河南省周口市鹿邑县高级中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

数学（B）答案 一、选择题 1．答案D 2．答案D 3．答案B 4．答案B 5．答案C 6．答案C 7．答案A 8．答案D 二、选择题 9．答案BD 10．答案ACD 11．答案ACD 三、填空题 12．答案3 13．答案 14．答案 四、解答题 15．解析（1）从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为， 解得． （5分） （2）设3个绿球分别为，，，个红球分别为，． 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，不同情况有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 共20种， （9分） 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， （11分） 故第二次抽到的球是绿球的概率为． （13分） 16．解析（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， （1分） 则，，，． （2分） 因为为的中点，所以．因为为的中点，所以． 所以． （4分） 所以． （5分） （2）连接．由已知得平面，所以． （6分） 在中，，，， （7分） 所以点到直线的距离为． （9分） （3）因为点在线段上，且，所以． 又，，所以． （11分） 又，所以． （12分） 因为，所以， 即，即，解得． （15分） 17．解析（1）由题表可知从样本中随机抽取1名学生， 其劳动实践积分不低于2分的频率为， 估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为． （4分） （2）由题可知，劳动实践积分为0分、1分、2分、3分的概率分别为，，，． （6分） （ⅰ）这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或1人0分、1人2分，共2种． 估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为． （10分） （ⅱ）随机抽取2名学生，其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于1分，即为0分，所有的情况{0分，0分}，{1分，1分}，{2分，2分}，{3分，3分}， 概率为， （13分） 估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率为． （15分） 18．解析（1）在中，因为为的中点，为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2分） 因为，为的中点，所以． 又因为，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （4分） 又因为，，平面， 所以平面平面． （5分） （2）连接，易知，所以，，两两互相垂直．如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． （6分） 由已知可得，，，，，，． 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得． （8分） 设平面的法向量为，因为， 所以，令，得． （10分） 所以． 所以二面角的正弦值为． （12分） （3）由已知，得，，，． 由，可得． （13分） 假设，，，四点共面，则存在实数，使得． （14分） 所以，解得． 所以，即，，，四点共面． （17分） 19．解析（1）取的中点，连接，，． 因为和均为正三角形，所以，．又，所以平面． 又平面，所以． （1分） 因此是二面角的平面角，是二面角的平面角． 所以． （2分） 再结合已知条件，可得，，．由，得，在中，由余弦定理，得． （4分） 所以．所以， 即二面角为．故平面平面． （5分） （2）以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． （6分） 所以，，，． 所以，． 所以． 故当时，取得最小值，且最小值为． （9分） （3）设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则，令，可得． （11分） 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则，令，可得． （13分） 由题意可知，，得， （15分） 解得（舍去）． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月阶段性检测 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列向量中与向量共线的是 A． B． C． D． 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则 A． B． C．或 D．是的斜线 3．已知向量，，若，则 A． B． C．-2 D．2 4．书架上有中文书和英文书共50本，从中随机拿一本，拿到英文书的概率为，则中文书有 A．40本 B．30本 C．20本 D．10本 5．如图，为平行六面体中面对角线与的交点．若，，，则 A． B． C． D． 6．在某次阅兵彩排演练中，，，三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则先于通过的概率为 A． B． C． D． 7．已知，，，若平面经过点，且点，在平面内的射影重合，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 8．如图，正四面体的外接球球心为，点在底面上的射影为，点，，满足，，，其中，，若与平面的交点正好是，则的最小值为 A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从装有3个白球和2个红球的箱子中随机摸出2个球，则下列为互斥事件的是 A．“至少有1个红球”与“都是红球” B．“至少有1个白球”与“都是红球” C．“恰有1个红球”与“恰有1个白球” D．“都是白球”与“都是红球” 10．以下四个命题中正确的是 A．在轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B．若，且，则 C．若非零向量，，满足，，则 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则下列说法正确的是 A．四面体的体积为定值 B．直线与平面所成角的正切值的最小值为1 C．若，则二面角的余弦值的最大值为 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，共面，则实数的值是__________． 13．甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为__________． 14．如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； （2）若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，为的中点，为的中点． （1）求的长； （2）求点到直线的距离； （3）若点在线段上（与端点不重合），且，当时，求实数的值． 17．（15分） 某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 （1）从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． （2）假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点在上，且，试判断，，，四点是否共面，并说明理由． 19．（17分） 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $