【期中专项】专项06 圆的压轴与综合（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专项06 圆的压轴与综合 目 录 考点01 圆中的最值问题（含隐圆） 考点02 圆的综合性质 考点03 圆与函数综合 考点01　圆中的最值问题（含隐圆） 难度层级：拓展　|　知识点：一点到圆上点距离最值 / 隐圆 / 圆综合 1．A 2．B 3． 4． 5．【初步探究】证明：∵，，， ∴； 【直接运用】长度的最小值为； 【构造运用】线段的最小值为． 6．（1）的半径长为6； （2）点； （3）线段AN的最小值为． 考点02　圆的综合性质 难度层级：拓展　|　知识点：圆内知识综合 / 圆与三角形 / 圆与四边形 7．D 8．B 9．ABCD 10．（1）见解析 （2） （3），证明见解析 11．（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； （3），B、E、D、C，； （4）证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 12．（1），相离 （2）； （3） 考点03　圆与函数综合 难度层级：拓展　|　知识点：圆与函数的综合（按源表含二次函数） 13．D 14． 15． 16． 17．（1） （2）2或4 （3）8 18．（1）， （2）或 19．（1） （2）在圆上，理由：连接AM， 根据，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴点在以为直径的圆上； （3）y=7x−11 20．（1） （2） （3）不相切，交点为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 圆的压轴与综合 目 录 考点01 圆中的最值问题（含隐圆） 考点02 圆的综合性质 考点03 圆与函数综合 考点01　圆中的最值问题（含隐圆） 难度层级：拓展　|　知识点：一点到圆上点距离最值 / 隐圆 / 圆综合 1．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（ ） A. C. B. D. 2．如图，中，，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为（ ） A. C. B. 2 D. 3．如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为________． 4．如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 5．【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离． 【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程； 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值； 【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值． 6．如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为，点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作于点E，交BP于点N，连结AN． （1）求⊙M的半径长； （2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标； （3）当点P运动时，求线段AN的最小值． 考点02　圆的综合性质 难度层级：拓展　|　知识点：圆内知识综合 / 圆与三角形 / 圆与四边形 7．如图，半圆的直径，若点，在半圆上运动，且保持弦，延长、相交于点．记的度数为，的面积为．则以下结论正确的是（ ） A. 随，运动而变化，随，运动而变化 B. 不随，运动而变化，不随，运动而变化 C. 随，运动而变化，不随，运动而变化 D. 不随，运动而变化，随，运动而变化 8．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ C. ③④ B. ②③④ D. ②④ 9．如图，是半圆的直径，O为圆心，C是半圆弧的中点，D是弧的中点，交于点H，交于点G，下列结论中正确的是（ ） A. C. B. D. 10．如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形”，弦，，称为“爪形”的爪． 已知四边形内接于，，连接．（如图②） （1）证明：圆中存在“爪形”； （2）如图③，若“爪形”的爪之间满足，求的大小； （3）如图④，若，作点关于对称的点，连接，，，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 11．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． （1）在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， （2）在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） （4）如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 12．如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． （1）当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； （2）在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． （3）连接，交于点，如图2，当时，求的值． 考点03　圆与函数综合 难度层级：拓展　|　知识点：圆与函数的综合（按源表含二次函数） 13．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( ) A. C. B. D. 14．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则________． 15．已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是________． 16．如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是________． 17．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； （3）直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 18．已知抛物线的顶点为，且过点．直线与轴相交于点． （1）求该抛物线的解析式和点的坐标； （2）以线段为直径的圆与射线相交于点，求点的坐标． 19．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； （3）以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 20．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上． （1）求的值． （2）求的半径． （3）过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 圆的压轴与综合 目 录 考点01 圆中的最值问题（含隐圆） 考点02 圆的综合性质 考点03 圆与函数综合 考点01　圆中的最值问题（含隐圆） 难度层级：拓展　|　知识点：一点到圆上点距离最值 / 隐圆 / 圆综合 1．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定性质，利用证明，确定点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上，根据圆的性质确定最值，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上， 连接，交弧于点G， 当点P与点G重合时，取得最小值， ∵ ∴， 故选：A． 2．如图，中，，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为（ ） A. C. B. 2 D. 【答案】B 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， 如图，取的中点O， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半， ， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小， 在中， ， ， ， 最小值为2． 故选：B． 3．如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据，得出在以为直径的的一段圆弧上运动，进而根据中位线的性质求得，当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴在以为直径的的一段圆弧上运动， ∵，则的半径为 ∵为的中点， ∴ ∴当在上时，取得最小值为． 4．如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴点F在以为直径的圆M上移动，则， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题． 5．【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离． 【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程； 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值； 【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值． 【答案】【初步探究】证明：∵，，， ∴； 【直接运用】长度的最小值为； 【构造运用】线段的最小值为． 【分析】初步探究：本题考查连点间线短距离最短，根据两点间线短距离最短结合半径相等即可得到答案； 直接运用：本题考查圆外一点与圆上点最小距离问题，连接圆心与圆外点交圆于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 构造运用：先证明得到定角，即可得到点P的路径是一段以为直径的弧，结合最短距离问题及勾股定理即可得到答案； 【详解】初步探究：略； 直接运用： 解：取的中点E，连接，交半圆于，在半圆上任取P1，连接，，可见，，即是的最小值． 在中，，，， ∴， ∵， ∴； 即长度的最小值为． 构造运用： 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴； 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为Q，连接交弧于点P，此时的长度最小， 在中，， ∴． 答：线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆外一点到圆上点最小距离问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是找到最小距离点及定直角得到动点在圆上． 6．如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为，点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作于点E，交BP于点N，连结AN． （1）求⊙M的半径长； （2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标； （3）当点P运动时，求线段AN的最小值． 【答案】（1）的半径长为6； （2）点； （3）线段AN的最小值为． 【分析】（1）连接CM，根据题意及垂径定理可得，，由直角三角形中角的逆定理可得，，得出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，即可确定半径的长度； （2）连接AP，过点P作，交AB于点F，由直径所对的圆周角是可得为直角三角形，结合（1）中为等边三角形，根据BP平分，可得，在与中，分别利用含角的直角三角形的性质和勾股定理计算结合点所在象限即可得； （3）在上取点，使，连接，，GA，根据等边三角形的性质可得CD垂直平分BM，根据圆周角定理可得∠CPB=30°，可得，根据∠BNM=∠BGM可知点在以为圆心，为半径的圆上，连接，此时的最小值为，再利用勾股定理分别求出和的长即可得答案． 【小问详解】解：如图所示：连接CM， ∵，MB⊥CD ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为6． 【小问详解】连接AP，过点P作，交AB于点F，如（1）中图所示： ∵AB为的直径，， ∴， ∴为直角三角形， 由（1）得为等边三角形， ∵BP平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点． 【小问详解】在上取点，使，连接，，GA， ∵△CMB是等边三角形，CD⊥MB， ∴CD垂直平分MB， ∴∠MBG=∠GMB=30°， ∴∠BGM=120°， ， ， ∵∠CPB和∠CMB是所对的圆周角和圆心角， ∴， ， ∴∠BNM=∠BGM， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，此时的最小值为， ，， ∴OM=MB=3，OG=GM， ∴（GM）2+32=GM2， 解得：，（负值舍去） ∴， ∵AM=BM=6， ∴OA=AM+OM=9， 在中，， 的最小值为AG-GM=． 【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质和勾股定理，直径所对的圆周角是，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 考点02　圆的综合性质 难度层级：拓展　|　知识点：圆内知识综合 / 圆与三角形 / 圆与四边形 7．如图，半圆的直径，若点，在半圆上运动，且保持弦，延长、相交于点．记的度数为，的面积为．则以下结论正确的是（ ） A. 随，运动而变化，随，运动而变化 B. 不随，运动而变化，不随，运动而变化 C. 随，运动而变化，不随，运动而变化 D. 不随，运动而变化，随，运动而变化 【答案】D 【分析】连接，易证为等边三角形，则，根据圆周角定理得出，再根据直径所对的圆周角为直角得出，最后根据三角形的内角和即可求出的度数；根据三角形的面积公式，得出，即可判断y是否变化． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， 即不随，运动而变化， 过点E作于点F， ∴， ∵的长度随，运动而变化， ∴随，运动而变化， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角． 8．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ C. ③④ B. ②③④ D. ②④ 【答案】B 【分析】①错误．证明即可判断．②正确．根于圆周角定理可得即可解决问题．③正确．推出是等边三角形，即可解决问题．④正确．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理证明即可解决问题． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 根据题意无法确定和之间的大小关系， ∴无法确定和4之间的大小关系，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴＝＝， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形性质和判定，勾股定理，三角形的中位线等知识，熟记垂径定理，等边三角形性质和判定，勾股定理，三角形的中位线是关键． 9．如图，是半圆的直径，O为圆心，C是半圆弧的中点，D是弧的中点，交于点H，交于点G，下列结论中正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】ABCD 【分析】A．根据在同圆中等弧所对的圆周角相等判断A的正误； B．由为直径，得，由C是半圆弧的中点，得，根据等腰三角形性质得，再由互余性质得，进而便可判断B的正误； C．延长，与的延长线交于点E，证明得，再根据斜边大于直角边得，便可判断C的正误； D．连接，根据垂直平分线的性质得，再根据勾股定理得，便可判断D的正误． 【详解】解：A．∵D是的中点， ∴ ∴，故A正确； B．∵为直径， ∴， ∴， ∵C是半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确； C．延长，与的延长线交于点E，如图， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴，故C正确； D．连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确． 故选：ABCD． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题． 10．如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形”，弦，，称为“爪形”的爪． 已知四边形内接于，，连接．（如图②） （1）证明：圆中存在“爪形”； （2）如图③，若“爪形”的爪之间满足，求的大小； （3）如图④，若，作点关于对称的点，连接，，，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【分析】（1）由圆周角的性质直接证明即可； （2）延长至点E，使得，连接，利用院内接四边形的性质推出，证明，得到，再根据，证明是等边三角形，求出，即可得到的度数； （3）延长交于F，连接，利用同弧所对的圆周角相等，得到，，推出，根据点与点关于对称，得到，则得，即，证明，推出，即可得到结论． 【小问详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴弦平分圆周角， ∴圆中存在“爪形”； 【小问详解】延长至点E，使得，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问详解】， 证明：如图，延长交于F，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是圆与图形的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键． 11．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． （1）在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， （2）在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） （4）如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【答案】（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； （3），B、E、D、C，； （4）证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上． 【小问详解】解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 【小问详解】略 【小问详解】证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； 【小问详解】略 12．如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． （1）当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； （2）在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． （3）连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】（1），相离 （2）； （3） 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【小问详解】解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； 【小问详解】解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； 【小问详解】解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 考点03　圆与函数综合 难度层级：拓展　|　知识点：圆与函数的综合（按源表含二次函数） 13．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( ) A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可． 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 14．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则________． 【答案】 【分析】先求出内切圆半径为1，再设，，则，，由直角三角形性质，得，即，根据切线长定理得，，则，化简得，由勾股定理，得，化简得，把①代入②解得：，则，从而求得，再由抛物线的顶点为，而抛物线的顶点为，则，即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，其内切圆的圆心坐标为， ∴，，， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴，即， ，化简得， 由勾股定理，得， 化简得， 把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形内切圆，切线长性质，勾股定理，直角三角形性质，二次函数图象性质，求出点坐标是解题的关键． 15．已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是________． 【答案】 【分析】连接，先根据点与圆的位置关系可得当点为与的交点时，取得最小值，再根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后利用点到直线的距离公式可得的长，由此即可得． 【详解】解：的半径为1， ， 如图，连接， 则当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 直线的表达式为，的坐标为， 的最小值为， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时，点的位置是解题关键． 16．如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先求得，，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，则，，由勾股定理，得，从而得，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大，然后求出点，，从而求得，即可由求解． 【详解】解：∵线段，且轴， ∴设点，则， 把点，代入，得 ，解得， ∴，， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵Q是的中点， ∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当经过圆心K时，此时最大， ∵，， ∴的中点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后抛物线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大． 17．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； （3）直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）2或4 （3）8 【分析】（1）由题意及抛物线的对称性知：，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式； （2）首先求出直线的解析式为，由轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得的长度，分两种情况讨论：当与x轴相切时；当与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径； （3）由知，直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值． 【小问详解】解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线 、关于对称轴对称， ， 解得：， 即，， 把A、B两点坐标代入中，得， 解得： 则所求函数解析式为； 【小问详解】解：对于，令，得， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 所以直线的解析式为， 设点， 轴，点Q在抛物线上， Q的坐标为， ； 当与x轴相切时； ， 即，或， 解得：，或， 显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及， 当时，；当时，， 此时的半径分别为2或4； 当与y轴相切时； ， 即，或， 解得：，，或，， 显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及， 此时的半径分别为4或2； 综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4； 【小问详解】解：当时，， 直线过点， ， 轴，且； 联立直线与抛物线的解析式得：， 消去y得：， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值16，从而的面积有最小值． 【点睛】本题是二次函数与一次函数、圆、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，圆的相切，三角形面积，解一元二次方程等知识，综合性强，灵活运用这些知识是关键． 18．已知抛物线的顶点为，且过点．直线与轴相交于点． （1）求该抛物线的解析式和点的坐标； （2）以线段为直径的圆与射线相交于点，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入可得出该抛物线的解析式，根据点A，M的坐标可得直线的解析式，令，即可得到点的坐标； （2）先求出射线的解析式为，可设点P的坐标为．圆与射线相交于两点，分两种情况：①如图1当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如图2，当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解． 【小问详解】根据顶点设抛物线的解析式为：， 代入点，得：， 抛物线的解析式为：． 设直线的解析式为：， 分别代入和， 得，解得， 直线的解析式为：； 令，得， ∴； 【小问详解】由题意可得射线的解析式为， 点在射线上，则可设点， 由图可知满足条件的点有两个： ①当时，构造和， 可得：如图1： 由图可得，，， ． 在中，, 在中，, 在中，, 点在以线段为直径的圆上,， 可得：, 即：． 整理，得： ，解得：； ． ; ②当时，如图2，构造和，可得： 同理，根据，可得方程： ,化简得， ，解得：， ∵ ． 综上所述，符合题目条件的点有两个，其坐标分别为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法，以及圆的相关性质，关键是构造直角三角形利用勾股定理列方程解决问题． 19．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； （3）以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）在圆上，理由：连接AM， 根据，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴点在以为直径的圆上； （3）y=7x−11 【分析】（1）根据题意以及一次函数的性质得出，，设抛物线的表达式为 ，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，，，勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据直角所对的弦是直径，即可求解； （3）设，将B代入得 ，则，证明，得出，，进而求得设，根据构造方程，解方程得出，进而待定系数法求解析式即可求解． 【小问详解】解：∵抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为． 令，解得： ∴， ∵点的横坐标为． 令，解得： ∴， 设抛物线的表达式为 ，将，，代入得 ∴ ∴抛物线的表达式为：， 【小问详解】略 【小问详解】设 将B代入得 ， ∴ 连接， ，， ， ， ， 设， 将代入得 ， ， ， 设， 由 ， ∴， 解得 ，(舍去)， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将，代入得， ， 解得 ， ∴设直线的表达式为 【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上． （1）求的值． （2）求的半径． （3）过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）不相切，交点为 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）令，可得，求解即可确定点坐标，然后确定的半径即可； （3）直线与抛物线只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，由可求出的值，进而求解即可． 【小问详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴的值为4； 【小问详解】在中， 令，可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的半径为； 【小问详解】直线与相交． 在中，令，得， ∴， 设直线解析式为，将点代入，可得， ∴直线解析式为， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 整理，得， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与的另外一个交点的坐标为， ∵，的半径为5， 则， 解得 （舍去）或， 将代入到，可得， ∴直线与的另外一个交点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、一元二次方程的根的判别式、两点之间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $