【期中专项】专项04 圆的基本性质（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专项04 圆的基本性质 目 录 考点01 圆的基本概念与确定圆 考点02 垂径定理 考点03 圆周角与圆内接四边形 考点04 点与圆、直线与圆的位置关系 考点01　圆的基本概念与确定圆 难度层级：基础　|　知识点：圆的基本概念 / 确定圆的条件 / 三角形外接圆 1．下列说法中， 正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 C. 任何三角形有且仅有一个外接圆 B. 平分弦的直径必垂直弦 D. 等腰三角形的外心一定在这个三角形内 2．下列说法中，正确的个数是（ ） （1）三点确定一个圆（2）长度相等的两条弧一定是等弧（3）半径相等的两个圆是等圆（4）相等的圆心角所对的弦相等（5）长度相等的弦所对的优弧一定是等弧（6）四边形都有一个外接圆 A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 3．如图，已知平面内不在同一直线上的三点A，B，C，按以下步骤作图：①连接，作线段的垂直平分线；②连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点O；③以点O为圆心，的长为半径作．则下列结论正确的是（ ） A. 连接，则点O是的内心 B. 连接，则点O在线段的垂直平分线上 C. 若与直线，分别交于点E，F，则 D. 连接并延长交于点D，连接，则 4．下列说法中正确的有________（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 考点02　垂径定理 难度层级：提升　|　知识点：垂径定理求值/推论/实际应用 5．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. C. B. D. 6．清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ） A. 米 C. 米 B. 3米 D. 米 7．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 8．如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心在线段上，点是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处距离地面的高度为，于点，连接．求上部圆弧的半径的长． 9．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． （1）求桥拱的半径； （2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 10．如图是某风景区的一个以为圆心的圆拱形门，路面的宽为，高为，求圆拱形门所在圆的半径． 11．苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 12．如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 （1）在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 考点03　圆周角与圆内接四边形 难度层级：提升　|　知识点：弧弦圆心角 / 圆周角定理 / 圆内接四边形 13．下列语句正确的个数是（ ） ①的圆周角所对的弦是直径：②平分弦的直径垂直于弦：③同弧或等弧所对的圆周角相等：④圆内接四边形的对角互补． A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 14．下列命题中，错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 C. 平分弦的直径垂直于弦 B. 直径所对的圆周角是直角 D. 垂直平分弦的直线必定经过圆心 15．如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ） A. C. B. D. 16．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为________． 17．如图，四边形为的内接四边形，，若圆周长为，求的长度为________． 18．在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作一个等于的圆周角． （2）在图②中，作一个的圆周角． 19．课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． （1）完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； （2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 20．教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半． 联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？ 探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类． （1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，． （2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ． （3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程． 考点04　点与圆、直线与圆的位置关系 难度层级：基础　|　知识点：点与圆位置关系 / 直线与圆位置关系 21．的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是（ ） A. 相切 C. 相离 B. 相交 D. 不能确定 22．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是________，若⊙P与相离，则r满足的条件是________． 23．如图，内接于和相交于点，点在的延长线上，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，则 ，的周长为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项04圆的基本性质 目录 考点01圆的基本概念与确定圆 考点02垂径定理 考点03圆周角与圆内接四边形 考点04点与圆、直线与圆的位置关系 考点01圆的基本概念与确定圆 难度层级：基础「知识，点：圆的基本概念/确定圆的条件/三角形外接圆 1.C 2.A 3.BD 4.①③④ 考点02垂径定理 难度层级：提升「知识，点：垂径定理求值/推论/实际应用 5.B 6.C 7.(1)34m;(2)不需要采取紧急措施，过程见解析. 8.3m 9.(1)桥拱的半径是10米：(2)水面涨高了2米. 10. 13 5 11.(1)此圆弧形拱桥的半径为10m（2)该船不能安全穿过桥洞，理由如下：如图，在矩形EFGH中， GH、OC交于点M,EF=12m,连接OG, .EF=12m, ∴.MG=DF=号EF=6m, 在Rt△GMO中，根据勾股定理得：OM=√OG2-MG=102-62=8m, .OD=0C-CD=10-4=6m, .GF=DM=OM-OD=8-6=2m, .‘3>2, ∴.该船不能安全穿过桥洞. 1/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H 12.(1)如图，点O即为所求， (2)1.5m 考点03 圆周角与圆内接四边形 难度层级：提升「知识点：孤弦圆心角/圆周角定理/圆内接四边形 13.C 14.C 15.D 16.164#164度 17.10π 18.(1)如图①所示，∠EFC即为所求. (2)如图②所示，∠GBC即为所求. 图① 图② 19.(1)证明：连接OD,OB,如图① :∠BAD=3∠BOD,∠BCD=2360-∠BOD, ∠BMD+∠BCD=克∠BOD+360.∠BOD)=180° (2)4V3 213 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① 20.(2)BOD,AOD,BOD,AOD,AOB;(3)证明见解析 考点04点与圆、直线与圆的位置关系 难度层级：基础|知识点：点与圆位置关系/直线与圆位置关系 21.C 22.①相离②0<r<2 23.(1)直线AD与⊙O相切，理由见解析；(2)123,24+12V3 3/3 专项04 圆的基本性质 目 录 考点01 圆的基本概念与确定圆 考点02 垂径定理 考点03 圆周角与圆内接四边形 考点04 点与圆、直线与圆的位置关系 考点01　圆的基本概念与确定圆 难度层级：基础　|　知识点：圆的基本概念 / 确定圆的条件 / 三角形外接圆 1．下列说法中， 正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 C. 任何三角形有且仅有一个外接圆 B. 平分弦的直径必垂直弦 D. 等腰三角形的外心一定在这个三角形内 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念及性质进行判断即可，不共线的三点确定一个圆，垂直于弦的直径一定平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直弦，任何三角形有且仅有一个外接圆，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故可能在三角形内部也可能在边上． 【详解】解：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意； B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意； C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意； D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的相关概念及性质，关键是熟记各种定义，理解三角形的外心，三角形的外接圆，以及垂径定理． 2．下列说法中，正确的个数是（ ） （1）三点确定一个圆（2）长度相等的两条弧一定是等弧（3）半径相等的两个圆是等圆（4）相等的圆心角所对的弦相等（5）长度相等的弦所对的优弧一定是等弧（6）四边形都有一个外接圆 A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念和性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； （2）长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等，原说法错误，不符合题意； （3）半径相等的两个圆是等圆，原说法正确，符合题意； （4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误，不符合题意； （5）在同圆或等圆中，长度相等的弦所对的优弧一定是等弧，原说法错误，不符合题意； （6）不是所有四边形都有一个外接圆，只要对角互补的四边形才有外接圆，原说法错误，不符合题意； 即正确的说法有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的相关概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 3．如图，已知平面内不在同一直线上的三点A，B，C，按以下步骤作图：①连接，作线段的垂直平分线；②连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点O；③以点O为圆心，的长为半径作．则下列结论正确的是（ ） A. 连接，则点O是的内心 B. 连接，则点O在线段的垂直平分线上 C. 若与直线，分别交于点E，F，则 D. 连接并延长交于点D，连接，则 【答案】BD 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据三角形的外心的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知，点O是的外接圆的圆心，是各边的垂直平分线的交点． 故选项BD正确． 故选：BD． 4．下列说法中正确的有________（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 【答案】①③④ 【分析】根据圆的基本定义判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最大的弦，故正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误； ③半径相等的两个圆是等圆，故正确； ④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了圆的基本定义的掌握，正确理解圆的基本定义是解题的关键． 考点02　垂径定理 难度层级：提升　|　知识点：垂径定理求值/推论/实际应用 5．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 6．清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ） A. 米 C. 米 B. 3米 D. 米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为， ， ∵是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选：C． 7．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）； （2）不需要采取紧急措施，过程见解析． 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）设为，通过勾股定理求得，最后算出，即可得到答案； （2）根据（1）知半径，根据勾股定理求得的值，再根据垂径定理求得的长，与对比得出结论． 【小问详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示， ， 设，则半径， 已知，， 则半径，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 则半径， 故半径为． 【小问详解】解：由（1）得圆弧半径， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， ， 不需要采取紧急措施． 8．如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心在线段上，点是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处距离地面的高度为，于点，连接．求上部圆弧的半径的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得圆心在上，，，，设，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意得圆心在上，，，， 设，， 在中，， 即 解得 所以，上部圆弧的半径是． 9．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． （1）求桥拱的半径； （2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】（1）桥拱的半径是10米； （2）水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【小问详解】解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； 【小问详解】解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 10．如图是某风景区的一个以为圆心的圆拱形门，路面的宽为，高为，求圆拱形门所在圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，由垂径定理得，，设，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴圆拱形门所在圆的半径为． 11．苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】（1）此圆弧形拱桥的半径为 （2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下：如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【小问详解】解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； 【小问详解】略 12．如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 （1）在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】（1）如图，点即为所求， （2） 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【小问详解】略 【小问详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 考点03　圆周角与圆内接四边形 难度层级：提升　|　知识点：弧弦圆心角 / 圆周角定理 / 圆内接四边形 13．下列语句正确的个数是（ ） ①的圆周角所对的弦是直径：②平分弦的直径垂直于弦：③同弧或等弧所对的圆周角相等：④圆内接四边形的对角互补． A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】C 【分析】根据圆周角、弧、圆内接四边形的性质、垂径定理的推论逐个判断即可得答案． 【详解】解：①的圆周角所对的弦是直径，原说法正确： ②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ③同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确： ④圆内接四边形的对角互补，原说法正确． 14．下列命题中，错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 C. 平分弦的直径垂直于弦 B. 直径所对的圆周角是直角 D. 垂直平分弦的直线必定经过圆心 【答案】C 【分析】本题考查了直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理等知识．熟练掌握直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理是解题的关键． 根据直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，直径是圆中最长的弦，正确，故A不符合要求； 直径所对的圆周角是直角，正确，故B不符合要求； 平分弦的直径不一定垂直于弦，错误，故C符合要求； 垂直平分弦的直线必定经过圆心，正确，故D不符合要求； 故选：C． 15．如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出的度数，连接，根据圆周角定理，得到，进而求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是半圆O的内接四边形，， ∴， 连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，是解题的关键． 16．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为________． 【答案】##164度 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 17．如图，四边形为的内接四边形，，若圆周长为，求的长度为________． 【答案】 【详解】如图，连接、， ∵，四边形为的内接四边形， ∴， ∴所对的圆心角为， ∵圆周长为， ∴半径， ∴的长度为． 18．在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作一个等于的圆周角． （2）在图②中，作一个的圆周角． 【答案】（1）如图①所示，即为所求． （2）如图②所示，即为所求． 【分析】（1）分别延长交半圆于，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可得到； （2）在（1）基础上分别延长、，根据圆周角定理可判断. 【小问详解】略 【小问详解】略 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，圆周角定理．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 19．课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． （1）完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； （2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】（1）证明：连接，，如图① ∵，， ∴． （2） 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【小问详解】略 【小问详解】解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 20．教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半． 联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？ 探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类． （1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，． （2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ． （3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程． 【答案】（2）；（3）证明见解析 【分析】（2）当圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论，，，再利用角的和差关系可得答案； （3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点由（1）的结论，再利用角的和差关系可得答案. 【详解】解：（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径． 由（1）的结论，，． ． （3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点 由（1）的结论， 【点睛】本题考查的是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，理解题意，形成迁移能力并解决问题是解本题的关键. 考点04　点与圆、直线与圆的位置关系 难度层级：基础　|　知识点：点与圆位置关系 / 直线与圆位置关系 21．的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是（ ） A. 相切 C. 相离 B. 相交 D. 不能确定 【答案】C 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线与的位置关系是相离． 【详解】∵的半径为2，圆心到直线的距离为4， ∴直线和的位置关系是相离． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可． 22．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是________，若⊙P与相离，则r满足的条件是________． 【答案】① 相离 ② 【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可． 【详解】解：过点P作，垂足为D，则， ∵，cm， ∴． 当cm时，， ∴⊙P与相离， 即⊙P与位置关系是相离． 当⊙P与相离时，， ∴r需满足的条件是：． 故答案为：相离；． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键． 23．如图，内接于和相交于点，点在的延长线上，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，则 ，的周长为 ． 【答案】（1）直线AD与相切，理由见解析；（2） ， 【分析】（1）连结OA，根据圆周角定理，可得∠AOC=60°，从而得到∠OAD=90°，即可求解； （2）根据直角三角形的性质和勾股定理，可得，然后证明 是等边三角形，可得到AC=OC=OA=12，∠ACO=60°，再由，可得OC⊥AB，AC=BC=12，从而得到，再由垂径定理，可得AB=2AE= ，即可求解． 【详解】解：（1）直线AD与相切，理由如下： 如图，连结OA， ∵ ∴∠AOC=2∠B=60°， ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°， ∴OA⊥AD， ∵OA为半径， ∴AD是的切线； （2）∵OA=OC=12， ∵， ∴OD=2OA=24， ∴ ， ∵OA=OC=12，∠AOC=60°， ∴ 是等边三角形， ∴AC=OC=OA=12，∠ACO=60°， ∵， ∴弧AC=弧BC，∠AED=90°， ∴OC⊥AB，AC=BC=12， ∴ ， ∴ ， ∵OC是的半径， ∴AB=2AE= ， ∴的周长为12+12+= ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $