精品解析：湖北潜江市文昌高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性考试数学试题

高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 2. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 【答案】B 【解析】 【详解】由可得. 所以. 代入，得. 3. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 4. 某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（ ） A. 恰有一名女生被选中 B. 被选中的学生的性别相同 C. 被选中的学生均是男生 D. 至少有一名女生被选中 【答案】C 【解析】 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 5. 直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 6. 某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. 7. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率，然后将这两个概率相加，得到处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例. 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态 1，需连续3秒都保持状态 1，根据独立事件概率公式：； 设经过3秒处于状态2的概率为， 情况一:第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为； 情况二:第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得. 8. 已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体中三点的关系将问题转化. 【详解】由题意知为边长为的等边三角形，取E为的中点，则. 连接,由题意知，,则. ,当且仅当三点共线时取得最大值． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； 是坐标平面的一个法向量，故B错误； 设，则， 此时共面，与是空间的一组基底矛盾， 故也是空间一组基底，故C正确； 由两点间距离公式得， 故是等腰直角三角形，故D正确. 10. 随机事件，满足，则（ ） A. B. 、不是互斥事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法判断A；根据互斥事件的定义判断B，根据对立事件的定义判断CD. 【详解】若，则，与题干矛盾，故A错误； 因为，所以随机事件，可以同时发生，即、不是互斥事件，故B正确； 因为，所以，即，故C正确D错误； 故选：BC 11. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间中点到直线距离公式求解A和D；利用点到面的距离公式求解B；将面到面的距离问题转换为点到面的问题进行求解C. 【详解】 如图所示，以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于A，易得，， 设，则，所以， 因此点到直线的距离 ，故A正确； 对于B，易得，取平面 的一个法向量 ， 则点到平面的距离，故B正确； 对于C，易得，， 设平面的法向量为， 则，即 ，令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 由于，所以 ， 又因平面，平面，所以平面，同理平面， 平面，， 所以平面平面，因此平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 即平面 与平面 间的距离为 ，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 13. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75## 【解析】 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 14. 如图所示，二面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝2，AC＝3，BD＝4，则CD的长____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，且，在棱上， 所以，. 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为， 则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以 ， 即， 所以的长为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 样本空间中共有10个基本事件， 事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，故，共1个基本事件， 因此； 【小问3详解】 设事件为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以. 16. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 因为，分别为的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量计算即可得； （2）求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得至少两盘连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立． （1）若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； （2）通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利． 【答案】（1） （2）队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 【解析】 【分析】（1）两队打平即无队伍连胜，存在两种互斥情况，第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜； 第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，分别计算两种情况的概率，打平概率为两种情况概率之和. （2）罗列出所有出场顺序并计算对应丁获胜的概率，甲乙丙三个人不同的出场顺序有6种，对比不同出场顺序丁获胜的概率，确定出场顺序. 【小问1详解】 设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则 【小问2详解】 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利， 设丁获胜的概率为， 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 则 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则， 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 18. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角为60°，求的值； （3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 【答案】（1）证明：由题意平面，平面，故； 又四边形为正方形，故,而平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量公式，可得关于的方程，即可求解； （3）根据空间距离的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形为正方形，所以． 因为平面，所以，，相互垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以，即， 则，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 设平面的法向量为，， 则，即，可取． 因为平面与平面所成角为60°， 所以， 解得． 【小问3详解】 由（2）得平面的法向量为，结合， 所以点到平面的距离为． 19. 给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求“”的概率； （3）记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 【答案】（1）的所有可能取值为0，2，4 （2） （3）， ①若只调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为，其余数据在原来位置不变， 此时， ②当时，若调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为和，其余数据在原来位置不变， 此时， 或者， ③当时，若调整个数，其他不变得到数据，显然， 综上所述，事件为不可能事件． 【解析】 【分析】（1）根据题意列举出数据的所有情况，根据公式计算结果； （2）设“”为事件，由古典概型求得事件的对立事件，即可求得； （3）讨论调整位置个数，由定义求得的表达式，从而证明. 【小问1详解】 当时，则，，，，，， 可知0，2，2，4，4，4， 则的所有可能取值为0，2，4． 【小问2详解】 记“”为事件，样本空间为，则“”为事件， 当时，由列举可知，数据有个，样本空间有个样本点， ①若不调整数据，此时，事件有1个样本点； ②若只调整个数，其他不变，欲使，只能调整相邻的两个数据， 即将数据，，调整为，，， 此时，事件有3个样本点； ③若调整个数，由（1）可知，此时， 由以上可知，事件有个样本点， 则． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 3. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（ ） A. 恰有一名女生被选中 B. 被选中的学生的性别相同 C. 被选中的学生均是男生 D. 至少有一名女生被选中 5. 直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10. 随机事件，满足，则（ ） A. B. 、不是互斥事件 C. D. 11. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 14. 如图所示，二面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝2，AC＝3，BD＝4，则CD的长____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 16. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得至少两盘连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立． （1）若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； （2）通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利． 18. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角为60°，求的值； （3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 19. 给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求“”的概率； （3）记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $