【期中专项】专项02 一元二次方程的根与实际应用（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专项02 一元二次方程的根与实际应用 目 录 考点01 由根的情况求参数 考点02 根与系数的关系（韦达定理） 考点03 一元二次方程的实际应用 考点04 新定义问题 考点01　由根的情况求参数 难度层级：提升—拓展　|　知识点：根据一元二次方程根的情况求参数 1．B 2．C 3．且 4．（1） （2） 5．（1）； （2）2． 6．（1） （2）且 （3） 考点02　根与系数的关系（韦达定理） 难度层级：提升　|　知识点：一元二次方程的根与系数的关系 7．（1）4， （2） 8．（1）方程有两个不相等的正实数根； （2）方程的另一个根为． 9．（1）， （2）或 （3） 10．（1） （2） 11．（1）证明：∵方程的求根公式为且方程的两个根为，，∴不妨设， ∴， ； （2） 12．证明：∵整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 考点03　一元二次方程的实际应用 难度层级：提升　|　知识点：增长率/营销/图形/传播/行程等一元二次方程应用 13．B 14．D 15． 16．（1）每小时观看直播人数的平均增长率为 （2）每周想要获利54600元，商品应降价2元 17．（1）年平均增长率为 （2）当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元 18．（1） （2）降低4元 19．（1）；（2）；（3）50元 20．（1）25%； （2）当该设备每台降价5元时，门店七月获利4250元． 考点04　新定义问题 难度层级：拓展　|　知识点：全模块池检索：新定义运算/新概念 21．A 22．① ② 或1 23．（1）①③ （2）①；② （3） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 一元二次方程的根与实际应用 目 录 考点01 由根的情况求参数 考点02 根与系数的关系（韦达定理） 考点03 一元二次方程的实际应用 考点04 新定义问题 考点01　由根的情况求参数 难度层级：提升—拓展　|　知识点：根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. C. B. 且 D. 且 【答案】B 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故选：B． 2．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，列不等式求解k的取值范围. 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得. 3．如果关于x的一元二次方程（m是常数）有实数根，那么m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式等知识点，由一元二次方程的定义和有实数根，得原方程的判别式且，由此可得关于的不等式，解不等式即得答案，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决此题的关键． 【详解】解：整理方程得：， 关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【小问详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ，即， 解得； 【小问详解】解：是方程的一个根， 设方程的另一个根为， ， 解得， ， 解得． 5．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围． （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1）； （2）2． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据判别式的意义得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，加上，即可求解． 【小问详解】解：由题意得：， 解得：； 【小问详解】解：根据题意得：，， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 6．已知方程：，请解答以下问题： （1）当m________时，它是关于未知数的一元二次方程． （2）在（1）的条件下，若它有实数根，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若它有两实数根分别为，，求的值． 【答案】（1） （2）且 （3） 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握公式法是解题的关键； （1）根据一元二次方程的定义即可求解； （2）利用公式法求解即可； （3）根据根与系数的关系求解即可； 【小问详解】解：是关于未知数的一元二次方程， ， 解得：， 故答案为： 【小问详解】解：它有实数根， ，即， 解得：且， 【小问详解】解：它有两实数根分别为，， ，， 考点02　根与系数的关系（韦达定理） 难度层级：提升　|　知识点：一元二次方程的根与系数的关系 7．阅读材料，并完成相应任务． 罗氏解法 “罗氏解法”由美籍华裔数学家、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-ShenLoh）提出，该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系（即韦达定理），通过“对称设元”和“平方差公式”进行推导，最终自然推导出传统的求根公式． 下面以解方程为例进行分析． 解：设方程的两个根分别为，， 第一步：由韦达定理写出两根之和与两根之积 ，； 第二步：求平均数 ； 第三步：设两根为“平均数每个根到平均数的距离” ∴设，， 第四步：代入两根之积，求 则，； 第五步：回代写出两根 ，； （1）对于方程，由韦达定理可知两根之和为________，两根之积为________． （2）用罗氏解法解方程． 【答案】（1）4， （2） 【分析】（1）根据韦达定理解答即可； （2）根据罗氏解法的要求解答即可． 【小问详解】解：设一元二次方程的两个根为， ∴， 所以两根之和为4，两根之积为； 【小问详解】解：由（1）得， 第二步：求平均数为； 第三步：设， 第四步：代入两根之积，得 ， ∴； 第五步：回代写出两个根， ∴． 8．利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系可不解方程判断方程根的情况． 例如：方程． ， 原方程有两个不相等的实数根． 设原方程的两个根分别为． ， 异号，且其中正根的绝对值大． （1）请不解方程，利用根与系数的关系判断方程的两根的正负情况． （2）已知是方程的一个根，请利用根与系数的关系求方程的另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的正实数根； （2）方程的另一个根为． 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合根与系数的关系判断即可； （2）设方程的另一个根为，再根据根与系数的关系求解即可． 