江苏省无锡市2026-2027学年九年级上学期数学期中考试模拟练习卷

2026-2027学年度无锡市九年级上学期数学期中考试仿真模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材苏科版1-3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 2．平面直角坐标系中，点O为原点，若的半径为8，则点与的位置关系是（　  ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，点的坐标，熟知点与圆的位置关系可由点与圆心距离与圆半径的大小关系决定是解题的关键． 根据点到圆心的距离与圆半径之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为点为原点，且点坐标为， 所以． 又因为的半径为8，且， 所以点在圆内． 故选：A． 3．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 4．下列关于反比例函数的说法，正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．函数图象位于第一、三象限 D．函数的图象经过点 【答案】C 【详解】解：中， 函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，A、B未限定“在每一象限内”，均错误； C正确； 将代入解析式得，D错误 5．如图，已知点在上，为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，圆周角定理，连接，由为的中点得，即得，再由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．某晶圆加工厂2023年生产芯片500万片，2025年生产芯片720万片，若2024年、2025年的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵2023年芯片产量为500万片，年平均增长率为， ∴2024年芯片产量为万片， ∴2025年芯片产量为万片， ∵2025年芯片产量为720万片， ∴可列方程． 7．定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】将新运算方程转化为一元二次方程一般形式，利用判别式判断根的情况． 【详解】解：根据新运算定义，，方程整理为． ， 又， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 8．如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征，结合非负性确定，是比较大小关系的关键． 通过点的纵坐标，确定反比例函数常数，再根据反比例函数的性质计算并比较，，的大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴． 对于点：， 对于点：， 对于点：． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为A． 9．如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，； ∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为． 10．已知点A在函数（x>0）的图象上，点B在直线（为常数，且k≥0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为 A．有对或对 B．只有对 C．只有对 D．有对或对 【答案】A 【详解】解：设A（a，）， 由题意知，点A关于原点的对称点B（−a，）在直线y2=kx+1+k上， 则=−ak+1+k， 整理，得：ka2−（k+1）a+1=0①， 即（a−1）（ka−1）=0， ∴a−1=0或ka−1=0， 则a=1或ka−1=0， 若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对； 若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对， 综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 故选A． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知反比例函数，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义解题． 【详解】解：∵ 该函数为反比例函数， ∴ ， 解得或， 又∵，即， ∴． 12．若是方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】将代入方程得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得，即， ∴． 13．圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=2π×4×12÷2=48π． 故答案为：48π． 点睛：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 14．已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，最后根据，即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 15．如图，的直径，弦于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接构造直角三角形，根据直径求出半径，利用勾股定理计算的长； 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 16．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是轴上的一点，若的面积为4，则的值为__________． 【答案】 【分析】设点坐标为，根据三角形面积公式可得，再结合图象确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为， 轴， ， 点在轴上，轴， 中边上的高为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 由图象可知反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 17．在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是__． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，再用面积法求出的长，考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上． 【详解】解：过点C作于点D， ∵在中，， ， ， ， 如图，当与相切时， 则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时， 则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 18．如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 【答案】 【分析】设动点，利用半径相等得到，分别列出距离平方等式，化简求出点A横坐标、点B纵坐标，得到、，消去字母x得到定值． 【详解】解：设， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，， ，， ，，， ，， ，， ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 21．如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）． (1)求拱桥所在圆的半径； (2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1)10m (2) 【分析】（1）设圆心为，由垂径定理得，在中利用勾股定理列方程求出半径； （2）水位上升后拱高变小，仍用"半径、弦心距、半弦长"的直角三角形模型，以新弦心距代入勾股定理求新水面的宽度． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，半径为，连接、（如图），则、、三点共线，， ， 是弧的中点，且， （垂径定理）， 在中，，即， ， 解得， 拱桥所在圆的半径为． （2）解：水位上升后，设水面与弧交于点、，过作于（如图），则、、、四点共线，， 此时拱高为， ， 且过圆心， （垂径定理）， 在中，，， ， ， 水面的宽度为． 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，关键是将拱桥问题化归为"半径、弦心距、半弦长"组成的直角三角形模型；水位变化只改变弦心距，模型不变，重新代入勾股定理即可求解． 22．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先将点B代入求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求解； （2）即一次函数值大于反比例函数值，观察图象，写出x的取值范围即可求解； （3）设一次函数与y轴交于C点，可以看成由底均为的、组成，根据三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得， ∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 23．某文具店销售一款创意笔记本，已知每本笔记本的进价为20元，当售价为40元时，每天能售出30本；经过市场调研发现，当售价每降低1元时，每天就能多售出3本． (1)若降价5元，则每天销售笔记本的利润为多少元？ (2)店主希望每天获得的利润达到648元且让利最多，则每本笔记本的售价应降低多少元？ 【答案】(1)若降价5元，每天销售笔记本的利润为675元 (2)每本笔记本的售价应降低8元 【分析】（1）每天销售笔记本的利润销售每本笔记本的利润销售量，据此列式求解即可； （2）每天销售笔记本的利润销售每本笔记本的利润销售量，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解： 答：若降价5元，每天销售笔记本的利润为675元； （2）解：设每本笔记本的售价降低元， 由题意得，， 解得，， ∵要让利最多， ∴ 答：每本笔记本的售价应降低8元． 24．如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)点在上，且和点位于的两侧，如果，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) 证明：连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，利用等边对等角可得，，，进而得出，利用圆周角定理和等量代换可得，然后利用切线的判定即可得证； （2）设圆的半径为，，在和中利用勾股定理可得，，求出、的值，当点E为的中点时，的面积最大，即四边形面积的最大，然后分别求和的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：设圆的半径为，， 由题意知， 在中，，即①， 在中，，即②， 由①、②解得，， ∴， 当点E为的中点时，的面积最大，即四边形面积的最大， ∴， ∴， 又，即， ∴， ∴，的最大面积为， ∴四边形面积的最大值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，利用勾股定理构造方程求出圆的半径是解题的关键． 25．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），先画的中点，连接，再在上找一点，使得； (2)如图（2），点是格点，延长交于点，先过点作的切线，再在上找一点，使得． 【答案】(1)如图， (2)如图， 【分析】本题主要考查无刻度的直尺网格画图，圆周角定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）通过数格点，确定的中点，构造正方形，再根据正方形性质即可得到； （2）连接，过点作的垂线，即可得到的切线，通过数格点，可得的中点，再根据垂直平分线的性质和判定，即可确定点，令． 【详解】（1）解：连接，通过数格点，可得的中点，即点，连接，延长至点，通过数格点，令，再通过数格点可取点，令，再连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵点为的中点，为圆心， ∴，即， ∴四边形为正方形， ∴． （2）解：连接，过点作的垂线，即为的切线，连接，通过数格点，可得的中点，连接过圆心并反向延长交于点，可得垂直平分，连接并延长交于点，此时垂直平分，即， 26．某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ (1)与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． (2)根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． (4)结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 【答案】(1)2， (2)根据表格中给出的坐标，在坐标系中描出所有点， 将侧的点顺次连接为光滑曲线，侧的点顺次连接为光滑曲线， 函数的图象如下图所示： (3)①函数图象关于y轴对称；②函数值，图象始终在x轴上方；（其他正确性质也可：如时，随增大而减小；时，随增大而增大等）． (4)①或；②且 【分析】（1）将代入函数解析式计算即可；因为分式分母不能为0，所以自变量的取值范围是． （2）画函数图象时，先根据表格中的对应值在坐标系中准确描出所有点，再用平滑曲线顺次连接和的点，注意图象不与坐标轴相交． （3）总结函数性质可以从对称性、增减性、函数值的取值范围、图象所在象限等角度观察已画出的图象归纳得出． （4）求方程的解，可找直线与函数图象交点的横坐标，或者解含绝对值的分式方程；求不等式的解，先转化为，再找函数图象在直线上方时对应的的取值范围，注意分正负半轴讨论，或者解含绝对值的不等式． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴； ∵， ∴自变量的取值范围是． （2）略 （3）略 （4）解：①方程变形得， ∴解得或； ②不等式， ∴， ∴， 解得， 又， ∴解集为且． 27．定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． (1)写出一元二次方程的“换位方程”：_____； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)；互为倒数； (3)或 【分析】（1）按照“换位方程”的定义求解即可； （2）用配方法解出（1）中的“换位方程”，根据解来判断原方程的根与“换位方程”的根的关系； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”的两根是，， 设，将方程变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解：在一元二次方程中，，，， 所以，一元二次方程的“换位方程”为； （2）由（1）知一元二次方程的“换位方程”为； 或， ，， 原方程的两根为，， ，， 猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”是方程， 所以方程的两根是，， ， ， 设， 则， 或， 即，， 或． 【点睛】将看作一个整体进行求解． 28．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度无锡市九年级上学期数学期中考试仿真模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材苏科版1-3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，点O为原点，若的半径为8，则点与的位置关系是（　  ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 3．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列关于反比例函数的说法，正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．函数图象位于第一、三象限 D．函数的图象经过点 5．如图，已知点在上，为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．某晶圆加工厂2023年生产芯片500万片，2025年生产芯片720万片，若2024年、2025年的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 8．如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 10．已知点A在函数（x>0）的图象上，点B在直线（为常数，且k≥0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为 A．有对或对 B．只有对 C．只有对 D．有对或对 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知反比例函数，则________． 12．若是方程的一个根，则________． 13．圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2． 14．已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 15．如图，的直径，弦于点，若，则的长为______． 16．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是轴上的一点，若的面积为4，则的值为__________． 17．在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是__． 18．如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．解方程： (1)． (2) 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 21．如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）． (1)求拱桥所在圆的半径； (2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）． 22．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 23．某文具店销售一款创意笔记本，已知每本笔记本的进价为20元，当售价为40元时，每天能售出30本；经过市场调研发现，当售价每降低1元时，每天就能多售出3本． (1)若降价5元，则每天销售笔记本的利润为多少元？ (2)店主希望每天获得的利润达到648元且让利最多，则每本笔记本的售价应降低多少元？ 24．如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)点在上，且和点位于的两侧，如果，求四边形面积的最大值． 25．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），先画的中点，连接，再在上找一点，使得； (2)如图（2），点是格点，延长交于点，先过点作的切线，再在上找一点，使得． 26．某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ (1)与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． (2)根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． (4)结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 27．定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． (1)写出一元二次方程的“换位方程”：_____； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 28．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 学科网（北京）股份有限公司 $