浙江杭州市2026-2027学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷

2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题卷

考生须知：

1．本试卷分试题卷和答题卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！

3．考试结束，只需上交答题卡。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i为虚数单位，若，则（     ）

A．    B．    C．    D．

2．设随机变量，若，则（     ）

A．1    B．2    C．3    D．4

3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ）

A．    B．    C．    D．

4．已知数列满足，，则（     ）

A．    B．    C．    D．

5．已知曲线在点处的切线方程为，则（     ）

A．2    B．3    C．4    D．6

6．中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（     ）

A．减小，且减速越来越慢    B．减小，且减速越来越快

C．增大，且增速越来越快    D．增大，且增速越来越慢

7．如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（     ）

A．    B．    C．    D．

8．已知圆，，，直线被，，截得的弦长分别为，，．若，则（     ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．为研究光照时间（单位：h）与某植物产量y（单位：）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10 h，植物平均产量为²，经验回归方程为，则（     ）

A．

B．变量x和y正相关

C．光照时间每增加1 h，植物产量约增加

D．当x时，y的预测值为7

10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（     ）

A．的最小值为

B．存在点，使得

C．若，则直线与有两个交点

D．若点在轴上，则

11．若存在实数和，使得对，，则（     ）

A．

B．当时，

C．当时，的最小值为

D．当时，的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知单位向量，，满足，则________．

13．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为________．

14．已知e是自然对数的底数，若集合恰有4个子集，则满足条件的整数a的个数为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）

设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

16．（15分）

已知数列的前项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）记，，

证明：当时，．

17．（15分）

已知，设集合．

（1）若，求；

（2）若，且．

证明：（ⅰ）；

（ⅱ）（为自然对数的底数）．

18．（17分）