精品解析：湖北省仙桃市第八中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断性考试数学试卷

仙桃八中高二年级第一次诊断性考试 数学试卷 本卷满分 150 分　　考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可； 【详解】由题知直线的斜率为， 因为，所以倾斜角， 故选：D． 2. 从1、2、3、4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】所有的取法为共种不同的取法， 其中满足题意的取法有，概率为， 3. 如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 5. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平面平行可知其法向量共线，利用向量共线的坐标运算求出的值，即可得到的值. 【详解】因为，所以平面与平面的法向量共线， 即存在实数，使得， 将向量坐标代入得方程组：，解得： ， 因此. 6. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围是， 当时，不存在，此时直线没有斜率， 故并非所有有倾斜角的直线的斜率都为，A错误； 对于B，设直线的倾斜角为，已知直线斜率，则， 结合直线的倾斜角的取值范围是，可得，B正确； 对于C，点，的纵坐标相等，说明直线与轴平行， 因此直线的倾斜角为，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则． 已知直线过点，由点斜式可得直线方程为，即． 将代入方程，可得，因此这条直线必过点，D正确． 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，则（　　） A. 当 时， 平面 B. 任意 ，三棱锥 的体积是定值 C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为 D. 当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面判断A；对于B，由不与平面平行，即点到平面的距离不为定值即可判断B；对于C，建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成的角，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】对于A，当时，点与点重合，平面即为平面. 连结，由平面可得， 又平面，所以平面，因此； 同理可得，又是平面内的两条相交直线， 所以平面，因此平面，故A正确； 对于B，因为不与平面平行，所以点到平面的距离不为定值， 故三棱锥的体积不为定值，故B错误； 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量为， 则 不妨设，则，所以. ， 与平面所成角的正弦值为， 此时与平面所成角大于，故C错误； 对于D，当时，则，平面的法向量 ， 所以球心到平面的距离 . 又外接球半径， 故截面圆半径， 所以截面的面积， 故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行直线的斜率的关系列方程，从而求得的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以． 又直线，则，解得． 故答案为： 13. 如图，二面角 的大小为 ， 是棱 上两点，，，且 ，，，则 ________． 【答案】 【解析】 【详解】， 两边取模平方： ， 由 ，，得 ，故 ； 由 ，，得 ，故 ， 二面角 的平面角为 ， 与 的夹角为 ， 故 与 的夹角为， ， 代入得， . 14. 如图，在直三棱柱 中，，，， 是 的中点， 是 的中点， 是 与 的交点， 是线段 上的一点，且满足 平面 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由 底面且 ，以 为原点建立空间直角坐标系；写出各点坐标与点 的参数坐标，求出平面 的法向量，由 平面 等价于 列方程，解出参数 . 【详解】 以 为原点，分别以 、、 的方向为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得 ，，，，，， 由 是的中点， 是 的中点，得，， ， 设 ，，，， 设平面 的法向量为 ， 、， ，即 ， 取 ，得 ，，故 ， 由 平面 ，得 ，即 ， ， ，解得 ， 故 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程（用斜截式表示）； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用垂直斜率关系式得出上的高的斜率再点斜式得出直线方程； （2）根据中点得出坐标，再应用已知两点得出直线即可； （3）先设点的坐标，再应用向量相等列式计算求解. 【小问1详解】 直线的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 记的中点为，的坐标为， 直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为． 【小问3详解】 设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，， 故当为时，四边形为平行四边形． 16. 在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的 2 个球颜色相同的概率； （3）求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用表示抽取小球，通过列举法即可求解； （2）由样本空间，结合古典概型概率公式即可求解； （3）由独立事件概率公式和对立事件概率公式即可求解. 【小问1详解】 用表示抽取小球的所有结果（其中x，y分别为从甲、乙盒子抽到的小球标号），则 【小问2详解】 由（1）． 设事件“取出的2个球颜色相同”， 则事件， ， 所以． 【小问3详解】 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， “2个球至少有一个红球”的概率为． 17. 如图，底面由矩形与以为直径的半圆拼接而成，已知底面，且，．点为半圆弧上的动点（不与、两点重合）． （1）证明：平面； （2）若二面角的夹角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）因为点在以为直径的半圆上且不与点、点重合，故， 因为底面，平面，有． 因为，平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆的直径所对的圆周角是直角，直线与平面垂直的性质，可得到证明线面垂直所需条件； （2）找到二面角的平面角，建立空间直角坐标系通过法向量求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，所以二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，， 又因为，所以. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置 3 道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对 2 题可获得 7 天会员；连续答对 3 题可获得 30 天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题 1 的概率为 ，答对题 2 的概率为 ，答对题 3 的概率为 ，各题答对与否相互独立. （1）若 ，且甲按题 1→题 2→题 3 的顺序答题，求甲获得 30 天会员的概率. （2）若 ，且第一次答题 2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题 3 位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求 的取值范围. 【答案】（1） （2）按题 2→题 1→题3的顺序答题 （3） 【解析】 【分析】（1）要拿到 30 天会员，必须三道题全部答对；三题答题相互独立，直接用独立事件概率乘法公式计算三题全对的概率； （2）第一题固定答题 2，剩余只有两种答题顺序，获奖条件是出现连续两题答对，分别写出两种顺序下获奖的概率， 比较大小，选择概率更大的顺序即可； （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题，分别写出三种情况的概率，写出不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 甲获得30天会员的概率为. 【小问2详解】 当时，各种答题顺序的情况如下：按题 2→题 1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题 2 → 题 3 → 题 1 的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题 2 → 题 1 → 题 3 的顺序答题； 【小问3详解】 根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题 1 位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题 2 位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题 3 位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可， 即, 解得. 又因为，所以的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形，，， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ，求 到平面 的距离； （3）若三棱锥 外接球半径为 4，求直线 和平面 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为在中，为的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，不在平面上，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，进而利用向量数量积求出 到平面 的距离. （3）先根据勾股定理求出点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，进而利用向量夹角余弦值公式求出直线 和平面 所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 在平面内过作，交的延长线于，连接， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，所以轴. 因为，所以， 因为，所以，所以. 即，所以轴. 在中，，所以. 所以. 因为为的中点，所以，所以. 设平面的法向量为，所以. 令，则，则. 设点到平面的距离为，所以. 由（1）知平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离. 所以到平面的距离为. 【小问3详解】 根据（2）中的坐标系，设，则. 因为，所以. 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径为. 设三棱锥外接球的半径为，球心为. 由球的性质，可得，解得，即. 所以.因为点在外接球上，所以. 所以，即. 所以，所以. 所以. 设平面的法向量为，所以. 即，令，则. 所以.设直线和平面所成角为， 所以. 因为，所以. 所以直线 和平面 所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙桃八中高二年级第一次诊断性考试 数学试卷 本卷满分 150 分　　考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 从1、2、3、4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为 A. B. C. D. 3. 如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（） A. B. C. D. 6. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，则（　　） A. 当 时， 平面 B. 任意 ，三棱锥 的体积是定值 C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为 D. 当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______． 13. 如图，二面角 的大小为 ， 是棱 上两点，，，且 ，，，则 ________． 14. 如图，在直三棱柱 中，，，， 是 的中点， 是 的中点， 是 与 的交点， 是线段 上的一点，且满足 平面 ，则 ________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程（用斜截式表示）； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 16. 在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的 2 个球颜色相同的概率； （3）求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 17. 如图，底面由矩形与以为直径的半圆拼接而成，已知底面，且，．点为半圆弧上的动点（不与、两点重合）． （1）证明：平面； （2）若二面角的夹角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置 3 道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对 2 题可获得 7 天会员；连续答对 3 题可获得 30 天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题 1 的概率为 ，答对题 2 的概率为 ，答对题 3 的概率为 ，各题答对与否相互独立. （1）若 ，且甲按题 1→题 2→题 3 的顺序答题，求甲获得 30 天会员的概率. （2）若 ，且第一次答题 2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题 3 位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求 的取值范围. 19. 如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形，，， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ，求 到平面 的距离； （3）若三棱锥 外接球半径为 4，求直线 和平面 所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $