精品解析：河南开封市杞县第二高级中学2026-2027学年高二宏志班上学期第一次月考数学试卷

26-27学年上学期宏志班高二年级第一次月考试题 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方向向量计算斜率，结合倾斜角与斜率的关系及倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，根据倾斜角的定义可知. 已知直线的一个方向向量为，则. 又，可得. 因为，解得. 2. 若，，三点共线，则（ ） A. 169 B. 144 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示求出即得. 【详解】依题意，，，由，，三点共线， 得，则，解得，，所以. 故选：A 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和的夹角为，根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】令和的夹角为， 则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 4. 两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 5. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若，，，，则平面与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边同时平方代入可得，即可求出平面与的夹角. 【详解】因为，所以. 因为，，，，，， 所以， 所以． 因为，所以， 故平面与夹角为． 故选：B. 6. 已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为的夹角为钝角,故， 又不共线，当共线时，，所以的取值范围是. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线经过，，另有两点，，则（ ） A. 倾斜角为0时， B. 斜率不存在时， C. 存在满足 D. 时， 【答案】BD 【解析】 【详解】选项 A：直线经过，，倾斜角为时，得直线的斜率，，，得，A 错误； 选项 B：直线经过，，斜率不存在时，则两点的横坐标相等，即， B 正确； 选项 C：由，得，若，则 ，所以，得 ，方程无解，故不存在这样的，C 错误； 选项 D：时，得，所以，得，此时，符合题意，D 正确. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥； B. 若平面α，β的法向量分别为，则； C. 若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则； D. 若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：通过计算以及线面平行的判定来判断；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算以及来得答案；对于D：求出对称点，然后利用距离公式计算． 【详解】对于A：，则， 又直线l可能在平面α外，也可能在平面α内，故∥或，A错误； 对于B：，则，B正确； 对于C：，向量是平面α的法向量， 则，解得，，C正确； 对于D：点C是A关于平面yOz的对称点，且，得, 则，D错误． 故选：BC． 11. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，正八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 此八面体的体积为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 此八面体的外接球的体积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据体积公式计算后判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，取的中点，利用向量法计算的余弦值后可判断B的正误，再根据向量法可求C中线面角的正弦值后求得余弦值判断其正误，根据建系的过程可判断即为外接球球心，故可求外接球的体积. 【详解】由题设正四棱锥的高为. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，； 对于，底面的面积，高， 故，故八面体体积， 所以正确； 对于，取的中点， 因为和 都是正三角形，所以，， 因此就是二面角的平面角，则， 向量，向量， 故，，， 故， 故平面夹角的余弦值为，所以正确； 对于C，， 而，， 设平面的法向量， 则， 所以，取， 设直线 与平面 所成角为， 则， 所以，所以C正确； 对于，因为，故外接球球心为， 半径，外接球的体积，所以错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为，所以， 即，所以. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的方向向量与平行求出，进而得到和的坐标；再利用向量投影求出点到直线的距离，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】由题可知，，又直线的一个方向向量为，所以，解得， 所以，， 又，所以，且， 所以向量在向量上的投影向量的模长为， 故点A到直线的距离为， 所以． 14. 已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，， . 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 16. 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点坐标计算斜率，根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角； （2）根据平行四边形对边平行且相等，转化为直线斜率相等，根据两点坐标公式计算两点距离，由此计算点的坐标； （3）分析所求的式子为与连线的斜率，根据直线与线段有交点的条件下计算斜率的范围． 【小问1详解】 因为，； 因为直线的斜率为． 设直线的倾斜角为， 则；所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； 【小问3详解】 由题意得为直线的斜率． 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； 【小问2详解】 因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； 【小问3详解】 因为， 所以 . 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2） （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得． ，， ，，、平面，平面． 平面，平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，再结合条件以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知、、两两相互垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得平面，又、平面，，， 又，、、两两相互垂直． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，由（1）知， 则、、、， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，． 设直线与平面所成的角为， 则，解得， ． 在三棱柱中，，且，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年上学期宏志班高二年级第一次月考试题 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，三点共线，则（ ） A. 169 B. 144 C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若，，，，则平面与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线经过，，另有两点，，则（ ） A. 倾斜角为0时， B. 斜率不存在时， C. 存在满足 D. 时， 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥； B. 若平面α，β的法向量分别为，则； C. 若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则； D. 若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为 11. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，正八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 此八面体的体积为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 此八面体的外接球的体积是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 14. 已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 16. 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 19. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $