27.2.2 二次函数y=a（x+m)2+h 的图像和性质（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，构建二次函数图像与性质的递进式知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（图像、性质、平移）|基础题型（选择、填空），夯实概念理解| |B组|综合知识点（性质比较、图像变换）|中档解答题，培养推理能力| |C组|复杂问题（分类讨论、代几综合）|探究性题型，发展创新意识| |拓展|中考真题|中考情境题，强化应用意识|

分层作业 27.2.2 二次函数y=a(x+m)2+h的图像和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2+h的图像 题型02 二次函数y=ax2+h的性质 题型03 二次函数y=ax2+h的平移 题型04 二次函数y=a(x+m)2的图像 题型05 二次函数y=a(x+m)2的性质 题型06 二次函数y=a(x+m)2的平移 题型07 二次函数y=a(x+m)2+h的图像 题型08 二次函数y=a(x+m)2+h的性质 题型09 二次函数y=a(x+m)2+h的平移 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2+h的图像 题型01 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 二次函数y=ax2+h的性质 题型02 4．抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 5．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么______．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 6．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 二次函数y=ax2+h的平移 题型03 7．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 8．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________． 9．在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（   ） A．开口方向相同； B．对称轴相同； C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同． 二次函数y=a(x+m)2的图像 题型04 10．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 12．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 二次函数y=a(x+m)2的性质题型05 13．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）． 14．已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 _______． 15．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 二次函数y=a(x+m)2的平移 题型06 16．已知抛物线向左平移3个单位后再沿x轴翻折得到抛物线，则________，________． 17．（2024·云南怒江·一模）平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（    ） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 18．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 二次函数y=a(x+m)2+h的图像 题型07 19．抛物线的顶点坐标为_______ 20．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 二次函数y=a(x+m)2+h的性质 题型08 22．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 23．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 24．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 二次函数y=a(x+m)2+h的平移题型09 25．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 26．（2026·山西运城·一模）将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 27．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 1．抛物线抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上 2．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2 4．抛物线 y=2x2+1的对称轴______． 5．当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 6．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则________． 7．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 8．已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为______________． 9．已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 10．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 11．抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当为何值时，随的增大而增大？ 12．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米． (1)求出抛物线的解析式． (2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 1．【分类讨论】已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 2．【新定义】（2025·上海·一模）如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 3．【实际应用】随着“湖北省城市足球联赛”（简称“楚超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员甲位于点处起脚射门，防守球员乙位于点，的延长线与球门线交于点且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知球门离O点的水平距离为，球门的高度为，足球距离点的水平距离（单位：m）与离地高度（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离 … 6 9 12 15 … 离地高度 … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度_____m，并直接写出关于的函数解析式_____； (2)若乙不防守，甲的这次射门是否成功？ (3)当乙位于足球正下方，足球离地高度不大于乙的最大防守高度时，乙可以防守成功．若乙距离点水平距离时，是否可以防守成功，如果不可以，乙需要向球门方向至少移动多少米，才能防守成功？ 4．【数形结合】如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．【代几综合】【问题背景】 已知抛物线(为常数， ）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． 【构建联系】 (1)如图1，当 ，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)【深入探究】如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求和k的值． 1.（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 2．（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 27.2.2二次函数y=a(x+m)2+h的图像和性质 参考答案 ● A组 巩固过关 颗型01 二次函数y=ax+h的图像 1.D 2.B 3.B 颗型02 二次函数y=ax2+h的性质 1 4.k< 2· 5.>. 6. -4<y≤4 颗型03 二次函数y=ax2+h的平移 7.【答案】(1) 如图所示： 31-2 3 ,开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： y=-x2 (0,0) 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x+1,开口向下、对称轴为：y轴，顶点坐标为：(0，)： (2)上，3 【详解】(1)略 (2)解：函数y=-2x2+3与函数y=-2x2的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于y=-2x向上平移3个单位得到y=-22+3. 故答案为：上；3. 1 8.y=x2+4 9.D 颗型04 二次函数y=a(x+m)2的图像 10.A 11.A. 12.1. 颗型05 二次函数y=a(x+m)2的性质 13.1(答案不唯一). 14.675 15.乃<y2<. 题型06 二次函数y=a(x+m)2的平移 16.2:4 17.A. 18.B. 题型07 二次函数y=a(k+m)2+h的图像 19.(4,3) 20.C 21.(2026上海长宁·一模)宁宁同学在将某条抛物线表达式化为y=a(x+m+n形式时，他给出的结果 是y=(2x+4)+4,那么这条抛物线的顶点坐标为() A C 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型08 二次函数y=a(《+m)2+h的性质 22.:C. 23.D 24.>. 题型09 二次函数y=a(+m)2+h的平移 25.m=3 26.C 27.-2. B组 能力进阶 1.D 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关 键. 2.D. 3.B. 4.直线=0 5.2或-5」 6.-7」 7.y<y2. 8.y<y2<y. 9.【答案】()对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，) (2) 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3-2-10 八2乃45 2 (3)x≤2 【详解】(1)解：y=(x-2)-1的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-)： (2)解：略. (3)解：由抛物线开口向上，对称轴为直线x=2, 则当y随x的增大而减小时，x的取值范围为x≤2， 10. 【答案】(1) 画图如下： ,开口向下，对称轴是y轴，项点坐标为 y=-(x+2)2 =-(x-1)2 y=-x2 y=-x2 (0,0).当x<0时，y随×增大而增大，当x>0时，y随×的增大而减小： 2)y=-(x+2),开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0)，当x<-2时，y随×的增大而增大， 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x>-2时，y随x的增大而减小： (3)y=(x-1),开口向下，对称轴是直线x=1,顶点坐标为L,0),当x<1时，y随×的增大而增大，当 x>1时，y随的增大而减小. 【详解】(1)解：列表如下： X -4 -3 -2 0 1 2 4 … y=-x2 -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 … y=-(x+2)2 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 -25 -36 y=-(x-1)2 -25 -16 -9 -4 0 -1 -4 -9 (2)解：略 (3)解：略. 11.【答案】y=-x+2 3 (2)(-2,0) (3)x≤-2 【详解】(1)解：~抛物线y=a(x-h)的对称轴是直线x=-2, .h=-2, 抛物线y=a(x+2)过点(（1，-3)， ÷-3=a×1+2},解得a=-} 3 地物线的新式为=x+2。 （2)解：由1)知，抛物线的解折式为y=(x+2。 ·.抛物线的顶点坐标为（-2,0)： (3)解：由(1)知，抛物线的解析式为y=- +2明， 1 a=-3<0, .抛物线开口向下， ∴.当x≤-2时，y随x的增大而增大. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 12.【答案】(1)y= x2+1 4 (22V3米 (3) 这辆货运卡车能通过该隧道； 1 当Xe1.2时，y=4×.2y+1=0.64, 3+0.64=3.64>3.6 ∴.这辆货运卡车能通过该隧道. 【详解】(1)解：最高点E到地面距离为4米， ∴.EF=4米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为Y轴， .:设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)， 四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠BCO=90°， 又：∠C0F=90° ∴.四边形BCOF是矩形， .OF=BC=3米， OE=EF-OF=4-3=1(米)， .点E的纵坐标为1， .c=1, ∴y=ax2+1, 又AB=CD=4米， ∴·点C的坐标为(2,0)， 把点C的坐标代入解析式，得4a+1=0, 1 解得a=- 4 故抛物线的解析式为y= 是3-代入解新式。 13 (2)解：把y= 1 得4 2+1=4 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=3,=-5, 13 故在距离地面4米高处，隧道的宽度是3-（-√3)=23（米）： (3)略 C组 思维拔高 1.D 2.y=-2x2+4x-1(答案不唯一). 3.【答案】国4s,y=-1+48 (2)若乙不防守，甲的这次射门成功： (3)乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动2m才能防守成功. 【详解】(1)解：根据表中数据，当x=9和x=15时，离地高度y=4.5, 可知对称轴为x=12, 根据表中数据，当x=12时，离地高度y=4.8,则离地最大高度y=4.8m: 设y关于x的函数解析式为y=a(x-hn)'+k, 由题意可得，顶点为(12,4.8)， 则y=a(x-12)+4.8. 将630代入亚数解行式可得，36=a6-12+4s,解得a=刘 则解斩式为y=动-12旷+48， (2解：根指题意可得，将x=2代入通数解斩式y-1口48，可得 =02-12旷+48-器 15 22 “15<24, 若乙不防守，甲的这次射门成功： (3)解：根据题意，将=19代入函数解析式y=0x-12+48,可行， 30 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-19-12}+4.8=-4 30 4.8=19 30 6 19 :6 >2.1, .乙防守不成功， 将y=21代入y=动-2+48可得21=动-12+48. 解得x=3或x=21, 根据题意可得，x=3舍去， 21-19=2,即乙需要向球门方向至少移动2m才能防守成功. 答：乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动2m才能防守成功. 4.B 5.【答案】(1)P(1,-2) (2)10 (3)a=1,k=-3 【详解】(1)解：a=1,与y交于点(0，-)， .-1=(0-1+k, 解得k=-2, 该抛物线的解析式为y=(x-1)-2, .该抛物线顶点P的坐标为山，-2)： (2)解：过点M(m,)作MHLx轴，垂足为H,m>1, 图1 则∠MHO=90°，HM=1,OH=m. 在RtMOH中，由M2+OH=OM,OM= 2 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+m2= 13 2 3 解得m=m=2（舍）· 点y的标为 :y=a(x-l)2+k, ∴抛物线的对称轴为x=1, ~对称轴与x轴相交于点D,则OD=1,∠ODP=90° 在RISOPD中，由OD2+PD2=OP,OP=E 2 .1+PD2 v13 解霸0号 (正值舍去)· 由a>0 得该据物线顶点p的坐标为小-引】 该桃物线的解折式为y=a心：--。 点 在该抛物线上 有= .a=10 (3)过点M(m,1)作MH1x轴，垂足为H,m>1, 则∠MHO=90°，HM=1,OH=m. ∴.DH=OH-OD=m-1. 在Rt△DMH中，DM2=DH+HM2=(m-I}+1. 过点N作NK⊥x轴，垂足为K,则∠DKN=90°. ,又 :∠MDN=90°，DM=DN ∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '△NDK≌△DMH(AAS) .'DK=MH=1,NK DH=m-1, ∴点N的坐标为(2,1-m). 在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45°， MW2=DM2+DN2=2DM2,即MN=√2DM. 根据题意，NE+NF=√2DM,得ME=NF. 在△DMN的外部，作∠DNG=∠DME=45°，且NG=DM,连接GM, 得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90° ∴.aGNF≌△DME(SAS)」 ..GF=DE ∴.DE+MF=GF+MF≥GM. 当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即GM=V5, 在Rt△GMN中，GM2=NG2+MW2=3DM2, (5=3DM2.得DM2=5 (m-1)}+1=5.解得m=3,m,=-1(舍)· 点M的坐标为(3，)，点N的坐标为(2，-2). 点M(3,)N(2,-2)都在抛物线y=a(x-1)°+k上， 得1=a(3-12+k,-2=a(2-l+k, 解得a=1,k=-3」 拓展 链接中考 1.【答案】3 2.【答案】(1)A(-山，-1)，G:y=(x-2-4(0≤x≤3)，B(2,4) (2)①-3≤x≤-1或0≤x≤2：②-1≤n≤2-V3 2或m=-1-0 3)回是：②m=-1-0或 或m=-1+6 3 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)①略 ②令G2:y=(x-2)-4=-1, 解得：x=V5+2(舍去)，x=-5+2 如图， 4 3H 2 A 4-3-2仆1.2.34 v=-1 A 4 B -5F 图① 又：A(-1,-1) 根据函数图象可得：当-1≤y≤0时，-1≤n≤2-√3 (3)①G:y=(x+1)-1=x2+2x,G2:y=(x-2}-4=x2-4x, 点P为G上一点，横坐标为m,则P(m,m2+2m), 点P向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到(m+3,m+2m-3), 点2为G2上一点，横坐标为m+3,(m+3}-4(m+3)=m2+2m-3,即(m+3,m2+2m-3) ∴.点P,Q是平移前后的一组对应点： ②解：点C为G2上一点，横坐标为3. x=3时，y=(x-2)-4=1-4=-3,则C(3,-3), :点2关于直线马的对称点为点D,Q(m+3,m2+2m-3) :0-3 2 即m2+2m-3+yp=-6 ∴.yp=-m2-2m-3. 情形一：当-3≤m≤-2时，点P在x轴及其上方部分， 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最高点为P(m,m2+2m), (i)如图，当1≤。≤0时，最低点为-1 P 2H O 4-3.-4个d.2.3.4x A -2 -5 :.h=m2+2m-（-m2-2m-3=2m2+4m+3 h2=-1-（-m2-2m-3)=m2+2m+2 当h=2h,时，2m2+4m+3=2(m2+2m+2）, 此方程无解，不存在此情形： (ii如图，当-3<e≤-l时，最低点为。=m2+2m-3 y 4 3 2 -4-3Λ1.2.34x A -2 -4 B -5FD ∴.h=yo-yo=m2+2m-3-（-m2-2m-3）=2m2+4m 当=2h,时，2m2+4m+3=2(2m2+4m） 解得：m=-1+10 (合去)或m=-1- 情形二：当-2≤m≤-1时，此时如图， 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 2 43 11234X -5 最高点为点0，则h=0-yo=0-(-m2-2m-3)=m2+2m+3 最低点为9，则h,=yo-yo=-m2-2m-3-(m2+2m-3)=-2m2-4m 当h=2h,时，m2+2m+3=2(-2m2-4m）. 解得：m=1或0=+西 5 (舍去)： 情形三：当-1≤m≤0时， 4 -4-3-入 123 4 最高点为点0，则4=0-y,=0-（-m2-2m-3)=m2+2m+3 最低点为B,则h,=yo-yg=-m2-2m-3-(-4)=-m2-2m+1 当h=2h,时，m2+2m+3=2(-m2-2m+1）, 解得：m=-1-6 3 (含去)或m=-1+6 ’ 综上所述，当6=2%时m=-小 2 或m=-1+6 或m=-1-0 13/13 分层作业 27.2.2 二次函数y=a(x+m)2+h的图像和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2+h的图像 题型02 二次函数y=ax2+h的性质 题型03 二次函数y=ax2+h的平移 题型04 二次函数y=a(x+m)2的图像 题型05 二次函数y=a(x+m)2的性质 题型06 二次函数y=a(x+m)2的平移 题型07 二次函数y=a(x+m)2+h的图像 题型08 二次函数y=a(x+m)2+h的性质 题型09 二次函数y=a(x+m)2+h的平移 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2+h的图像 题型01 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限， ， 则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上， 观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求． 3．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 二次函数y=ax2+h的性质 题型02 4．抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：抛物线的二次项系数为， 由题意，抛物线开口向下， 故， 解得， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么______．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 【答案】 【详解】解：∵ ∴开口向下，有最大值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越大， ∵， ∴， 故答案为：＞． 6．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 二次函数y=ax2+h的平移 题型03 7．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1) 如图所示：   ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； (2)上，3 【详解】（1）略 （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 8．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转180°则a变为-a，即可求解． 【详解】解：将函数向上平移3个单位后，得到函数解析式为，新函数图像绕顶点旋转180°所得图像形状不变，开口向上，所以a变为相反数-a，所以函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了函数图象的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，二次函数解析式中a的符号决定函数图象开口方向，a的绝对值决定函数图象开口大小． 9．在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（   ） A．开口方向相同； B．对称轴相同； C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同． 【答案】D 【详解】解：把抛物线向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为， ∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为0，一个为； 故选D． 二次函数y=a(x+m)2的图像 题型04 10．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 12．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 二次函数y=a(x+m)2的性质题型05 13．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 _______． 【答案】 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当分别取，时，函数值相等，则， 时， 函数值． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】/ 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 二次函数y=a(x+m)2的平移 题型06 16．已知抛物线向左平移3个单位后再沿x轴翻折得到抛物线，则________，________． 【答案】 2 4 【详解】解：原抛物线 的顶点为 ，向左平移3个单位后，顶点变为 ， 解析式为 ， 再沿轴翻折后，抛物线关于轴对称，解析式为 ， 给定翻折后的抛物线为 ，其顶点为 ， 比较解析式，得 和 ， 解得 ，． 故答案为： ． 17．（2024·云南怒江·一模）平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（    ） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 【答案】A 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标为，平移抛物线后的顶点坐标为， ∴将点向左平移一个单位后得到点， ∴平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是向左1个单位． 故选：A． 18．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 二次函数y=a(x+m)2+h的图像 题型07 19．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 20．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 21．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 二次函数y=a(x+m)2+h的性质 题型08 22．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 23．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 24．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，且， ∴． 故答案为：． 二次函数y=a(x+m)2+h的平移题型09 25．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 26．（2026·山西运城·一模）将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 27．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【答案】 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 1．抛物线抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上 【答案】D 【详解】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0）， 抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0）， ∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键． 2．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2 【答案】B 【详解】解：∵y=（x+2）2﹣9， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2， x＞﹣2时，y随x的增大而增大， A（﹣4，y1）关于直线x=﹣2的对称点是（0，y1）， ∵-2<＜0＜3， ∴y2＜y1＜y3， 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 4．抛物线 y=2x2+1的对称轴______． 【答案】直线x=0（或y轴） 【详解】解：∵抛物线y=2x2+1， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，即直线x=0， 故答案为：直线x=0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 5．当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 【答案】2或 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 6．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则________． 【答案】 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 7．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 8．已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为______________． 【答案】 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为轴，开口向上， 可知，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 9．已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：略． （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 10．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； (2)，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； (3)，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … （2）解：略． （3）解：略． 11．抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线过点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：由（1）知，抛物线的解析式为， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、求顶点坐标及增减性，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 12．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米． (1)求出抛物线的解析式． (2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)米 (3) 这辆货运卡车能通过该隧道； 当x=1.2时，， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【详解】（1）解：最高点到地面距离为4米， 米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴， 设抛物线的解析式为， 四边形ABCD是矩形， ， 又， 四边形BCOF是矩形， 米， (米)， 点E的纵坐标为1， ， ， 又米， 点C的坐标为(2,0)， 把点C的坐标代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：把代入解析式， 得， 解得，， 故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)； （3）略 1．【分类讨论】已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 2．【新定义】（2025·上海·一模）如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：给定抛物线的顶点为， 设另一抛物线方程为，则顶点坐标为， 根据题意，， 将点代入得，即， 将代入得，整理得， 由于顶点不同，则，故，即， 取，则， 故另一抛物线可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 3．【实际应用】随着“湖北省城市足球联赛”（简称“楚超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员甲位于点处起脚射门，防守球员乙位于点，的延长线与球门线交于点且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知球门离O点的水平距离为，球门的高度为，足球距离点的水平距离（单位：m）与离地高度（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离 … 6 9 12 15 … 离地高度 … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度_____m，并直接写出关于的函数解析式_____； (2)若乙不防守，甲的这次射门是否成功？ (3)当乙位于足球正下方，足球离地高度不大于乙的最大防守高度时，乙可以防守成功．若乙距离点水平距离时，是否可以防守成功，如果不可以，乙需要向球门方向至少移动多少米，才能防守成功？ 【答案】(1)，； (2)若乙不防守，甲的这次射门成功； (3)乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动才能防守成功． 【分析】（1）根据表中的数据，先求出对称轴，再根据数据得到离地最大高度即可；设函数解析式为，代入数据，求解即可； （2）根据题意，将代入函数解析式，求得函数值，与进行比较，即可求解； （3）根据题意，将代入函数解析式，求得函数值，与进行比较，即可判定是否防守成功，然后将代入函数解析式，求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据表中数据，当和时，离地高度， 可知对称轴为， 根据表中数据，当时，离地高度，则离地最大高度 m； 设关于的函数解析式为， 由题意可得，顶点为， 则， 将代入函数解析式可得，，解得， 则解析式为； （2）解：根据题意可得，将代入函数解析式，可得 ， ∵， ∴若乙不防守，甲的这次射门成功； （3）解：根据题意，将代入函数解析式，可得， ， ∵， ∴乙防守不成功， 将代入可得， 解得或， 根据题意可得，舍去， ，即乙需要向球门方向至少移动才能防守成功． 答：乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动才能防守成功． 4．【数形结合】如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线与交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=，故①正确； ∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误； 当y=3时，3=，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确； ∵=时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误． 故选B． 点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值． 5．【代几综合】【问题背景】 已知抛物线(为常数， ）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． 【构建联系】 (1)如图1，当 ，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)【深入探究】如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求和k的值． 【答案】(1) (2)10 (3) ， 【详解】（1）解：∵ ，与交于点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由 ，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段 上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得，， 解得 ，． 1.（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 2．（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；② (3)①是；②或或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， （3）①∵，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分， 最高点为， （i）如图，当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去）； 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $