【期中专项】专项05 切线与圆的相关计算（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专项05 切线与圆的相关计算 目 录 考点01 切线的性质与判定 考点02 切线长定理 考点03 扇形弧长面积与圆锥侧面积 考点04 圆的相关计算 考点01　切线的性质与判定 难度层级：提升　|　知识点：切线的判定定理/性质定理/综合应用 1．如图，是半径为的的切线，为切点，连接交于点，且是的中点，作交于点，连接，则的长是（ ） A. C. B. D. 2．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 3．如图，P是外一点，与相切，切点为A．画出的另一条切线，切点为B． 小云的画法是： ①连接，过点A画出的垂线交于点B； ②画出直线． 直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴垂直平分，． ∴ ． ∴ ． ∴． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． ∴． ∴于点B． ∵是的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 4．如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 5．年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：是的切线． 6．如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点． （1）若，则两个同心圆组成的圆环面积为______； （2）若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由． 7．下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的切线（为切点）． 作法：①连接与交于点，延长与交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，在上方两弧交于点C； ③连接与交于点； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线． 请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，，， 点______为线段CO中点， ∴（____________） 又∵点D在上， ∴PD是切线（____________） 8．如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 考点02　切线长定理 难度层级：提升　|　知识点：切线长定理 / 三角形内切圆 9．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为________． 10．结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 11．如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 12．有这样一个问题： 如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）. 小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令，， 设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，， 根据勾股定理得， 整理，得 所以 请你参考小冬的做法. 解决以下问题： （1）当时，求的面积； （2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 . 考点03　扇形弧长面积与圆锥侧面积 难度层级：基础—提升　|　知识点：弧长/扇形面积/圆锥侧面积 13．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（ ） A. C. B. D. 14．已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ） A. 5 C. 8 B. 6 D. 10 15．如果弧长为的扇形面积为，那么该扇形的半径为________． 16．弧长为，半径为6的扇形面积为________． 17．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． （1）求圆锥侧面展开图的扇形弧长． （2）求圆锥的全面积． 考点04　圆的相关计算 难度层级：提升—拓展　|　知识点：弓形面积 / 不规则图形面积 18．如图，为半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转，使点恰好旋转到点的位置，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. C. B. D. 19．如图，在中，．现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为________． 20．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 21．如图，点是的直径延长线上一点，，线段绕点逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径是2，求阴影部分的面积． 22．如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分弓形的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 切线与圆的相关计算 目 录 考点01 切线的性质与判定 考点02 切线长定理 考点03 扇形弧长面积与圆锥侧面积 考点04 圆的相关计算 考点01　切线的性质与判定 难度层级：提升　|　知识点：切线的判定定理/性质定理/综合应用 1．如图，是半径为的的切线，为切点，连接交于点，且是的中点，作交于点，连接，则的长是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】连接，，设交于点，根据切线的性质得出，根据已知条件得出是等边三角形，根据平行线的性质以及垂径定理得出，，进而根据圆周角定理得出，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，设交于点，如图所示， ∵是半径为的的切线，为切点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 2．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1），理由如下： 如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， ∴同上可得：、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②半径是，阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 3．如图，P是外一点，与相切，切点为A．画出的另一条切线，切点为B． 小云的画法是： ①连接，过点A画出的垂线交于点B； ②画出直线． 直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴垂直平分，． ∴ ． ∴ ． ∴． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． ∴． ∴于点B． ∵是的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据画法描述作出图形即可； （2）先证明垂直平分，得，再证明即可． 【小问详解】解：图形如图所示： 【小问详解】证明：连接，． ∵，， ∴垂直平分，． ∴． ∴． ∴． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． ∴． ∴于点B． ∵是的半径， ∴是的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：，，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线． 4．如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明：过O作于H，如图： ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）10． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过O作于H，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于E，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问详解】略 【小问详解】解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析； （2）证明见解析． 【分析】（）由切线的性质得，则，因为，所以 ，则，所以是等边三角形； （）由等边三角形的性质得，因为，所以，而，，即可根据“”证明，则，即可证明是的切线． 【小问详解】解：是等边三角形，理由， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵交于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 【小问详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形及是解题的关键． 6．如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点． （1）若，则两个同心圆组成的圆环面积为______； （2）若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：补全图如下： 与小圆相切， 理由如下：连接、、、，过点作于E， ，，， （）， ， 与小圆相切． 【分析】（1）连接、，由切线的性质得，结合勾股定理即可求解； （2）连接、、、，过点作于E，由判定，由全等三角形的性质及切线的判定方法，即可得证． 【小问详解】解：连接、， 大圆的弦是小圆的切线，切点为点， ， ， ， 两个同心圆组成的圆环面积为： （）， 故答案为：； 【小问详解】略 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的面积、勾股定理，全等三角形的判定与性质、切线的性质与判定等；掌握垂径定理、切线的性质与判定相关定理及性质，构造出全等三角形是解题的关键． 7．下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的切线（为切点）． 作法：①连接与交于点，延长与交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，在上方两弧交于点C； ③连接与交于点； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线． 请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，，， 点______为线段CO中点， ∴（____________） 又∵点D在上， ∴PD是切线（____________） 【答案】（1）解：如图所示， （2）；三线合一；切线的判定定理 【分析】（1）根据基本作图补全图形即可求解； （2）根据作图步骤，由三线合一得出，进而判断是切线 【小问详解】略 【小问详解】证明：由作图可知，，， 点为线段CO中点， ∴（三线合一） 又∵点D在上， ∴是切线（切线的判定定理） 故答案为：；三线合一；切线的判定定理 【点睛】本题考查了切线的判定，三线合一，掌握基本作图是解题的关键． 8．如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2） 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，，所以，然后根据切线的判定得到结论； （2）连接，先利用等腰三角形的性质求得，再根据切线的性质求得，根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式得到的长． 【小问详解】略 【小问详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， 的长． 考点02　切线长定理 难度层级：提升　|　知识点：切线长定理 / 三角形内切圆 9．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为________． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理及内心，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：的周长为21，， ， 设与的三边、、的切点为、、，切为， ，，，， ， 的周长 ， 故答案为9． 10．结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 【答案】（1）设. 根据切线长定理，得，，. ∴，， ∵， ∴在中，， 即. 整理，得. ∴ . ∴的面积等于． （2）由（1）可知，， ∵， ∴. 整理，得. ∴ . ∴是直角三角形，. 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理及其逆定理，整式的运算，熟练掌握切线长定理，勾股定理及其逆定理是解题的关键。 （1）设,仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得. 【详解】解：略． 11．如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】（1）；；；；（2）相等． 证明：∵， ∴， ∵ ∴． 【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案； （2）利用平方差公式证明即可得到相等． 【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， 方法一：如图，连接，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴、、都是的切线，切点分别为点，，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；；； （2）略． 【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．有这样一个问题： 如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）. 小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令，， 设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，， 根据勾股定理得， 整理，得 所以 请你参考小冬的做法. 解决以下问题： （1）当时，求的面积； （2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 . 【答案】（1）35；（2） 【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题; （2）探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】（Ⅰ）如图，令 设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，，， 据勾股定理得， 整理，得 所以 （Ⅱ）由（1）可知： 【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 考点03　扇形弧长面积与圆锥侧面积 难度层级：基础—提升　|　知识点：弧长/扇形面积/圆锥侧面积 13．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程得到，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为， 所以这个圆锥的高为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式． 14．已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ） A. 5 C. 8 B. 6 D. 10 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，熟练掌握其性质并能灵活运用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程是解决此题的关键．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得：， 故选：A ． 15．如果弧长为的扇形面积为，那么该扇形的半径为________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．该扇形的半径为r，根据扇形面积的计算公式即可求出答案． 【详解】解：设该扇形的半径为r，根据题意得： ， 解得：． 故答案为：8 16．弧长为，半径为6的扇形面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积公式，掌握（S是扇形面积，l是扇形弧长）是解题的关键． 直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：该扇形的面积为． 故答案为：． 17．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． （1）求圆锥侧面展开图的扇形弧长． （2）求圆锥的全面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意可知等腰三角形的底边长即为圆锥底面圆的直径，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长进行求解即可； （2）根据圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，进行求解即可． 【小问详解】解：由题意，得：圆锥的底面圆的直径为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为； 【小问详解】由题意，得：底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的全面积． 【点睛】本题考查求圆锥的全面积和扇形的弧长．熟练掌握圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，以及圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，是解题的关键． 考点04　圆的相关计算 难度层级：提升—拓展　|　知识点：弓形面积 / 不规则图形面积 18．如图，为半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转，使点恰好旋转到点的位置，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图： 由旋转可知，旋转前后半圆面积相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：C． 19．如图，在中，．现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键．根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 20．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可． 【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．如图，点是的直径延长线上一点，，线段绕点逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径是2，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是的切线，理由见解析 （2） 【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键． （1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积求解即可． 【小问详解】解：是的切线，理由如下： 如图，连接， 根据题意得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 22．如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分弓形的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵是直径，弦， ∴． ∴． 又∵． ∴． （2）阴影部分弓形的面积为：． 【分析】（1）连接，由垂径定理，得，由圆周角定理推论知，，所以． （2）如图，连接，由圆周角定理可推出，结合的直角三角形的性质可得，，再分别计算与，从而可得答案． 【小问详解】略 【小问详解】如图，连接， ∵， ∴，， ∵，为直径， ∴，，， ∴， ， ∴，， ∴阴影部分弓形的面积为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理的应用，求解扇形的面积，弓形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项05切线与圆的相关计算 目录 考点01切线的性质与判定 考点02切线长定理 考点03扇形弧长面积与圆锥侧面积 考点04圆的相关计算 考点01切线的性质与判定 难度层级：提升「知识，点：切线的判定定理/性质定理/综合应用 1.D 2.(1)PA=PB,∠APO=∠BPO,理由如下： 如图1，连接OA和OB, .PA和PB是⊙O的两条切线， ∴.OA⊥AP,OB⊥BP. 又.OA=OB,OP=OP. .Rt△AOP≌Rt△BOP(HL), ∴.PA=PB,∠APO=∠BPO. (2)①证明：，'PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C, ∴.同上可得：OD、OP分别平分∠PDE、∠DPN. 又DE‖PN. .∴.∠PDE+∠DPN=180°. ∠ODP+∠DP0=<PDE+∠DPW=x180=90∠POD=90 又MN OD, .∴.MN⊥OM, 又.·MN经过半径OM的外端点M, ∴.MN是⊙O的切线 ②半径是4.8cm,阴影部分的面积是24-5.76πcm2 3.(1)见解析(2)PB,∠PBA,过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 4.(1)证明：过0作OH⊥AC于H,如图： .∠OHA=90°， 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AOH+∠OAC=90°， PA是⊙O的切线， ∴.∠OAP=90°， .∠OAC+∠PAC=90°， ∴.∠AOH=∠PAC, .OA=OC, ∴.∠AOC=2∠AOH, ∴.∠AOC=2∠PAC: (2)10. P B 5.(1)△COA是等边三角形，理由见解析；(2)证明见解析. 6.(1)9π(2)解：补全图如下： AD与小圆相切， 理由如下：连接OA、OB、OC、OD,过O点作OE⊥AD于E, .OA=OA,AD=AB,OB=OD, ∴.△OAD≌△OAB(SSS), ∴.OE=OC, .AD与小圆相切. D 0 7.（1)解：如图所示， (2)D;三线合一；切线的判定定理 2/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(1)证明：连接OC,如图， .PA与⊙O相切于点A, ∴.AO⊥PA, ∴.∠PAO=90°， PA=PC, ∴.∠PAC=∠PCA, .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, ∴.∠PAC+∠OAC=∠PCA+∠OCA, 即∠PCO=∠PAO=90°， ∴.OC⊥PC, ∴.PC是⊙O的切线： 2号 B 考点02切线长定理 难度层级：提升「知识，点：切线长定理/三角形内切圆 9.9 10.(1)设CE=x. 根据切线长定理，得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x. .AB=AD+BD=m+n,AC=AE+EC=m+x,BC=BF+CF=n+x ∠C=90°， ∴.在Rt△ABC中，AC+BC=AB2, 即m+x2+n+x2=m+n2. 整理，得x+m+nx=mn. 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -ACBG m+nlx +mnm mmlm ∴.△ABC的面积等于mn, (2)由(1)可知AC=m+X,BC=n+x, .AC·BC=2mn, ∴.x+mlx+n=2mn. 整理，得x+m+nx=mn. ∴.AC2+BC2=x+m2+x+n =2 x2+(m+n)x +m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n=AB2. ∴△ABC是直角三角形，∠C=90. 1.(1)号ab=号cr+号br+ar；r=,ab 2 2 2 2 gt0+。:c=b-rta-r:r=ab-S,(2)相等 2 a2+b2=c2, ..(a+b+clla+b-cJ=a+bP2-c2=a2+2ab+b2-c2=2ab, .'a+b+c≠0 .atb-c=ab 2 a+b+c 12.(1)35;(2)S44Bc=mn 考点03扇形孤长面积与圆锥侧面积 难度层级：基础一提升|知识点：孤长/扇形面积/圆锥侧面积 13.A 14.A 15.8 16.15π 17.(1)8πcm(2)56πcm2 考点04圆的相关计算 难度层级：提升一拓展【知识点：弓形面积/不规则图形面积 18.C 19.5π 20.8号+453 4/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.1)DP是00的切线，理由见解析(2)23-号m 22.（1)证明：连接CB, .CD是直径，弦AB⊥CD, ∴AD=BD ∴.∠BCD=∠ACD. .:∠BCD=∠BAD. ∴∠ACD=∠BAD, (2)阴影部分弓形AC的面积为：3m-93 0 5/5