【小问详解】解：对于一元二次方程，， ∴方程有两个不相等的实数根， 设两根为， 根据根与系数的关系，，． 两数乘积为正说明两根同号，同时两数之和为正，因此两根均为正数， 即方程有两个不相等的正实数根； 【小问详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可知， 解得． 9．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若是方程的两根，则______，______； （2）已知满足，，求的值； （3）已知满足，，求正整数的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【分析】（）根据题意解答即可； （）分和两种情况解答即可； （）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问详解】解：由题意得，，， 故答案为：，； 【小问详解】解：∵满足，， 当时，原式； 当时，可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； 综上，的值为或； 【小问详解】解：∵，， ∴，， ∴为一元二次方程的两个根， ∵，且， ∴， ∴， ∴正整数的最小值为． 10．韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则，，阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为、，求的值． 解：该一元二次方程的 由韦达定理可得，， 然后解答下列问题： （1）设一元二次方程的两根分别为、，不解方程，求的值； （2）若关于的一元二次方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（）根据韦达定理即可求解； （）根据韦达定理即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【小问详解】解：∵， ∴由韦达定理可得，，， ∴； 【小问详解】解：∵， ∴由韦达定理可得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴， ∴． 11．课本再现 （1）方程的求根公式为，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为，满足： ①；②．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明； 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 【答案】（1）证明：∵方程的求根公式为且方程的两个根为，，∴不妨设， ∴， ； （2） 【分析】（1）先根据求根公式得到，再根据二次根式的乘法和加法计算法则求出，即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵元二次方程的两根分别为、， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，公式法解一元二次方程，二次根式的乘法和加法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【答案】证明：∵整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 【分析】首先由“韦达定理”得，，然后将展开后代入证明即可． 【详解】略 考点03　一元二次方程的实际应用 难度层级：提升　|　知识点：增长率/营销/图形/传播/行程等一元二次方程应用 13．某小区2024年绿化面积为，计划2026年绿化面积达到，设年均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：已知年均增长率为， ∵2024年绿化面积为， ∴2025年绿化面积为， ∴2026年绿化面积为， ∵2026年绿化面积需达到， ∴列方程得. 14．某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A. C. B. D. 【答案】D 【详解】解：∵4、5月份月平均增长率为x， 又∵3月份销量为368杯，5月份销量为450杯， ∴5月份销量为杯， ∴可列方程． 15．2026年山西文旅暑期推广季在平遥古城启动，“怡然见晋中”活动带火三晋文创．某书店五月销售《人说山西好风光》主题书签200枚，随着暑期推广季持续升温，七月销量达到288枚．则该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为________． 【答案】 【分析】设该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为x，根据五月份和七月份的销量建立方程求解即可． 【详解】解：设该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为． 16．山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……，2024年6月，董宇辉在直播电商平台的山西专场中展开了主题为“寻华夏之根，溯文明之源”的直播，直播刚开始时有2.56万人观看，2小时后人数达到4万人次，现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，实现了社会效应和经济效应的双丰收．其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以20元/壶的进价购入了一批山西老陈醋，在销售过程中发现，当售价为35元/壶时，一周可售出4000壶、且该商品的单价每降低1元，其销量可增加100壶． （1）求每小时观看直播人数的平均增长率． （2）若商家销售该商品每周想要获利54600元，则该商品应降价多少元？ 【答案】（1）每小时观看直播人数的平均增长率为 （2）每周想要获利54600元，商品应降价2元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）设每小时观看直播人数的平均增长率为x，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可； （2）该商品应降价y元，根据一元二次方程与销售问题的数量关系列式求解即可． 【小问详解】解：设每小时观看直播人数的平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：每小时观看直播人数的平均增长率为； 【小问详解】解：该商品应降价y元，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：每周想要获利54600元，商品应降价2元． 17．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗． （1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据总利润等于每碗的利润乘以销售量列出方程求解即可． 【小问详解】解：设年平均增长率为x， 依题意有， 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； 【小问详解】解：设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元， 依题意有：， 解得，， ∵每碗售价不得超过20元， ∴． 答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元． 18．“山盆脆李”历史悠久，果肉饱满，肉质爽脆．近年来，山盆李子种植已成为山盆主导产业，2022年某地一村民承包种植李子树64亩，到2024年的种植面积达到100亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植面积的平均增长率； （2）某水果批发店销售该李子，市场调查发现，当“山盆脆李”的售价为16元/千克时，每天能售出120千克，售价每降价1元，每天销售量增加20千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知“山盆脆李”的进价为8元/千克，若使销售“山盆脆李”每天获利800元则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）降低4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该村民这两年种植李子树亩数的平均增长率为，利用该村民2024年种植李子树的亩数该村民2022年种植李子树的亩数该村民这两年种植李子树亩数的平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降价元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问详解】解：设该村民这两年种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该村民这两年种植面积的平均增长率为； 【小问详解】解：设售价降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（舍）． 答：售价应降低4元． 19．根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 20．某新能源门店以每台25元的进价购进一批小型太阳能充电设备，当该设备售价为40元/台时，四月销量为256台，五、六月该设备十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，六月的销量达到400台． （1）求五、六两月销量的月平均增长率； （2）七月该门店为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该设备每台降价1元，月销量在六月销量的基础上增加5台，当该设备每台降价多少元时，门店七月获利4250元？ 【答案】（1）25%； （2）当该设备每台降价5元时，门店七月获利4250元． 【分析】（1）设五、六两月的月平均增长率为，根据增长率模型即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该设备每台降价元，则每台盈利元，月销售量为台，利用总利润每台的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问详解】解：设五、六两月的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：五、六两月的月平均增长率为． 【小问详解】解：设该设备每台降价元，则每台盈利元，月销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当该设备每台降价元时，门店七月获利元． 考点04　新定义问题 难度层级：拓展　|　知识点：全模块池检索：新定义运算/新概念 21．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ） A. 2020 C. 2022 B. 2021 D. 2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 22．对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为________； （2）方程的解为________． 【答案】① ② 或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据因式分解法可进行求解方程； （2）由题意可分为当时，当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 解得：； （2）当时，即， ∴， 解得：（均不符合题意，舍去）； 当时，即， 此时可有，方程成立， 所以是方程的解； 当时，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：方程的解为或1． 23．新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． （1）根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号）①与；②与；③与． （2）若关于x的一元二次方程的两实数根．①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）①；② （3） 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）先求出“沉潜方程”为，根据沉潜方程”有两个不相等实数根，，得到，解得且，由于，得到，那么，再由一元二次方程根与系数的关系建立不等式求解． 【小问详解】解：由题意得，互为“沉潜方程”的两个一元二次方程满足相同，相反，相同， 故①③符合题意； 【小问详解】解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 时，，不符合题意，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． ∴； 【小问详解】解：将方程整理得，， ∴“沉潜方程”为 ∵沉潜方程”有两个不相等实数根，， ∴ 解得且 ∵ ∴ ∴ ∴ 对于方程可得， ∴ 整理得，， ∴ ∴ 解得 ∴ 而且 ∴m的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 一元二次方程的根与实际应用 目 录 考点01 由根的情况求参数 考点02 根与系数的关系（韦达定理） 考点03 一元二次方程的实际应用 考点04 新定义问题 考点01　由根的情况求参数 难度层级：提升—拓展　|　知识点：根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. C. B. 且 D. 且 2．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. C. B. D. 3．如果关于x的一元二次方程（m是常数）有实数根，那么m的取值范围是________． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个根，求的值． 5．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围． （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 6．已知方程：，请解答以下问题： （1）当m________时，它是关于未知数的一元二次方程． （2）在（1）的条件下，若它有实数根，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若它有两实数根分别为，，求的值． 考点02　根与系数的关系（韦达定理） 难度层级：提升　|　知识点：一元二次方程的根与系数的关系 7．阅读材料，并完成相应任务． 罗氏解法 “罗氏解法”由美籍华裔数学家、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-ShenLoh）提出，该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系（即韦达定理），通过“对称设元”和“平方差公式”进行推导，最终自然推导出传统的求根公式． 下面以解方程为例进行分析． 解：设方程的两个根分别为，， 第一步：由韦达定理写出两根之和与两根之积 ，； 第二步：求平均数 ； 第三步：设两根为“平均数每个根到平均数的距离” ∴设，， 第四步：代入两根之积，求 则，； 第五步：回代写出两根 ，； （1）对于方程，由韦达定理可知两根之和为________，两根之积为________． （2）用罗氏解法解方程． 8．利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系可不解方程判断方程根的情况． 例如：方程． ， 原方程有两个不相等的实数根． 设原方程的两个根分别为． ， 异号，且其中正根的绝对值大． （1）请不解方程，利用根与系数的关系判断方程的两根的正负情况． （2）已知是方程的一个根，请利用根与系数的关系求方程的另一个根． 9．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若是方程的两根，则______，______； （2）已知满足，，求的值； （3）已知满足，，求正整数的最小值． 10．韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则，，阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为、，求的值． 解：该一元二次方程的 由韦达定理可得，， 然后解答下列问题： （1）设一元二次方程的两根分别为、，不解方程，求的值； （2）若关于的一元二次方程的两根分别为，，且，求的值． 11．课本再现 （1）方程的求根公式为，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为，满足： ①；②．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明； 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 12．“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 考点03　一元二次方程的实际应用 难度层级：提升　|　知识点：增长率/营销/图形/传播/行程等一元二次方程应用 13．某小区2024年绿化面积为，计划2026年绿化面积达到，设年均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14．某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A. C. B. D. 15．2026年山西文旅暑期推广季在平遥古城启动，“怡然见晋中”活动带火三晋文创．某书店五月销售《人说山西好风光》主题书签200枚，随着暑期推广季持续升温，七月销量达到288枚．则该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为________． 16．山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……，2024年6月，董宇辉在直播电商平台的山西专场中展开了主题为“寻华夏之根，溯文明之源”的直播，直播刚开始时有2.56万人观看，2小时后人数达到4万人次，现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，实现了社会效应和经济效应的双丰收．其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以20元/壶的进价购入了一批山西老陈醋，在销售过程中发现，当售价为35元/壶时，一周可售出4000壶、且该商品的单价每降低1元，其销量可增加100壶． （1）求每小时观看直播人数的平均增长率． （2）若商家销售该商品每周想要获利54600元，则该商品应降价多少元？ 17．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗． （1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？ 18．“山盆脆李”历史悠久，果肉饱满，肉质爽脆．近年来，山盆李子种植已成为山盆主导产业，2022年某地一村民承包种植李子树64亩，到2024年的种植面积达到100亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植面积的平均增长率； （2）某水果批发店销售该李子，市场调查发现，当“山盆脆李”的售价为16元/千克时，每天能售出120千克，售价每降价1元，每天销售量增加20千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知“山盆脆李”的进价为8元/千克，若使销售“山盆脆李”每天获利800元则售价应降低多少元？ 19．根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 20．某新能源门店以每台25元的进价购进一批小型太阳能充电设备，当该设备售价为40元/台时，四月销量为256台，五、六月该设备十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，六月的销量达到400台． （1）求五、六两月销量的月平均增长率； （2）七月该门店为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该设备每台降价1元，月销量在六月销量的基础上增加5台，当该设备每台降价多少元时，门店七月获利4250元？ 考点04　新定义问题 难度层级：拓展　|　知识点：全模块池检索：新定义运算/新概念 21．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ） A. 2020 C. 2022 B. 2021 D. 2023 22．对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为________； （2）方程的解为________． 23．新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． （1）根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号）①与；②与；③与． （2）若关于x的一元二次方程的两实数根．①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $