浙江杭州市2026-2027学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷

2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1 3 3 5 6 P C B 0 0 C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABC 10.AD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.- 18.9 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)因为5aac=bsmC=0品sinB sinG=0 10sinA 所以sinB sinc= …5分 (2)因为os(8-C)=cBcC+sin8 B sinC=号 所以co=- …9分 从而cos(B+C)=cosBcosC-sin Bsinc=- 即有cosA=-c0s(B+O=营所以sinA=号 所5auc=品g-号 …13分 16.(1)因为2Sm=nan+1,所以a=2, 当n≥2时，2Sm-1=(m-1)an, 所以2a=2Sn-5-)=na+1-0m-1)a,化简得：=÷ 所以=号=…=号=1，即a=n(1也成立)， 所以a=n. …6分 (2)由(1)知5n=,则=2（日） 所以P.=2(1-)+2传-)+…+2(（日)=2(-) 0=1++京+…+点=2(1-) 当22时，2n=C9+C1+C%+…+C7>1+n, 所以Pn<Q. .…15分 17.(1)由题知i-=子且loga子克所以a=6 …4分 (2)(i)由题知点(b,c)是函数y=心与y=logx的图象的交点， 所以c=aP且c=logab, 由c=a,两边取自然对数得blna=nc.① 由c=logab及换底公式得：=c,所以1nb=clna.② 由①②得blnb=cnc. …9分 (i)令h()=xnx,则h()=mx+1,当h()=0时，x=是 易得h)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增. 由(i)知h()=h(c),不妨设b<<c<1. 令=h(-h(-x),xe(o,). 则F()=h(x)+h(径-x) =x+1+n(6-x)+1=2+lmx(-x]≤2+lm3=0 所以P)单调递减，所以b)=h(b)-h(-b)>F(目=0 所以h(b)>h(-b),所以h(d)>h(（-b): 又因为c>÷,。b>且h()在（日，1）上单调递增. 所以c>2-b,所以b十c>名，证毕. …15分 18.(1)由题知MW1的最大值为24，即=2， 又e=:=号所以c=V2,所以b=V2, 所以学+号=1. …4分 (2)设M(x1,y),G(xo,yo),则W(-x1,-y1),E(x1,0) ①设直线w的斜率为k(k>0),则kaw一器，kow=器 所以awa--一号 又ka=kw=之。升-月 所以kG=-是所以NLMG. …9分 (ii)设直线MN的方程为y=kx(飞>O): 2 （y=kx, X1= 联立 +苦-1 解得 V2k2+1 2 所以MN1=V1+212x1 直线MG的方程为y=-(x-x)+y1=-x+x1 k七1， x2 ,得（侵+1）x-型x+2-4=0, k2 k2 =1 则x1+x0= 4x1(k2+1) 即x0= 3k2+2 k2+2 k242七1 所以MGF 1+x10l 所以器 +22L=- 2k 2k √1+2x-x0l +2≥22， k x1 (当且仅当k=√2时等号成立) 设△MNE外接圆半径为r1,△MEG外接圆半径为r2, 则2r1=MM MGI sn∠MEN' 2r2= sinLMEG 所以-() ≥8，即的最小值为8. …17分 19.解：(1)甲是(4,3)-好分链 乙不是(4,3)-好分链 …4分 (2)对任意一段n颗珠子，红珠子的数量只可能为0,1,2，，n中的某一个数字， 所以最多只能产生n+1段，每段n颗珠子，且各段中红色珠子数均互不相同. 可以构造如下(n+1,n)-好分链： n颗 n-1颗n-2颗 n-1颗 n颗 BB…BBB…BRBB…BRR…BRR…RRR…R …8分 第1段第2段 第3段 第n段第n+1段 用x:(1≤i≤n(n+1)表示从左到右的第i颗珠子， X1x2…XnXn+1… BB…B BB…BRBB…BRR BRR…RRR…R 0个R 1个R 2个R n-1个R n个R 这串项链共有n种分段方式. 方式1：从x1开始，各段R的个数为0,1,2，，n-3,n-2,n-1,n: 方式2：从x2开始，各段R的个数为0,1,2，，n-3,n-2,n,n-1: 方式3：从x3开始，各段R的个数为0,1,2，，n-3,n-1,n,n-2; 方式n:从xn开始，各段R的个数为0,2,3，，n-2,n-1,n,1: 可以逐一验证无论将该串项链怎么分成+1段连续的n颗珠子，各段红色珠子数分别 为0,1,2，，n,互不相同 因此，可由这(n+1)n颗珠子构造出(n+1,n)-好分链，. 3 所以是(n+1,n)分链数. …11分 (3)由于任意一段n颗珠子，红珠子的数量只可能分别为0,1,2，，n中的某一个，共 有n+1种情况. 因此若m≥n+2,则m段的n颗珠子必有两段及以上有相同的红色珠子个数，不符合 题意.因此m≤n+1. …14分 由(2)知，可构造出“(n+1,n)-好分链”，若去掉这个“(n+1,n)-好分链”的第 n+1段，类似(2)可证剩余的为“(n,n)-好分链'： 类似地，去掉其第n段和第n+1段（后面两段)，剩余的为(n一1，n)-好分链”： 如此一直下去，去掉后面连续的n段，剩余的为“(1，n)-好分链” 所以m的取值可以是1,2,3，…，n,什1.…17分 2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 2．设随机变量，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（ ） A．减小，且减速越来越慢 B．减小，且减速越来越快 C．增大，且增速越来越快 D．增大，且增速越来越慢 7．如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆，，，直线被，，截得的弦长分别为，，．若，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为研究光照时间（单位：h）与某植物产量y（单位：）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10 h，植物平均产量为，经验回归方程为，则（ ） A． B．变量x和y正相关 C．光照时间每增加1 h，植物产量约增加 D．当x时，y的预测值为7 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（ ） A．的最小值为 B．存在点，使得 C．若，则直线与有两个交点 D．若点在轴上，则 11．若存在实数和，使得对，，则（ ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知单位向量，，满足，则________． 13．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为________． 14．已知e是自然对数的底数，若集合恰有4个子集，则满足条件的整数a的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．（15分） 已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）记，， 证明：当时，． 17．（15分） 已知，设集合． （1）若，求； （2）若，且． 证明：（ⅰ）； （ⅱ）（为自然对数的底数）． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． （1）求的方程； （2）设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 19．（17分） 一个圆形项链有颗珠子，每颗为红色或蓝色．若任意将这串项链分割成段，每段连续颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，那么称这串项链为好分链，正整数对为分链数对． （1）现有甲乙两串项链，如图所示，表示红色，表示蓝色．请判断它们是否为好分链（给出判断即可，不必说明理由）； （2）证明：对任意给定的，是分链数对； （3）对给定的，求所有的正整数，使得是分链数对． 学科网（北京）股份有限公司 $