值为 。 A： 即 ，，正确。 B： 即 ，，正确。 C： 即 ，最小值为 ，故 不可能，错误。 D： 即 ，最小值为 ，错误。 故填 AB。 11-2. 若存在实数 和 ，使得对 ，，则 A. 当 时， 的最小值为 B. 当 时， 可以取到 C. 当 时， 的最小值为 D. 对任意 ， 的最大值随 增大而增大 【考查知识点】三角函数的周期性；相位点均布；上确界的计算 【答案】ABC 【解析】 仍用结论： 时 的最小值为 。 A：，即 ，，正确。 B：取 、，则 对一切整数 成立， 说明 时 可取到，正确。 C：，即 ，，正确。 D： 与最大值无单调关系。反例： 时为 ， 时为 ， 而 时又降为 ，先增后减，不单调，错误。 故填 ABC。 11-3. 若存在实数 ，使得对 ， 恒成立，则 A. 若 ，则 的最小值为 B. 若 ，则 的最小值为 C. 若 ，则 的最小值为 D. 若 ，则 的最小值为 【考查知识点】三角函数的周期性；相位点分布；上确界 【答案】ABC 【解析】 A： 时 是 的整数倍，故 恒成立。 此时 只有一个元素，； 取 得最小值为 ，正确。 B： 即 ，最小值为 ，正确。 C： 即 ，最小值为 ，正确。 D： 即 ，最小值为 ，错误。 故填 ABC。 三、填空题变式：母题 12~14 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 12】 已知单位向量 满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】平面向量的数量积；向量的模与平方关系；单位向量 【答案】-1/2 【解析】 由 两边平方：， 即 ，故 。 12-1. 已知单位向量 满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】向量的模与数量积的关系 【答案】1/2 【解析】 思路：已知“和的模”，求数量积，把模平方展开。 。 代入 与 ： ， 即 ，故 。 提醒：平方展开中间项系数是 ，漏掉就会算出 。 12-2. 已知 ，，，则 ＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】向量的模与数量积；|a−b|² 的展开 【答案】√3 【解析】 思路： 无法直接算，先算它的平方。 。 代入 。 所以 。 提醒：模的平方是 ，模本身是 ，不要写成 。 12-3. 已知单位向量 的夹角为 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】向量的夹角与数量积；模的计算 【答案】√3 【解析】 思路：先由夹角求数量积，再算 。 。 。 代入得 。 所以 。 提醒：系数 平方后变 ，交叉项系数是 。 【母题 13】 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】双曲线的定义；焦点三角形（余弦定理/面积公式）；离心率 【答案】√7/2 【解析】 设 ，则 ，由双曲线定义 ，故 。 在 中，，由余弦定理 ， 即 ，。 【法二】（焦点三角形面积法）记 ，，。由定义 ，平方得 ； 又由余弦定理 ，两式相减得 ，即 。 由 、 得 ，故 ，。 ，故 。 13-1. 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】双曲线的定义；勾股定理；离心率 【答案】√5 【解析】 思路：定义给出两焦半径之差，直角三角形给出勾股关系，两者联立求 。 设 ，则 ， 由定义 ，故 。 于是 ，。 因 ，由勾股定理 ， 即 ，。 所以 。 提醒：，平方后是 ，不要与 混。 13-2. 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】双曲线的定义；余弦定理；离心率 【答案】√13/2 【解析】 思路：同上一题，先由定义求两焦半径，再用余弦定理求 。 设 ，则 ， 由定义 ，故 。 于是 ，，。 由余弦定理： 。 因 ，故 。 所以 。 提醒：减去负数会变成加号，这一步最容易算错。 13-3. 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】双曲线的定义；余弦定理；离心率 【答案】√3 【解析】 思路：定义求焦半径，余弦定理求 。 设 ，则 ， 由定义 ，故 ，。 ， 即 ，。 所以 。 提醒：双曲线离心率恒大于 ，开方后取正值。 【母题 14】 已知 是自然对数的底数，若集合 恰有 个子集，则满足条件的整数 的个数为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】利用导数研究函数单调性；含参不等式的整数解个数；分离参数与分类讨论 【答案】4 【解析】 不等式即 。注意 时恒成立，故 必在集合中；集合恰有 个子集 集合恰有 个元素。 ① 当 时，不等式 。令 ，则 ， 在 上单调递增。 故正整数解恰为 中的前若干个；要恰有 个正整数解，需 ，即 。 ② 当 时，不等式 ，而 在 上也单调递增，故负整数解为 中的前若干个；要使负整数解为空集，需 。 若改为“负整数解恰 1 个、正整解 0 个”，则需 且 ，即 ，无解（因 ）。 综上 ，即 ，整数 可取 ，共 个。 【法二】（符号讨论）令 。若 ，则 时 ，负整数解无穷多，不合题意，故 。 在 上，， 单调递减，故整数解中的负数部分是 的形式； 在 上，， 单调递增，故 先减后增，整数解中的正数部分是 的形式。 又 ，故解集元素为 ，恰 个元素 ，即 ，或 。 若 （无负解），需 ，即 ； 需 ，即 。 若 ，需 且 ，即 ，无解。 故 ，整数 ，共 个。 14-1. 若集合 恰有 个元素，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】一元二次不等式的解法；整数解的计数；集合元素个数 【答案】[-3, 0) 【解析】 思路：把不等式化成 ，用“区间半径”数整数解。 配方：，即 。 设 ，则解集为 ，中心是 。 恰有 个整数解，只能是 。 需 才能包含 与 ； 需 才不会包含 与 。 故 ，平方得 。 解得 ，即 。 提醒：右端 可取（此时 ），因为 不含 、。 14-2. 已知 是自然对数的底数，若集合 恰有 个子集，则满足条件的整数 的个数为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】分离参数；利用导数研究单调性；整数解计数；分类讨论 【答案】6 【解析】 思路：先看 ，再把不等式化为“参数的界”，最后数整数解。 不等式即 。当 时 成立，故 一定是解。 恰有 个子集，即恰有 个元素，故除 外还需恰有 个整数解。 令 ，则 ， 故 在 与 上均严格递增。 当 时，不等式等价于 ， 故 是解，即 ； 而 是解，即 。 所以正整数解恰为 当且仅当 。 当 时，除以负数不等号反向，； 负整数解为空，即 。 情形一：正解 个、负解 个，需 ，整数 ，共 个； 情形二：负解 个（即 ）、正解 个，需 ，整数 。 故 ，共 个。 14-3. 若集合 恰有 个子集，则满足条件的整数 的个数为＿＿＿＿＿＿ 【考查知识点】分离参数；函数单调性；整数解计数 【答案】2 【解析】 思路：与上一题同法，仍先确认 是解。 不等式即 ； 时 成立，故 是解。 需恰有 个元素，故除 外恰有 个整数解。 令 ，，两侧均递增。 当 时 ； ，。 故正整数解恰为 当且仅当 。 当 时 ，负整数解为空等价于 。 于是需 ，整数 。 若 ，则 时 ，负整数解无穷多，不合题意。 故 ，共 个。 四、解答题变式：母题 15~19 各配 3 个变式（共 15 道变式，共 77 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 15】 （13 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 。 （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积。 【考查知识点】正弦定理；三角形面积公式；两角差与两角和的余弦公式；同角三角函数基本关系 【解析】 （1）由 及正弦定理 得 ，于是 。 由 得 ，即 。 （2）由 得 。 所以 。 因为 ，所以 ，。 故 。 【答案】（1）；（2）。 15-1. （13 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 。 （1）求 ； （2）若 ，求 面积的最大值。 【考查知识点】余弦定理；三角形面积公式；基本不等式 【解析】 （1）思路：条件里同时出现“面积”和“”，分别用面积公式与余弦定理把它俩换成角。 由余弦定理 ， 代入已知等式得 。 又 ，两式比较（）： ，即 。 故 ；又 ，所以 。 （2）思路：把 “” 代入余弦定理，得到 的关系式，再用基本不等式求 的范围。 由余弦定理 。 因 ，故 ，即 。 当且仅当 时取等号。 于是 。 所以面积的最大值为 （此时 ，为等边三角形）。 【答案】（1）；（2）。 15-2. （13 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积。 【考查知识点】正弦定理；两角和的正弦公式；余弦定理；三角形面积 【解析】 （1）思路：条件中边、角混杂，先用正弦定理“边化角”，再合并同类项。 由正弦定理，把 换成 ： 。 展开并移项：。 右边正是两角和的正弦：。 又 ，故 。 于是 ；因 ，约去得 。 又 ，所以 。 （2）思路：已知 与 ，凑出 即可用面积公式。 由余弦定理 。 把 代入： ，所以 。 故 。 【答案】（1）；（2）。 15-3. （13 分） 在 中，，， 的面积为 ，求 的周长。 【考查知识点】三角形面积公式；余弦定理；整体代换（求 a+c） 【解析】 思路：求周长需要 ，而已知两边之积 可由面积求出，用 搭桥。 由面积公式 ： ，解得 。 由余弦定理 ， 即 ，故 。 于是 ， 因 ，故 。 所以周长为 。 【答案】。 【母题 16】 （15 分） 已知数列 的前 项和为 ，，。 （1）求 的通项公式； （2）记 ，， 证明：当 时，。 【考查知识点】由 S_n 与 a_n 的关系求通项；裂项相消法求和；等比数列求和；二项式定理放缩 【解析】 （1）由 得 　① 当 时，　② ①－②得 ，即 ，故 。 所以 为常数列，，即 。 又 时由 ① 得 ，也符合 。故 。 （2）由（1）得 ，。 所以 。 又 。 于是 。 当 时，由二项式定理 ， 故 成立。 （注： 时 ，，二者相等，故题设限定 。） 【答案】（1）；（2）证明见解析。 16-1. （15 分） 已知数列 的前 项和为 。 （1）求 的通项公式； （2）记 ，求 。 【考查知识点】由 S_n 求通项；裂项相消法求和 【解析】 （1）思路：已知 求 ，用 （），最后单独检验 。 当 时， 。 化简：，即 。 当 时，，也满足 。 故 。 （2）思路：先写出 ，再把 拆成两项之差。 因 ，故 。 相加时中间项两两抵消： ， 故 。 【答案】（1）；（2）。 16-2. （15 分） 已知数列 满足 ，。 （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 。 【考查知识点】构造等比数列；等比数列求和 【解析】 （1）思路： 型，用配凑消去常数项。 设 ，展开得 ， 与原式比较得 ，即 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 所以 ，即 。 （2）由（1）得 ，故 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 由求和公式 。 化简得 。 【答案】（1）；（2）。 16-3. （15 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 。 （1）求 的通项公式； （2）证明：对任意 ，。 【考查知识点】由 S_n 与 a_n 的关系求通项；等比数列求和；不等式放缩 【解析】 （1）思路：先用 求首项，再用 时的 找递推关系。 令 ：，解得 。 当 时，，即 。 移项得 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 所以 。 （2）思路：先求出和的精确表达式，再说明它小于 。 由（1）得 ，故 。 这是首项 、公比 的等比数列求和： 。 因 ，故 ，对一切 成立，证毕。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 【母题 17】 （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）若 ，且 ，证明：（i）；（ii）（ 为自然对数的底数）。 【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数；对数运算与换底公式；利用导数研究单调性与最值；构造函数证明不等式 【解析】 （1）由题知 且 。 由 得 ；检验：，符合。故 。 （2）（i）由 得 且 。 由 两边取自然对数：　① 由 得 　② ①÷②（）：，即 。（也可由 ① 得 代入 ② 直接得到。） （ii）令 ，， 得 。 故 在 上单调递减，在 上单调递增。 因 ，；又 且 ，故 。 由（i） 且 ，不妨设 。 令 ，，则 。 由 得 ，故 在 上单调递减。 所以 ，即 。 又 ，故 。 因 ，故 ，且 ，而 在 上单调递增， 所以 ，即 。证毕。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 17-1. （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）证明：若 ，则 。 【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数；对数运算 【解析】 （1）思路：点在 中，说明它同时满足两个方程，任取一个即可定出 ，再用另一个检验。 由 得 。 两边平方：。 检验另一式：，与纵坐标相符，故 。 （2）思路：把 代回定义的两条式子逐条验证。 由 得 且 。 由 按对数的定义等价于 。 现在看点 ：横坐标 、纵坐标 ， 它满足 是因为 ； 它满足 是因为 （由 取对数即得）。 故 ，证毕。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 17-2. （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）设 且 ，证明：、 中一个小于 ，另一个大于 。 【考查知识点】对数运算与换底公式；利用导数研究单调性；函数图象的对称性 【解析】 （1）由 得 ， 两边四次方：。 检验：，符合。 （2）思路：把两条式子都取自然对数，设法消去 ，得到只含 的关系式。 因 ，故 。由 得 ； 由 得 。 两式相除消去 ： ，即 。 再定范围：由 及 知 ； 而 且底数 ，故 。 又 ，，，故 。 于是 。令 ，， 故 在 上递减，在 上递增。 由 且 知 不可能同在 的同一侧， 故 分居 的两侧，即一个小于它、另一个大于它，证毕。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 17-3. （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）证明： 中恰有一个点在直线 上。 【考查知识点】指数函数与反函数图象的交点；导数判断单调性；零点个数 【解析】 （1）由 得 （检验 ，符合）。 （2）思路：点在 上，即横纵坐标相等，问题转化为方程 的解的个数。 设 且在 上，则 且 。 令 ，则 。 因 、，故 ，从而 ， 在 上严格递减。 故 至多有一个零点。 又 ，， 由零点存在定理， 在 内恰有一个零点。 所以方程 有且仅有一个解，即 中恰有一个点在 上，证毕。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 【母题 18】 （17 分） 已知椭圆 的离心率为 ，过坐标原点的直线交 于 两点，且 的最大值为 。 （1）求 的方程； （2）设点 在第一象限，作 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 。 （i）证明：； （ii）记 外接圆面积为 ， 外接圆面积为 ，求 的最小值。 【考查知识点】椭圆的定义与几何性质；直线与椭圆的位置关系；弦长公式；外接圆半径公式；基本不等式 【解析】 （1）由 的最大值为 得 。 又 ，故 ，。所以 。 （2）（i）设 、，则 ，。 由 在椭圆上，，，两式相减得 ，即 。 即 。 又 ， 所以 ，即 。 （ii）设直线 ，与 联立得 ，。 故 。 直线 ，代入椭圆方程并利用 是其一解，得 。 所以 。 于是 ，当且仅当 时取等号。 设 、 的外接圆半径分别为 。因 在 上， 与 互补，故 。 由正弦定理 ，，故 。 所以 的最小值为 。 【法二】（参数方程法）（i）设 ，，则 ，。 设 ，则 ，。 代入椭圆方程得 ，整理得 ， 故 （ 对应点 ）。 而 ，， （代入 即得），故 。 （ii）记 ，则 ，。 ， 。 所以 。 由 得 ，故 （，即 时取等）。 同法一，，最小值为 。 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析，（ii）最小值为 。 18-1. （17 分） 已知椭圆 的离心率为 ，过坐标原点的直线交 于 两点，且 的最大值为 。 （1）求 的方程； （2）设点 在第一象限，作 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 ，证明：。 【考查知识点】椭圆的几何性质；点差法；斜率乘积为定值 【解析】 （1）思路：过原点的弦中，最长的是长轴，故 的最大值就是 。 由 得 ，。 又 ，故 。 所以 ，椭圆的方程为 。 （2）思路：要证两线垂直，只需证 ；而 可用点差法从椭圆方程直接得到。 设 、，则 ，。 因 都在椭圆上： ，。 两式相减得 ， 即 。 而 、，两者相乘恰为上式左边， 故 。 又 三点共线，， 而 ，故 。 代入得 ，即 。 所以 ，证毕。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 18-2. （17 分） 已知椭圆 ，过坐标原点的直线 交 于 两点，点 在第一象限，作 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 。 （1）证明：； （2）求 的最小值。 【考查知识点】椭圆的方程与性质；斜率乘积为定值；弦长公式；基本不等式 【解析】 （1）仿母题，用点差法：设 、，则 、。 由 均在椭圆上，两式相减： ， 即 ， 故 。 又 ，故 ，即 。 （2）思路：先求 的坐标，再用 与方向向量把 表示出来，最后求两段长度之比。 把 代入椭圆：， 故 ，。 则 。 直线 与 垂直，方向向量可取 ， 故设 ，代入椭圆方程： 。 展开并用 抵消常数项，得 。 因 ，取非零解 ； 代入 得 。 所以 。 于是 。 由基本不等式 ，当且仅当 时取等。 故最小值为 。 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为 。 18-3. （17 分） 已知椭圆 ，过坐标原点的直线交 于 两点，点 在第一象限，作 轴，垂足为 。 （1）求 面积的最大值； （2）求 的取值范围。 【考查知识点】椭圆的参数方程（三角换元）；三角形面积；基本不等式；函数值域 【解析】 设 ，则 ，。 （1）思路：选 为底——它是竖直线段，长度就是纵坐标。 因 横坐标相同，； 而 到直线 （即 ）的距离为 。 所以 。 把椭圆方程 用基本不等式放缩： 。 故 。 取等条件 ，即 、，可取到。 所以面积的最大值为 。 （2）思路： 是过原点的弦长，用三角换元把 统一成一个角。 设 ，，其中 。 则 ， 。 因 ，故 ， 所以 ，。 【答案】（1）；（2）。 【母题 19】 （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”，正整数对 为分链数对。 （1）现有甲乙两串项链，如图所示， 表示红色， 表示蓝色。请判断它们是否为 －好分链（给出判断即可，不必说明理由）； （2）证明：对任意给定的 ， 是分链数对； （3）对给定的 ，求所有的正整数 ，使得 是分链数对。 【考查知识点】计数原理与构造；数列的论证；抽屉原理；分类讨论与归纳 【解析】 （1）甲是 －好分链；乙不是 －好分链。 （甲按 分段，四段红珠数依次为 ；乙按 分段，红珠数为 ，有重复。） （2）构造如下项链：把它分成 块，第 块（）含 颗红珠、 颗蓝珠，且蓝珠在前、红珠在后，即 。 设某次分割的起点落在第 块内第 位（）。记 为第 段（）中的红珠数，则第 段由第 块的后 颗与第 块（ 时为第 块）的前 颗组成。 第 块的前 颗为蓝珠、后 颗为红珠，故其后 颗中的红珠数为 ；第 块的前 颗中的红珠数为 。 于是当 时，， 当 （即 ）时 ；当 时 。 而 时该段为第 块的后 颗加第 块前 颗（全蓝），故 。 所以各段红珠数依次取遍 ，，，恰为 的一个排列，互不相同。 由起点 的任意性，该项链是 －好分链，即 是分链数对。 （3）先证 。一段连续 颗珠子中的红珠数只能是 中的某一个，共 种取值。 若 ，则 段中必有两段的红珠数相同（抽屉原理），与“互不相同”矛盾，故 。 再证 都能取到。由（2）知 可实现。对（2）中所构造的项链，去掉最末一段（即第 块，含 颗红珠）后，剩下 颗珠子， 其任意分割所得的 段红珠数仍互不相同（（2）的论证只用到前 块的结构），故 也是分链数对；依此逐次去掉最后一块，可得 都是分链数对。综上，所求 为 。 【法二】（2）另证（计数恒等式法）仍用上述阶梯构造。设起点在第 块内第 位（），第 块含 颗红珠、 颗蓝珠，且蓝珠在前。 第 段盖住第 块的后 颗与第 块的前 颗，故 ，其中 表示第 块前 颗中的红珠数。 由“蓝珠在前”得 ；又第 块全蓝，；第 块全红，。 记 ，则 ，于是 当 （即 ）时 ；当 （即 ）时 。 故 时 取遍 与 ； 而 时（该段为第 块的后 颗加第 块前 颗）。 于是各段红珠数恰为 的一个排列，互不相同，故 是分链数对。 （3）另证 上界：每段红珠数只能取 这 个值，若 则由抽屉原理必有两段相同，故 。 下界：取（2）构造中前 块拼成的项链（共 颗）。由上面的公式，任意分割所得 段红珠数为 与 （若 则为 ），始终互不相同， 故 均可，即所求 为 。 【答案】（1）甲是，乙不是；（2）证明见解析；（3）。 19-1. （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”。 （1）现有甲乙两串项链，如图所示（ 表示红色， 表示蓝色），请判断它们是否为 －好分链（给出判断即可）； （2）证明：对任意 ， 是分链数对（即存在 －好分链）。 【考查知识点】构造与论证；计数原理；分类讨论 【解析】 （1）思路： 表示 3 段、每段 4 颗，而起点可以任选，共 4 种切法，要逐一检查。 甲串按图示分成 ，三段红珠数为 ； 起点右移一颗，三段变为 ，红珠数为 ； 起点再右移一颗，得 ，红珠数为 ； 起点再右移一颗，得 ，红珠数为 。 四种切法所得红珠数都是 的不同排列，互不相同，故甲是 －好分链。 乙串为 ，无论从哪颗起切，三段红珠数都是 ，出现重复，故乙不是。 （2）思路：仿母题，把项链做成“红珠逐块增多”的阶梯形，再验证任意起点下各段红数互不相同。 构造 块，第 块含 颗红珠、 颗蓝珠，且蓝珠在前、红珠在后： 。 共 颗，恰可分成 段。设起点在第 块第 位（）， 则第 段 = 第 块的后 颗 + 第 块的前 颗（ 时下一块回到第 块）。 第 块的后 颗中含红 颗；第 块的前 颗中含红 颗。 所以 ，（末段的下一位回到全蓝的第 块）。 当 时 ，得 ； 当 时 ，得 ； 而 ，恰补上缺的那个数 （ 时退化为 ，不影响结论）。 三者拼起来恰是 这 个数，互不相同。 所以该项链是 －好分链，即 是分链数对，证毕。 【答案】（1）甲是，乙不是；（2）证明见解析。 19-2. （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”，正整数对 为分链数对。 （1）证明：若 是分链数对，则 ； （2）证明：对任意 ， 与 都是分链数对。 【考查知识点】抽屉原理；构造法；计数原理 【解析】 （1）思路：一段连续 颗珠子中，红珠数只能取 这 个值——这就是“抽屉”。 若 ，则 段分到的红珠数只有 种可能， 由抽屉原理，必有两段红珠数相同，与“互不相同”矛盾。 故 。 （2）先证 ：取母题（2）中的阶梯构造 。 共 颗，可分成 段。设起点在第 块第 位， 同母题的计算， 时 ， 其中 时下一块回到第 块（全蓝），故 。 于是各段红珠数为 、、，共 个，恰为 的排列，互不相同。 所以 是分链数对。 再证 ：项链只有 颗，只能分成 段， 不存在两段可以比较，故任意项链都满足条件， 是分链数对。 综上， 与 都是分链数对，证毕。 【答案】证明见解析。 19-3. （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”，正整数对 为分链数对。 （1）判断 是否为分链数对（给出判断即可）； （2）求所有的正整数 ，使得 是分链数对。 【考查知识点】构造法；抽屉原理；分类讨论 【解析】 （1）思路：写出一个具体项链，把所有切法都算一遍。 取 ，即 6 颗珠子依次为 。 从第 颗起切：，红珠数 ； 从第 颗起切：，红珠数 。 两种切法所得红珠数都互不相同，故 是分链数对。 （2）思路：一段 2 颗珠子的红珠数只有 三种，先用抽屉原理定出 的上界，再逐一构造。 一段 颗珠子的红珠数只能取 ，共 种取值， 由抽屉原理，若 必有两段相同，故 。 下面说明 都能实现： ① ：项链只有一段，不存在两段比较，任意项链均可； ② ：取 ，从第 颗起切得红珠数 ； 从第 颗起切得 ，红珠数 ，均互不相同； ③ ：由（1）知 成立。 所以 的取值集合为 。 【答案】（1）是；（2）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 学年杭州高三一模数学试题·举一反三变式训练 数学变式训练（母题 19 道 + 变式 57 道，共 76 题） 使用说明： 1. 本题库对原卷 19 道题逐题配置 3 个同源变式，编号 “m-n” 表示母题 m 的第 n 个变式。 2. 变式保持母题的考查知识点与解题主线，只改变数据、设问角度或图形位置。 一、选择题变式：母题 1~8 各配 3 个变式（共 24 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 1】 已知 为虚数单位，若 ，则 A. B. C. D. 1-1. 已知 为虚数单位，若 ，则 A. B. C. D. 1-2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为 A. B. C. D. 1-3. 已知 为虚数单位，复数 ，则 A. B. C. D. 【母题 2】 设随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 2-1. 设随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 2-2. 设随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 2-3. 某次考试的成绩 服从正态分布 ，已知 ，则 A. B. C. D. 【母题 3】 已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，则 A. B. C. D. 3-1. 已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 3-2. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 3-3. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 【母题 4】 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 4-1. 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 4-2. 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 4-3. 已知数列 满足 ，，则 A. B. C. D. 【母题 5】 已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 A. B. C. D. 5-1. 曲线 在 处的切线方程为 A. B. C. D. 5-2. 曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 5-3. 若曲线 在 处的切线斜率为 ，则 A. B. C. D. 【母题 6】 中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究。在一定条件下，系统的熵 随时间 的变化规律为 ，其中 为平衡态熵， 为初始熵， 为分子碰撞频率， 为自然对数的底数。设 ，当 增大时，系统的熵 A. 减小，且减速越来越慢 B. 减小，且减速越来越快 C. 增大，且增速越来越快 D. 增大，且增速越来越慢 6-1. 某放射性物质的质量 随时间 （单位：年）的变化规律为 （，）。当 增大时，该物质的质量 A. 减小，且减少得越来越慢 B. 减小，且减少得越来越快 C. 增大，且增长得越来越慢 D. 增大，且增长得越来越快 6-2. 某药物在血液中的浓度 与时间 （单位：h）满足 （），则当 从 增大到 时，浓度 A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 6-3. 某地冬季某天的气温 （单位：℃）与时间 （单位：h）满足 ，则当 增大时，气温 A. 升高，且升温越来越慢 B. 升高，且升温越来越快 C. 降低，且降温越来越慢 D. 降低，且降温越来越快 【母题 7】 如图， 是曲线 与 的三个相邻的交点，若 的面积为 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 7-1. 已知 是曲线 与 的三个相邻交点，则 的面积为 A. B. C. D. 7-2. 已知 是曲线 与 的三个相邻交点，若 的面积为 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 7-3. 已知 是曲线 与 的三个相邻交点，则 的面积为 A. B. C. D. 【母题 8】 已知圆 ，，，直线 被 截得的弦长分别为 。若 ，则 A. B. C. D. 8-1. 已知圆 ，，直线 被 截得的弦长分别为 。若 ，则 A. B. C. D. 8-2. 已知圆 ，，直线 被 截得的弦长分别为 。若 ，则 A. B. C. D. 8-3. 直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 A. B. C. D. 二、多项选择题变式：母题 9~11 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 6 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 9】 为研究光照时间 （单位：h）与某植物产量 （单位：t/hm）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为 ，植物平均产量为 ，经验回归方程为 ，则 A. B. 变量 和 正相关 C. 光照时间每增加 ，植物产量约增加 D. 当 时， 的预测值为 9-1. 已知一组数据 的样本中心为 ，经验回归方程为 ，则 A. B. 变量 与 正相关 C. 样本点 处的残差为 D. 当 时， 的预测值为 9-2. 已知某组数据的经验回归方程为 ，则 A. 变量 与 负相关 B. 样本中心可以是 C. 当 每增加 个单位时， 平均减少 个单位 D. 当 时， 的预测值为 9-3. 关于一元线性回归分析，下列说法正确的是 A. 经验回归直线一定经过样本中心点 B. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C. 样本相关系数 的绝对值越接近 ，两个变量的线性相关性越强 D. 决定系数 越小，模型的拟合效果越好 【母题 10】 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 在 的准线上，则 A. 的最小值为 B. 存在点 ，使得 C. 若 ，则直线 与 有两个交点 D. 若点 在 轴上，则 10-1. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，则 A. 的最小值为 B. 若 的中点到 轴的距离为 ，则 C. 以 为直径的圆与 轴相切 D. 若 的倾斜角为 ，则 10-2. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 在 的准线上，则 A. 存在点 ，使得 B. 以 为直径的圆与准线相切 C. 若 ，则 D. 可以取到 10-3. 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则 A. B. 点 的坐标为 C. 抛物线的准线方程为 D. 过焦点且垂直于 轴的弦长为 【母题 11】 若存在实数 和 ，使得对 ，，则 A. B. 当 时， C. 当 时， 的最小值为 D. 当 时， 的最小值为 11-1. 若存在实数 和 ，使得对 ，，则 A. 当 时， 的最小值为 B. 当 时， 的最小值为 C. 当 时， 可以取 D. 当 时， 的最小值为 11-2. 若存在实数 和 ，使得对 ，，则 A. 当 时， 的最小值为 B. 当 时， 可以取到 C. 当 时， 的最小值为 D. 对任意 ， 的最大值随 增大而增大 11-3. 若存在实数 ，使得对 ， 恒成立，则 A. 若 ，则 的最小值为 B. 若 ，则 的最小值为 C. 若 ，则 的最小值为 D. 若 ，则 的最小值为 三、填空题变式：母题 12~14 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 12】 已知单位向量 满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 12-1. 已知单位向量 满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 12-2. 已知 ，，，则 ＿＿＿＿＿＿ 12-3. 已知单位向量 的夹角为 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 【母题 13】 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 13-1. 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 13-2. 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 13-3. 已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ，，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿ 【母题 14】 已知 是自然对数的底数，若集合 恰有 个子集，则满足条件的整数 的个数为＿＿＿＿＿＿ 14-1. 若集合 恰有 个元素，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿ 14-2. 已知 是自然对数的底数，若集合 恰有 个子集，则满足条件的整数 的个数为＿＿＿＿＿＿ 14-3. 若集合 恰有 个子集，则满足条件的整数 的个数为＿＿＿＿＿＿ 四、解答题变式：母题 15~19 各配 3 个变式（共 15 道变式，共 77 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 15】 （13 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 。 （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积。 15-1. （13 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 。 （1）求 ； （2）若 ，求 面积的最大值。 15-2. （13 分） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积。 15-3. （13 分） 在 中，，， 的面积为 ，求 的周长。 【母题 16】 （15 分） 已知数列 的前 项和为 ，，。 （1）求 的通项公式； （2）记 ，， 证明：当 时，。 16-1. （15 分） 已知数列 的前 项和为 。 （1）求 的通项公式； （2）记 ，求 。 16-2. （15 分） 已知数列 满足 ，。 （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 。 16-3. （15 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 。 （1）求 的通项公式； （2）证明：对任意 ，。 【母题 17】 （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）若 ，且 ，证明：（i）；（ii）（ 为自然对数的底数）。 17-1. （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）证明：若 ，则 。 17-2. （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）设 且 ，证明：、 中一个小于 ，另一个大于 。 17-3. （15 分） 已知 ，设集合 。 （1）若 ，求 ； （2）证明： 中恰有一个点在直线 上。 【母题 18】 （17 分） 已知椭圆 的离心率为 ，过坐标原点的直线交 于 两点，且 的最大值为 。 （1）求 的方程； （2）设点 在第一象限，作 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 。 （i）证明：； （ii）记 外接圆面积为 ， 外接圆面积为 ，求 的最小值。 18-1. （17 分） 已知椭圆 的离心率为 ，过坐标原点的直线交 于 两点，且 的最大值为 。 （1）求 的方程； （2）设点 在第一象限，作 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 ，证明：。 18-2. （17 分） 已知椭圆 ，过坐标原点的直线 交 于 两点，点 在第一象限，作 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 。 （1）证明：； （2）求 的最小值。 18-3. （17 分） 已知椭圆 ，过坐标原点的直线交 于 两点，点 在第一象限，作 轴，垂足为 。 （1）求 面积的最大值； （2）求 的取值范围。 【母题 19】 （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”，正整数对 为分链数对。 （1）现有甲乙两串项链，如图所示， 表示红色， 表示蓝色。请判断它们是否为 －好分链（给出判断即可，不必说明理由）； （2）证明：对任意给定的 ， 是分链数对； （3）对给定的 ，求所有的正整数 ，使得 是分链数对。 19-1. （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”。 （1）现有甲乙两串项链，如图所示（ 表示红色， 表示蓝色），请判断它们是否为 －好分链（给出判断即可）； （2）证明：对任意 ， 是分链数对（即存在 －好分链）。 19-2. （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”，正整数对 为分链数对。 （1）证明：若 是分链数对，则 ； （2）证明：对任意 ， 与 都是分链数对。 19-3. （17 分） 一个圆形项链有 颗珠子，每颗为红色或蓝色。若任意将这项链分割成 段，每段连续 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这串项链为 “－好分链”，正整数对 为分链数对。 （1）判断 是否为分链数对（给出判断即可）； （2）求所有的正整数 ，使得 是分链数对。 学科网（北京）股份有限公司 $