4.2二次函数的图象与性质（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

分层作业 4.2二次函数的图象与性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2的图象与性质 题型02 二次函数y=ax2+k的图象与性质 题型03 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 题型04 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型05 二次函数图象的平移 题型06 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 题型07 求二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型08 二次函数的对称性求对称轴、函数值、最短路径 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2的图象与性质题型01 1.（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 2.（26-27九年级上·云南文山·期中）下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小． 【详解】解：各选项二次项系数的绝对值分别为，，，， ∵ ， ∴ 抛物线的开口最小． 3.（26-27九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴． 4.（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 5.（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 6.（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次函数的定义可得：，又因为当时，随的增大而减小，可知抛物线的开口向下，所以可知，解一元二次方程可以求出的值，再根据确定的取值范围把不符合条件的解舍去． 【详解】解：是关于的二次函数，且对称轴为， 当时，随的增大而减小， 可知抛物线的开口向下， 可得：， 由得：， 用十字相乘法分解因式可得：， 解得：，， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义和性质．解决本题的关键是根据二次函数的定义得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，再根据二次函数图像的性质确定的取值范围． 二次函数y=ax2+k的图象与性质题型02 1.（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】根据的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，. ∵， ∴图象开口向下，A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，B正确，不符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴时，不随的增大而一直增大，C错误，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，代入解析式得，即有最大值，D正确，不符合题意． 2.比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 【详解】解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． 3.（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 4.二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 5.已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3 【答案】D 【分析】首先根据二次函数的定义得到解方程求出m的值，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值． 【详解】解：∵二次函数， ∴，解得：， ∴， ∴二次函数， ∵， ∴图象开口向下， ∴A选项错误，不符合题意； 顶点坐标为（0，-3）， ∴B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线， ∴C选项错误，不符合题意； ∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3）， ∴有最大值，为－3， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，二次函数的图像和性质． 6.（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1) 抛物线的大致图象如下图所示： (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和； （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质题型03 1.（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 2.（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数解析式中的二次项系数的符号控制二次函数的开口方向，二次项系数的绝对值控制二次函数图象的形状和大小，则与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为，据此可得答案． 【详解】解：与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 3.（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 4.已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴符合条件， 故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线是解题的关键． 5.（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质题型04 1.（26-27九年级上·广东东莞·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线与轴没有交点 【答案】C 【分析】根据二次项系数为可判断A；根据顶点式得到顶点坐标可判断B；根据对称轴可得增减性，可判断C；将代入表达式得到，可判断D． 【详解】解：A、∵的二次项系数为 ∴抛物线的开口向上，故A错误； B、抛物线的顶点坐标为，故B错误； C、∵对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； D、当时， ∴抛物线与轴交于点，故D错误． 2.（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．开口方向向下，函数的最大值为14 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的对称轴是直线 【答案】C 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． A选项：当时，， ∴图象与轴交点坐标为，A正确． B选项：∵， ∴抛物线开口向下，函数最大值为14，B正确． C选项：∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴C说法错误． D选项：函数对称轴是直线，D正确． 3.（26-27九年级上·陕西安康·期中）抛物线（m是常数）的顶点坐标是，则m的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵该抛物线顶点坐标为， ∴， 解得． 4.（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用二次函数的最值及开口方向，即可判定选项D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； 设二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； ∵二次函数的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值是4， 即当时，函数的最大值为4，故选项D正确， 故选：D． 5.（26-27九年级上·山西朔州·期中）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可以结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的水平距离来判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为； ， ． 6.（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知二次函数． (1)请在坐标系中画出二次函数的图象； (2)观察图象，回答下列问题： ①直接写出方程的解：_______； ②当时，x的取值范围是_______； (3)观察函数图象，请写出一条函数的性质：_______． 【答案】(1) 坐标系中画出二次函数的图象如图所示， (2)①，；②或； (3)该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；函数的最小值为（任选一条即可）． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象画法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质是解题的关键． （1）先确定二次函数的顶点坐标，再找几个特殊点，然后描点连线画出图象． （2）①方程的解就是二次函数图象与轴交点的横坐标，通过观察图象可得． ②当时，的取值范围是二次函数图象在轴上方部分对应的横坐标范围，观察图象可得． （3）从二次函数的顶点、对称轴、单调性、最值等方面观察图象总结性质． 【详解】（1）略 （2）解：①∵方程的解是二次函数图象与轴交点的横坐标， 观察图象可知，二次函数图象与轴交点的横坐标为和， ∴方程的解为，． ②当时，二次函数图象在轴上方， 观察图象可知，此时或， ∴的取值范围是或． （3）解：该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；函数的最小值为（任选一条即可）． 7.已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴； （2）根据二次函数的性质得出结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：函数图象的开口向下，对称轴为直线； 故答案为：向下，； （2）解：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：将抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意． 二次函数图象的平移题型05 1.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线对应的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线对应的函数表达式是． 2.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线平移“左加右减”的规律求解． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为． 3.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 4.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 5.（23-24九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 6.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即． 7.（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 8.（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质题型06 1.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 2.（26-27九年级上·吉林·期中）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴的公式计算即可. 【详解】解：∵ 抛物线为，其中 ，， ∴ 对称轴为直线：． 3.（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【答案】C 【分析】把函数解析式化为顶点式，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴该函数的对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为，在轴下方，故A、B选项错误； ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最小值是，故C选项正确；故D选项错误； 4.（26-27九年级上·甘肃武威·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_______． 【答案】/ 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向下时抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，比较三个点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∴点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离大小关系为． ∴对应函数值的大小关系为． 5.（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知二次函数的最小值为，则的值为______． 【答案】 【分析】对二次函数配方，开口向上的二次函数最小值为顶点纵坐标，根据已知最小值建立方程求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，顶点纵坐标为，即函数最小值为， ∵二次函数最小值为， ∴， 解得． 6.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）求下列二次函数图象的顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 配方得， 可得顶点坐标为． （2）解：， 可得，，， 计算顶点横坐标：， 计算顶点纵坐标：， 可得顶点坐标为． 7.（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知一个二次函数． (1)将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； (2)对称轴为直线_________； (3)随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； (4)当时，的取值范围为_________； 【答案】(1) 解： ； (2) (3) (4) 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴当时，随的增大而减小； （4）解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为；当时，函数值最大为4； ∴的取值范围为. 8.（25-26九年级上·北京顺义·期中）已知二次函数 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图； (3)当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)函数图象与x轴的交点坐标为或，函数图象与y轴的交点坐标为 描点，连线作出图形的图象，如图： (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值，最小值为 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据配方法把解析式化为顶点式即可求解； （2）令和，解方程求解即可求出抛物线与坐标轴的交点，然后列表，描点，连线即可； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：， 该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）将代入函数，则， 函数图象与y轴的交点坐标为； 令， 解得，， 函数图象与x轴的交点坐标为或； 列表如下： 描点，连线作出图形的图象，如图： （3）由图象可知，当时，y随x的增大而减小．当时，y有最小值，最小值为 求二次函数y=ax2+bx+c的最值题型07 1.（26-27九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合x的取值范围，通过比较区间端点到对称轴的距离确定最大值位置，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 在范围内， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∴当时，函数取得最大值， 此时． 2.二次函数，当时，下列说法正确的是（    ） A．有最大值1，有最小值-2 B．有最大值2，有最小值-2 C．有最大值1，有最小值-1 D．有最大值2，有最小值1 【答案】B 【分析】先将函数解析式化为顶点式，再根据题意得出该二次函数的顶点坐标和开口方向，然后求出x=﹣1和x=2对应的函数值，比较大小即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为（1，2），且开口向下， ∴当x=1时，y有最大值2， ∵当x=﹣1时，y=﹣4+2=﹣2， 当x=2时，y=﹣1+2=1， ∴当时，该函数有最大值2，最小值﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，正确求出对应的函数值是解答的关键． 3.（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）抛物线，当时，的最小值是________． 【答案】2 【分析】将抛物线化为顶点式，得到开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性判断给定范围内的最小值位置，计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵在对称轴的右侧， ∴当时，取得最小值， 把代入计算得， 所以的最小值是． 4.（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（投球问题），把化成顶点式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∵， 当时，取得最大值， ∴羽毛球飞出的最大高度为米， 故选：A． 二次函数的对称性求对称轴、函数值、最短路径题型08 1．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 2．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， 则关于对称轴直线所对称的是， ∴和的函数值相同，即为； 故选C． 3．已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线的距离大小得到对应函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数图象经过， ∴二次函数的对称轴为直线， 将分别代入二次函数表达式得， 解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 时，， ， ， 又到对称轴的距离从远即近为， 故选C． 4．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 1.（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 2.（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 3.（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 4.（25-26九年级上·辽宁大连·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④对于任意实数，总有．其中所有正确结论的序号是（　　）    A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性及最值是解题的关键．先根据图象判断、的符号，结合对称轴公式推导与的关系，再依次分析各项结论的正确性． 【详解】解：由图象可知，，， ， ， ，故①错误，②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，故③正确； 时，函数有最大值， 对于任意实数，总有，即，故④正确． 综上所述，正确的结论有：②③④． 故选：． 5.（25-26九年级上·山东聊城·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．则下列说法： ①；②；③若与是抛物线上的两个点，若，且，则；④当时，函数可取得最大值．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的最大值， 根据抛物线的开口方向、抛物线与y轴的交点、抛物线的对称轴是可判断①；由抛物线与x轴的交点是，可得，再根据对称轴可得，进而得出，然后根据可判断②；根据抛物线的开口方向和对称轴可得点离对称轴越近函数值越大可判断③；根据直线经过点，可得，由②知，进而得出，再根据可得关系式，再讨论最值即可判断④，则此可解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交，对称轴是直线， ∴，，， ∴，则①正确； ∵由抛物线与x轴的交点是， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，则②正确； ∵抛物线开口向下， ∴点离对称轴越远函数值越小， ∵，且，即， ∴点离对称轴远， ∴，则③正确； ∵直线经过点， ∴， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值，则④正确， 所以正确的有4个． 故选：D． 6.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 1.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) 证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）略 （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为 2.（2026·山东日照·模拟预测）已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： (3)当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据抛物线对称性列方程计算即可； （3）①分情况讨论：若时，则当时，的最大值为0，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值； ②求出点和点之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出，，由或可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是； （2）解：∵抛物线的对称轴为，，是该抛物线上的两个点，且， ∴， 解得； （3）解：①∵由（1）知该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的最大值为32，则，解得； 当时，抛物线开口向下，，则当时，的最大值为0，这与的最大值为32相矛盾，故不符合题意． 综上，的值为2； ②由①知该抛物线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴的最小值为0． ∵，两点在对称轴两侧， ∴， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为2， ∴点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2， 当时，得，解得，， 即抛物线上纵坐标为2的点为和， 当时，则，解得， 当时，则，得，解得， 综上，t的取值范围是． 1.（2026年四川省甘孜州中考数学试卷）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2.（2026年江苏徐州市中考数学试题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 3.（2026年北京市中考数学试卷）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 4.（2026年江苏省淮安市中考数学试题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 5.(2026年四川省攀枝花市中考数学真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.2二次函数的图象与性质 目录 A组巩固过关 题型01二次函数J=2的图象与性质 题型02二次函数J后心2+的图象与性质 题型03二次函数Jyc-)的图象与性质 题型04二次函数y=c-)2+k的图象与性质 题型05二次函数图象的平移 题型06二次函数Jy=ax+bx+c的图象与性质 题型07求二次函数=+bx+c的最值 题型08二次函数的对称性求对称轴、函数值、最短路径 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 二次函数y=心的图象与性质 1.(24-25九年级上湖北恩施期末)下列关于抛物线y=5x2的说法正确的是() A.图象开口向下 B.对称轴是y轴 C.有最高点 D.y随x的增大而增大 2.(26-27九年级上·云南文山期中)下列抛物线中，抛物线的开口最小的是() A.y=3 B.y=- C.y=2x2 D.y=3x2 3.(26-27九年级上吉林期中)己知二次函数y=(a-2)x的图象开口向上，则a的取值范围是（) A.a>2 B.a<2 C.a=2 D.a≠2 1/14 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级下吉林长春期中)若点A(2,乃)和点B(3,2)都在抛物线y=-x2上，则H和的大小关 系是() A.>y2 B.=2 C.为<y2 D.无法确定 5.(24-25九年级上河南周口期末)已知二次函数=ax2,h=ax2,为=42，y=ax2的图象如图所 示，则4，，a,a4的大小关系是() y不 yi=ax2 /y2=ax y4-Q4X A.a3<a4<a1<a2 B.a4<a3<a1<a2 C.aa<as<a<a D.a3<as<a<a 6.(24-25九年级上湖北恩施期中)己知y=(k+1)x2-是关于x的二次函数，且当x>0时，y随x的增 大而减小，求k的值. 颗型02 二次函数Jy=a+k的图象与性质 1.(26-27九年级上湖北黄石阶段检测)关于二次函数y=-3x2-6的图象与性质，下列说法错误的是 () A.开口向下 B.对称轴为直线x=0 C.当x>6时，y随x的增大而增大 D.当x=0时，y有最大值6 2比较二次函数y=3x与V=3+1的图象，则() A.开口大小相同B.开口方向相同 C.对称轴相同 D.顶点坐标相同 3.(26-27九年级上内蒙古巴彦淖尔阶段检测)己知点（-2，)，（-1，)，(3，乃)在函数y=x+2的图象 上，则，2，的大小关系是() A.<y2< B.为<当<y2 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.<y2<3 D.y2<H<3 4.二次函数y=-2x+3,当-1≤x≤2时，y的取值范围是() A.-5≤y≤3 B.-1≤y≤3 c.-5≤y≤1 D.-5≤y≤0 5.已知二次函数y=(m-)x+3m,下列说法正确的是() A.图象开口向上 B.图象的项点坐标为(-2,3) C.图象的对称轴是直线x=3 D.有最大值，为一3 6.(25-26九年级上贵州黔西南期中)如图所示，已知抛物线y=-x+4. y本 (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线y=-x2+4可由抛物线y=-x2向 平移 个单位得到： (3)当-1≤x≤2时，y的取值范围是 颗型03 二次函数y=a(c-l)的图象与性质 1.(2425九年级上广西河池期中)如图，二次函数=(x-少的大致图象是() 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25九年级上广西南宁期中)与y=-x开口大小，方向，形状完全相同的是（) A.y=x2 B.y=(x-12 C.y=2x2 D.y=-x2+1 3.(25-26九年级上·北京阶段检测)关于二次函数y=(x-2)}的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴为直线x=-2 C.可以由y=-x的图象向左平移2个单位得到 D.当x≤2时，y随x的增大而增大 4.已知某二次函数，当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解 析式可以是() A.y=2(x+1)2 B.y=2(x-1)2 C.y=-2(x+1)2 D.y=-2(x-1)2 5.(2425九年级上广东江门期中)点A(0,y):点B(1,2),点C(3,)都在二次函数y=2(x-1)的图象 上，则() A.2<乃< B.<y<2 C.2<为< D.<y3<2 颗型04 二次函数y=a(c-)+k的图象与性质 1.(2627九年级上广东东莞期中)对于抛物线y=2(x-1)+3,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为（一1,3） C.当x>1时，y随x的增大而增大 D.抛物线与y轴没有交点 2.(2627九年级上重庆巴南阶段检测)关于抛物线y=-(x-3)+14,下列说法错误的是() A.图象与y轴的交点坐标为(0,5) B.开口方向向下，函数的最大值为14 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.函数的对称轴是直线x=3 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(26-27九年级上陕西安康期中)抛物线y=-(x+m)+3(m是常数)的顶点坐标是(4,3)，则m的值 为() A.2 B.-4 C.4 D.4 4.(25-26九年级上云南曲靖·期末)如图是抛物线y=2+bx+c的图象，顶点坐标为(-l,4),则下列说法 正确的是() -3 x=-1 A.抛物线的对称轴是直线x=1 B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,2) C.当x<l时，y随x的增大而减小 D.当-3<x<1时，函数的最大值为4 5.(2627九年级上山西朔州期中)己知点A(3,y),B(2,),C(4,乃)都在函数y=-5(x-2}+3的图 象上，则，2，的大小关系是() A.<片<2 B.<<y2 C.y3<y2<y D.片<y2<3 6.(25-26九年级上甘肃平凉期中)已知二次函数y=(x-1)2-4. 6 3 -2 1- 5-4-3-219 .23.4.5.678 -2 4 5 (1)请在坐标系中画出二次函数y=(x-)'-4的图象； (2)观察图象，回答下列问题： ①直接写出方程(x-)'-4=0的解： 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当y>0时，x的取值范围是 (3)观察函数图象，请写出一条函数的性质： 1 7已知函数y=2x+2-2 (1)填空：函数图像的开口方向是 对称轴是直线， (2)当x 时，y随x的增大而减小。 (3以y轴为对称轴，将抛物线y=一2x+2-2进行轴对称变换，求变换后所得到的抛物线解析式。 颗型05 二次函数图象的平移 1.(25-26九年级上江苏盐城期中)将抛物线y=x向下平移5个单位后得到的抛物线对应的函数表达式是 () A.y=-x2+5 B.y=x2-5 C.y=(x-5)}2 D.y=(x+5)2 2.(26-27九年级上甘肃兰州期中)在平面直角坐标系x0少中，抛物线y=x向右平移1个单位长度得到 的抛物线为() A.y=(x+1)2 B.y=(x-1)2 C.y=x2+1 D.y=x2-1 3.(26-27九年级上广东广州阶段检测)将抛物线y=x向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为() A.y=(x-3)2+2 B.y=(x+3)2-2 c.y=(x-3)}-2 D.y=(x+3)2+2 4.(25-26八年级下浙江宁波期末)将函数y=x+4的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析 式可能是() A.y=(x-3)2+3 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+3)2+3 D.y=x2+1 5.(2324九年级上河北邢台期末)将抛物线y=-3x2平移，得到抛物线y=-3(x+)-2,下列平移方式 中，正确的是() A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 6.(26-27九年级上安徽淮北阶段检测)在平面直角坐标系中，将函数y=3(x-1+5的图象先向左平移2 个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为() A.y=3(x+1)+6B.y=3(x+1)2+4 C.y=3(x-3)2+4 D.y=3(x-3)2+6 7.(25-26八年级下山东济南期末)将抛物线y=x+2x向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物 线的表达式是() A.y=x2+1 B.y=(x-1)2 C.y=(x+3)2 D.y=(x+2)2+1 8.(25-26九年级上浙江金华期末)将抛物线y=(x-h)}+k先向右平移5个单位长度，再向上平移2个 单位长度，得到抛物线y=-2x2 (1)求a,h,k的值： (2)指出抛物线y=a(x-h)+k的开口方向、对称轴和顶点坐标： (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值. 颗型06 二次函数Jy=ax+bx+c的图象与性质 1.(25-26九年级上河北张家口期末)如图是嘉嘉求抛物线y=3x-6x+1的顶点坐标的过程，则() 解：y=3x2-6x+1 =3(x2-2x+1P）-+1① =3(x-1.② 抛物线的顶点坐标为(0，)…③ A.该过程完全正确 B.该过程从①开始出错 C.该过程从②开始出错 D.该过程从③开始出错 2.(26-27九年级上吉林期中)抛物线y=-2x2+6x的对称轴是() A.直线x=3 B.直线x=-3 3 3 C.直线x=2 2 D.直线x=- 2 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2-27九年级上安徽淮南阶段检测)关于二次函数y=2x-8x+5,，下列说法正确的是() A.图象的对称轴在y轴左侧 B.图象的顶点在x轴上方 C.当x>3时，y随x的增大而增大 D.y有最小值是5 4.(2627九年级上甘肃武威期中)若点A(-山，乃)，B(2,),C(4,y)都在二次函数y=-x2+2x+3的图 象上，则，，的大小关系是 5.(26-27九年级上广东江门阶段检测)已知二次函数y=产-6x+m的最小值为1，则m的值为一 6.(25-26九年级上江苏盐城期中)求下列二次函数图象的顶点坐标. (1)y=x2-2x(配方法)： (2)y=x2+2x-3(公式法). 7.(26-27九年级上吉林长春期中)已知一个二次函数y=-x2+2x+3 (1)将二次函数y=-x+2x+3转化为y=a(x-hM)+k的形式，并写出转化过程： (2)对称轴为直线一一—-： (3)y随x的增大而减小时自变量x的取值范围为 (4)当-2≤x≤2时，y的取值范围为 8.(25-26九年级上北京顺义期中)已知二次函数y=x2+2x-3. (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴： (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图； (3)当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？ … -3 -2 -1 0 … y 0 -3 -4 0 题型07 求二次函数)y=ax2+bx+c的最值 1.(26-27九年级上广东广州期中)已知二次函数y=2x2+4x,当-3≤x≤1.5时，该函数的最大值是 21 A.0 6.2 C.2 D.6 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.二次函数y=-x2+2x+1,当-1≤x≤2时，下列说法正确的是(） A.有最大值1，有最小值-2 B.有最大值2，有最小值2 C.有最大值1，有最小值-1 D.有最大值2，有最小值1 3.(26-27九年级上辽宁大连阶段检测)抛物线y=x-4x+5,当3≤x≤4时，y的最小值是 4.(24-25九年级上·安徽马鞍山期末)杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在 空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y(米)与水平距离x(米)之间满 足关系为y= ++g。 9 +9,则羽毛球飞出的最大高度为() 7 7777777777777777777 A.2米 B.2.5米 c.2.8米 D.3米 题型08 二次函数的对称性求对称轴、函数值、最短路径 1,若抛物线y=ar2+br+C(a≠0)经过A(-1,0),B(5,0),则它的对称轴为() A.直线x=0 B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=3 2.若二次函数y=ax+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=-1时，y的值为() -7 -6 -5 3 -27 -13 -3 3 5 A.5 B.3 C.-3 D.-13 3.已知二次函数y=ar'+br-2a(a≠0)的图象经过点A(1,n),B(3,n）,且当x=1时，y>0.若 M(-2,y人N(-1,y2入P(7,)也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是() A.<2<B.y3<<y3 C.<<y2 D.y<y3<y2 4.如图，抛物线y=a2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,P 是抛物线对称轴上一动点，则△PAC周长的最小值是() 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2 B A.10+V26 B.5+5V2 c.5v2+√26 D.6V5+5V2 B组 能力进阶 1.(25-26八年级下福建福州期末)二次函数y=2+bx+c的图象如图所示，则点(b,c)所在的象限是 () 0 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26八年级下重庆期末)如图，二次函数y=ar+bx+C(a≠0)的图象与x轴交于点A(-l,0),对称 轴为直线x=1,则下列讨论中错误的是() y◆x=1 A 1 A.abc<0 B.2a+b=0 C.4a+2b+c>0 D.c+8a>0 3.(25-26八年级下云南昆明期末)如图，二次函数y=xr+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(-l,0), (x,0),且2<x<3.下列结论： 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2/ 3 ①abc>0: ②2a+b>0: ③4a-2b+c<0: ④若点A(1-m),B(1+m,y)(m>0)在抛物线上，则y<y2. 其中包含所有正确结论的是() A.①② B.①④ C.①②④ D.②③④ 4.(25-26九年级上辽宁大连期末)二次函数y=am2+bx+(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=-l,给出下列结论：①abc<0;②b=2a;③当x>0时，y随x的增大而减小：④对于任意实数m, 总有a-b≥am2+bm.其中所有正确结论的序号是() 3-2-0 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②④ 5.(25-26九年级上山东聊城：期末)抛物线y=r2+bx+(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=-1,直线y=cx+c与抛物线都经过点(-3,0).则下列说法： ①abc>0:②4a+c<0;③若(x,乃)与(，)是抛物线上的两个点，若x<x,且：+x<-2,则 3 片<，：④当x=一2时，函数y=2+(b-)x可取得最大值.正确的个数是（) 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 6.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)如图，抛物线y=ar+br+c(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0), 与y轴交于点C.下列说法：①abc<0;②抛物线的对称轴为直线x=-l;③当-3<x<0时， ax2+bx+c>0;④当x>1时，y随x的增大而增大：⑤am2+bm≤a-b(m为任意实数)，其中正确的个 数是() A.2 B.3 C.4 D.5 C组 思维拔高 1.(2324八年级下浙江宁波期末)如图，在平面直角坐标系x0中，己知抛物线的解析式是片=x,直 装，的解折式足%=一子点F0》.点p足在该超物发上的动点，连接·过p作pN 12/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N V (1)求证：PF=PW: (2)设点E(-2,6),求PE+PF的最小值及此时点P的坐标。 2.(2026山东日照模拟预测)己知抛物线y=r2-4mx+4m(m≠0). (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)已知A(-3,),B(s,乃)是该抛物线上的两个点，且片=，求s的值： (3)当-2≤x≤3时，函数y的最大值为32. ①求m的值； ②若M(a,乃)，N(a+1,)(>0)是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点M和点N之间的抛物线 部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围. 拓展 链接中考 1.(2026年四川省甘孜州中考数学试卷)对于抛物线y=3(x-5)-4,以下说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴为直线x=5 C.顶点坐标为(5,4) D.当x>5时，y随x的增大而减小 2.(2026年江苏徐州市中考数学试题)在平面直角坐标系中，将函数y=(x-1+4的图象先向左平移2个 单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为() A.y=(x+1)2+5B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-3)2+3 D.y=(x-3)}2+5 3.(2026年北京市中考数学试卷)在平面直角坐标系x0y中，函数y=x2+4x+4的图象经过点(m,)和 (m+l,乃).若m>0,则乃（填“>”“=”或“<”）· 4.(2026年江苏省淮安市中考数学试题)已知二次函数y=ar2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)的图像 过点A(-山，)，则下列说法正确的是 (填写所有正确说法的序号) 13/14 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①a-b+c=-1;②若b>0,则当-1<x<1时，y随x的增大而增大；③若0<b<-2a,则9a+3b+c<0, ④若关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个相等的实数根，则2a+b<1. 5.(2026年四川省攀枝花市中考数学真题)已知二次函数y=3x2-4m+4,其中a为常数. 3 (1)若a=2,求此函数图象的顶点坐标； (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围。 14/14