【期中专项】专项03 反比例函数（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专项03 反比例函数 目 录 考点01 反比例函数的概念与图象 考点02 反比例函数的增减性 考点03 k值的几何意义 考点04 与一次函数综合及实际问题 考点05 图象性质综合与几何压轴 考点01　反比例函数的概念与图象 难度层级：基础　|　知识点：反比例函数的定义/求k/画图象/判断象限 1．B 2．A 3．3 4． 5． 考点02　反比例函数的增减性 难度层级：提升　|　知识点：反比例函数的增减性/象限/比较大小 6．D 7．B 8． 9．（1），， （2）证明：设点在反比例函数的图象上，且， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，反比例函数随着的增大而增大． 10．（1）第二、第四象限 （2） （3）当时，；当时， 考点03　k值的几何意义 难度层级：提升　|　知识点：反比例函数系数k的几何意义 11．A 12．3 13．6 14．（1）；（2）4.5；（3）；（4） 15．（1）2 （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）3 考点04　与一次函数综合及实际问题 难度层级：提升　|　知识点：一次函数与反比例函数综合 / 实际问题与反比例函数 16．或 17．3 18．任务1：；任务2：每天耗电量为度 19．（1）10，0，0，8 （2）①直线的解析式为：；双曲线解析式为：；②或 20．任务1：当时，y关于x的函数解析式为；；任务2：该冰箱的广告符合实际 21．（1）； （2）， 考点05　图象性质综合与几何压轴 难度层级：拓展　|　知识点：反比例函数与几何综合 / 对称性 / 其他综合 22．C 23．B 24．（1） （2） （3） 25．（1） （2） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 反比例函数 目 录 考点01 反比例函数的概念与图象 考点02 反比例函数的增减性 考点03 k值的几何意义 考点04 与一次函数综合及实际问题 考点05 图象性质综合与几何压轴 考点01　反比例函数的概念与图象 难度层级：基础　|　知识点：反比例函数的定义/求k/画图象/判断象限 1．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 【详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 5 C. 2 B. D. 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 3．反比例函数 的图象经过点 ，则a＝________． 【答案】3 【分析】将点 代入反比例函数，然后解关于 的方程即可． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 点 满足反比例函数 解得， 故答案是：3． 【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标，熟练掌握根据函数解析式求点的坐标是解题的关键． 4．若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 5．已知反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ， 解得． 考点02　反比例函数的增减性 难度层级：提升　|　知识点：反比例函数的增减性/象限/比较大小 6．关于反比例函数，说法错误的是（ ） A. 图象分布在二、四象限 B. 图象关于原点中心对称 C. 当时，y随x增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】B 【分析】根据的符号判断反比例函数的象限分布和增减性，逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， A选项说图象位于第二、四象限，不符合结论，故A错误， 当时，图象在第一象限，由反比例函数性质可得随的增大而减小，故B正确， 将代入，得，因此图象不经过点，故C错误， 对于D选项，若，则，此时，所以不一定成立，故D错误． 8．若是反比例函数且图象在每一象限内y随x的增大而减小，则a的值为________ 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义确定指数的值，再结合函数增减性确定系数的范围，求解得到的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴可得且， 解得，即或． 解得． ∵图象在每一象限内随的增大而减小 ∴，即 ∴不符合条件，舍去 因此可得． 9．我们知道，正比例函数的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大． 上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？ （1）补全证明过程证明：设点在正比例函数的图象上，且， ∴______， ∴， ∵， ∴________0， ∴_______0，即， ∴随着x的增大而增大． （2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当时，反比例函数随着x的增大而增大． 【答案】（1），， （2）证明：设点在反比例函数的图象上，且， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，反比例函数随着的增大而增大． 【分析】（1）根据题意写出证明过程即可得出答案； （2）根据（1）中的证明方法进行证明即可． 【小问详解】略 【小问详解】略 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例的图象与性质，能够学习并运用题中的证明过程是解题的关键． 10．已知反比例函数 （1）若，写出反比例函数的图像所在的象限； （2）当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 【答案】（1）第二、第四象限 （2） （3）当时，；当时， 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握函数图像性质与的关系是解题的关键． （1）将的值代入，由系数的正负判断函数图像的位置； （2）要使y随x的增大而增大，即，解得的取值范围； （3）根据与的大小关系进行分类讨论． 【小问详解】解：当时，反比例函数， ∵系数为， ∴其图象位于第二、第四象限． 【小问详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴，解得． 【小问详解】解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 考点03　k值的几何意义 难度层级：提升　|　知识点：反比例函数系数k的几何意义 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ） A. C. 2 B. D. 4 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为反比例函数（为常数，，）图象上的一点，连接并延长到点，使得，轴于点，连接．若的面积为6，则的值为________． 【答案】6 【分析】设，求出长，再根据点是的中点，求出点B的坐标，进而求出点B到的距离，利用的面积为6，列方程求出的值． 【详解】解：设， 轴， ， ，即点是的中点， ， ， 解得：． 14．项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4） 【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键． （1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解； （2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解； （3）设，则，，根据求解即可； （4）设，则，，则，，根据求解即可． 【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵E在上， ∴， ∴； （2）∵B的坐标是，，D在上， ∴D的纵坐标为4， ∵D在上， ∴D的横坐标， ∴， ∴，， ∵B的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 15．阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： （1）在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； （2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； （3）如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】（1）2 （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【小问详解】解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； 【小问详解】略 【小问详解】解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 考点04　与一次函数综合及实际问题 难度层级：提升　|　知识点：一次函数与反比例函数综合 / 实际问题与反比例函数 16．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 17．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的交点．现将线段及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为________个． 【答案】3 【分析】分别求出直线和双曲线的解析式，在区域内逐个检验整数坐标的点是否满足条件即可． 【详解】解：∵点，是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴； ∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且； 所以，当时，，， ∴， ∴点是图形G内的整数点； 同理可得，当时的整数点是； 当时的整数点是； 当时，无整数点； 综上，符合条件的整数点共有3个， 18．综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 【答案】任务1：；任务2：每天耗电量为度 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； 任务2：结合任务1，可解得冷柜每20分钟为一个循环，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】任务1：设时，关于的函数表达式为， 将点代入，可得 ， ∴时，关于的函数表达式为； 任务2：当时，可有，解得， ∵冷柜每20分钟为一个循环， ∴每天共有循环个数：（个）， ∴冷柜每天运行的时间为分钟， ∴每天耗电量为：（度）． 19．已知长方形在平面直角坐标系内的位置如图，边在x轴上，边在y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为． （1）直接写出点A，点C的坐标为：A（ ， ）；C（ ， ）． （2）已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；①分别求出直线和双曲线的解析式； ②若动点P从A点出发，沿的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达点C处停止．求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求出当的面积时，t的取值． 【答案】（1）10，0，0，8 （2）①直线的解析式为：；双曲线解析式为：；②或 【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标； （2）①利用待定系数法求函数的解析式；②分类讨论：当时，，当时，． 【小问详解】解：由题意可得：点A的坐标为：，点C的坐标为：； 【小问详解】解：①解：设直线的解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 又∵在直线上， ∴， 又∵双曲线过， ∴， ∴， ②当时，， 过Q作，垂足为D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 过Q作，垂足为E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，点P与O重合，不存在； 综上所述，或时，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数和反比例函数的交点问题，分类讨论是解题的关键． 20．项目式学习 【项目主题】探索某款节能冰箱的日耗电量． 【项目背景】节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．节能冰箱的耗电量与许多因素有关，包括类型、功率、使用频率和使用环境等． 【项目素材】 素材1 某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当温度下降到时，停止运行；温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环反复．冰箱停止运行时，不耗电． 素材2 冰箱内部温度与时间的函数图象如图所示： 当时，y是x的一次函数；当时，y是x的反比例函数． 素材3 冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 【项目任务】 （任务1）当时，求y关于x的函数解析式及t的值． （任务2）该冰箱的广告中声称：每天（）的耗电量不超过1度电．忽略特殊情况的耗电量，请问该冰箱的广告是否符合实际? 【答案】任务1：当时，y关于x的函数解析式为；；任务2：该冰箱的广告符合实际 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 任务1：当时，设，将代入函数解析式计算即可得出当时，y关于x的函数解析式为，当时，求出，即可得出的值； 任务2：求出冰箱一天所耗的电量，结合题意比较即可得出结果． 【详解】解：任务1：当时，设， 将代入函数解析式可得， 解得：， ∴当时，y关于x的函数解析式为， 当时，， 解得：，即； 任务2：由题意可得：（度）， ∵， ∴该冰箱的广告符合实际． 21．如图，在平面直角坐标中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）__________；__________． （2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接、，求点的坐标及的面积． 【答案】（1）； （2）， 【分析】（1）把点的坐标分别代入正比例函数、反比例函数解析式，求出、，得到答案； （2）根据直线的平移规律得到平移后的直线解析式，解方程组求出点的坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问详解】解：把点代入，得, 解得，， 把点代入，得， 解得，； 【小问详解】解：由（1）可知，正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 直线向上平移3个单位长度后解析式为：， 则点的坐标为， 解方程组， ∴或， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， ∵， ∴． 考点05　图象性质综合与几何压轴 难度层级：拓展　|　知识点：反比例函数与几何综合 / 对称性 / 其他综合 22．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（ ）个． A. 4 C. 2 B. 3 D. 1 【答案】C 【分析】利用可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，由等边对等角推出，则可证明，据此可证明四边形是平行四边形，则可判断③；由平行四边形的性质得到，即轴；延长交y轴于点E，证明四边形是矩形，推出；根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则可得到，据此可判断④；根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误． 【详解】解：∵轴，， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∴，即轴； 如图所示，延长交y轴于点E， 则轴，即， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴，即，故④错误； 根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误； 综上所述，正确的有①③，共2个． 23．如图，在平面直角坐标系中，正六边形是以点为中心的正六边形，点在正六边形的边上，且点在第一象限．若，给出下面四个结论：（ ） ①线段的最大值为2； ②若点关于原点的对称点为，则当时，的面积取得最小值； ③若点在反比例函数的图象上，则； ④若在该六边形的边上，且，则与之间的数量关系是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①③ C. ②③ B. ①④ D. ②④ 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出各顶点坐标，结合图形性质逐一判断：①结合顶点坐标与外接圆特征，判断的最大值；②利用三角形面积公式和平行线性质，分析面积取最小值的条件；③结合反比例函数k的几何意义与点B的坐标，确定k的取值范围；④借助等腰三角形性质与轴对称性，推导a、c的数量关系． 【详解】①∵正六边形以原点为中心，外接圆半径为， 正六边形边上任意一点到中心的距离，最大值等于外接圆半径． ∴点在顶点处时，，即线段的最大值为． 故此结论正确． ②∵点、关于原点对称， ∴为线段的中点，可得． 由已知得，直线解析式为， 直线解析式为，故． 根据平行线性质，上所有点到直线的距离为定值，因此在上时，大小不变． 当点在边上时，到直线的距离可以不断减小，当与点重合时，距离为，此时取得最小值． 当时，点落在边中点，此时三角形面积为定值，并非最小值． 故此结论错误． ③∵点在反比例函数的图象上， 由反比例函数性质可得． 点在正六边形第一象限的边上，当与顶点重合时， ，即可以取到． 因此的取值范围是，与题干不符． 故此结论错误． 综上所述：正确结论的序号是①④． 24．如图1，四边形是矩形，D，E分别是边和上的中点，反比例函数的图象经过点D和点E，点B的坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线上方的反比例函数的图象沿着直线向下翻折，请直接写出翻折后图象与x轴的交点F的坐标． （3）连接，和，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据翻折的性质可求出上方与点F对称的点的纵坐标为4，然后代入（1）中函数解析式求解即可； （3）根据求解即可. 【小问详解】解：∵四边形是矩形，，且D是的中点． ∴点D的坐标为． 又∵该反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问详解】解：由翻折的性质可知，对称轴为直线，则点F到的距离为翻折前反比例函数图象上上方某点到的距离． ∵， ∴上方与点F对称的点的纵坐标为4， ∴时反比例函数图象上的点翻折后恰好与点F重合， ∴， 故翻折后图象与x轴的交点F的坐标为； 【小问详解】解：∵，E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 25．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． （1）求k的值． （2）设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案． 【小问详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； 【小问详解】解：由（1）知，点A的坐标为， ∴ ∴． 设点M的坐标为，且， ∴， ∵的面积与菱形的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 反比例函数 目 录 考点01 反比例函数的概念与图象 考点02 反比例函数的增减性 考点03 k值的几何意义 考点04 与一次函数综合及实际问题 考点05 图象性质综合与几何压轴 考点01　反比例函数的概念与图象 难度层级：基础　|　知识点：反比例函数的定义/求k/画图象/判断象限 1．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. C. B. D. 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 5 C. 2 B. D. 3．反比例函数 的图象经过点 ，则a＝________． 4．若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为________． 5．已知反比例函数的图象经过点，求的值． 考点02　反比例函数的增减性 难度层级：提升　|　知识点：反比例函数的增减性/象限/比较大小 6．关于反比例函数，说法错误的是（ ） A. 图象分布在二、四象限 B. 图象关于原点中心对称 C. 当时，y随x增大而增大 D. 当时， 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 8．若是反比例函数且图象在每一象限内y随x的增大而减小，则a的值为________ 9．我们知道，正比例函数的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大． 上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？ （1）补全证明过程证明：设点在正比例函数的图象上，且， ∴______， ∴， ∵， ∴________0， ∴_______0，即， ∴随着x的增大而增大． （2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当时，反比例函数随着x的增大而增大． 10．已知反比例函数 （1）若，写出反比例函数的图像所在的象限； （2）当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 考点03　k值的几何意义 难度层级：提升　|　知识点：反比例函数系数k的几何意义 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ） A. C. 2 B. D. 4 12．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为反比例函数（为常数，，）图象上的一点，连接并延长到点，使得，轴于点，连接．若的面积为6，则的值为________． 14．项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 15．阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： （1）在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； （2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； （3）如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 考点04　与一次函数综合及实际问题 难度层级：提升　|　知识点：一次函数与反比例函数综合 / 实际问题与反比例函数 16．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的交点．现将线段及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为________个． 18．综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 19．已知长方形在平面直角坐标系内的位置如图，边在x轴上，边在y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为． （1）直接写出点A，点C的坐标为：A（ ， ）；C（ ， ）． （2）已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；①分别求出直线和双曲线的解析式； ②若动点P从A点出发，沿的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达点C处停止．求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求出当的面积时，t的取值． 20．项目式学习 【项目主题】探索某款节能冰箱的日耗电量． 【项目背景】节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．节能冰箱的耗电量与许多因素有关，包括类型、功率、使用频率和使用环境等． 【项目素材】 素材1 某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当温度下降到时，停止运行；温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环反复．冰箱停止运行时，不耗电． 素材2 冰箱内部温度与时间的函数图象如图所示： 当时，y是x的一次函数；当时，y是x的反比例函数． 素材3 冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 【项目任务】 （任务1）当时，求y关于x的函数解析式及t的值． （任务2）该冰箱的广告中声称：每天（）的耗电量不超过1度电．忽略特殊情况的耗电量，请问该冰箱的广告是否符合实际? 21．如图，在平面直角坐标中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）__________；__________． （2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接、，求点的坐标及的面积． 考点05　图象性质综合与几何压轴 难度层级：拓展　|　知识点：反比例函数与几何综合 / 对称性 / 其他综合 22．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（ ）个． A. 4 C. 2 B. 3 D. 1 23．如图，在平面直角坐标系中，正六边形是以点为中心的正六边形，点在正六边形的边上，且点在第一象限．若，给出下面四个结论：（ ） ①线段的最大值为2； ②若点关于原点的对称点为，则当时，的面积取得最小值； ③若点在反比例函数的图象上，则； ④若在该六边形的边上，且，则与之间的数量关系是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①③ C. ②③ B. ①④ D. ②④ 24．如图1，四边形是矩形，D，E分别是边和上的中点，反比例函数的图象经过点D和点E，点B的坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线上方的反比例函数的图象沿着直线向下翻折，请直接写出翻折后图象与x轴的交点F的坐标． （3）连接，和，求的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． （1）求k的值． （2）设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $