吉林东北师范大学附属实验学校（经开）2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学学科期中试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1.要使式子√x-3有意义，则实数x的取值范围是 A.x≤3 B.x>3 C.x≥3 D.x≠3 2.下列计算正确的是 A.√2+√5=5B.6÷√5=5 C.(W5)2=3 D.V(-2)2=-2 3.已知关于x的方程x2-4x+3=0的两个根是x1和x2,则x+x2的值为 A.4 B.-4 C.3 D.-3 4.如果把一个Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值 A.扩大为原来的2倍 B.保持不变 C.缩小为原来的号 D.不能确定 5.将抛物线y=-x2+2向下平移3个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为 A.y=-x2+5 B.y=-x2-1 C.y=-(x-3)2+2 D.y=-(x+3)2+2 6.己知抛物线y=-(x-4)+1,下列说法正确的是 A.开口向上 B.对称轴是直线x=4 C.抛物线经过点(0,1) D.当x>4时，y随x的增大而增大 7.如图，△ABC和△A'B'C是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA'上.若△ABC的周长 为4，OA:AA'=1:2,则△A'B'C的周长为 A.6 B.8 C.10 D.12 D G H E F A B (第7题图) (第8题图) 8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点 A,D的对应点分别为点E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G,H.当点G是OA的中点 时， GH的值为 AB 1 A2 8. 2 3 c D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.若最简二次根式√2a-1与√5是同类二次根式，则a的值为 10.计算：sin245°+cos60°= 11.若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 12.如图，AD∥BE∥CF,若AB:BC=2:3,EF=4,则DE的长为 B B E F (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，菱形OABC的顶点0,4，C在抛物线y=x上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y 轴上，且OB=2.则菱形OABC的面积为. 14.如图，二次函数y=a+bx+c（a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0)， 对称轴为直线x=1,给出下列结论：①abc>0:②2a+b=0:③a-b+c>0: ④当x<3时，y<0:⑤若点（n,y),(-n+2,y2）均在该二次函数图象上， 则=2·上述结论中，正确结论的序号是 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.(8分)()计算：臣+-丽：（2)解方程：2+2x-5=0. 16.(6分)长春2027年第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办，组委会将志愿者小冰和 小雪随机分配到短道速滑（记为A)、冰壶（记为B)、冰球（记为C)三个项目组中的一组. 请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率. 17.(6分)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连结BD,已知∠ABD=∠C. 求证：AB=AD·AC. y 18.（7分)为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入，该 企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持 不变.求这两年研发投入的年平均增长率. 19.（7分)已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0，-3)和点（2,5). (1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标： (2)当-2≤x≤1时，函数值y的取值范围是 20.(7分)某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台 进行观测.如图，在河岸两边分别标记A,B两点，使得AB与河岸垂直，且点A,B与台底C在 同一条直线上，己知台高CD=15米，∠ADC=70°，∠BDC=30°，求河宽AB(结果保留小数 点后一位).（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√3≈1.73）》 A B 21.(7分)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶 点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹， 不要求写画法. B B 图① 图② 图③ (1)在图①中的BC边上确定一点D,连结AD,使△ABD与△ACD的面积比为2：1： (2)在图②中的AB边上确定一点E,连结CE,使△AEC与△BEC的面积比为2：1： (3)在图③中的AB边上确定一点M,AC边上确定一点N,连结MN,使四边形MBCN与 △AMN的面积比为3：1. 22.（8分)前掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目，小明在练习投掷 实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之 回的函数关系如图所示，已知小明掷球时的起点高度是m,当实心球运动至最高点时，边 点距离出手点的水平距离为4m,此时实心球的高度为3m. (1)求y关于x的函数表达式： (2)根据长春市2026年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生)，投掷过程 中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.6m,则此项考试得分为满分，按此评分 标准，小明在此项考试中能否得满分，请说明理由 y (m) x(m) 23.(10分)【问题呈现】小红遇到了这样一个问题：如图①，在等腰直角△ABC中，AB=AC=6, ∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,点P在线段AD上运动，连结BP,以BP为腰作等腰直角 △BPQ,使得∠BPQ=90°，BP=PQ,点C、Q在直线AB的同侧，连结DQ.试探究线段DQ 长度的最小值. 【问题分析】小红发现，连结CQ后，图中存在相似三角形，利用“相似三角形的对应角相 等”进而发现这个动点Q在以C为端点，与BC成定角度的定射线上运动，再依据“垂线段 最短”解决问题， 【问题解决】如图②，连结CQ. 证明过程缺失 ∴.△ABP∽△CBQ. 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)请你帮助小红补全上述证明过程： (2)∠BCO的大小为■ 度，线段DQ长度的最小值为 【拓展提升】如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=8,点P在边AC上运 动.连结BP,以BP为腰作等腰直角△BPQ,使∠BPQ=90°，BP=PQ,点C、Q在直线 AB的同侧，连结CQ,则BQ+CQ的最小值为」 B 图① 图② 图③ 24.(12分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3,AC=5,BH⊥AC于点H,点P为射线BH 上一动点，作点B关于点P的对称点D,作点C关于点P的对称点E,连结CD、DE、BE. (1)AB= _,cos∠HBC= (2)求证：四边形BCDE为平行四边形： (3)当四边形BCDE为轴对称图形时，求BP的长： (4)当点E到AC的距离是点D到AC距离的3倍时，直接写出BP的长. A D B 数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.c 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B7.D 8.A 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 9.310.1 13.2√514.①6 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15.解：(1) 25 +V32-V18 5+45-3 (4分) (2)x2+2x-5=0 (x+1)2=6 x+1=±V6 =V6-12=-V6-1 (8分) 16.解： 开始 小冰 A 小雪 A BC A B C A B (4分) 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种， 因此，P(小冰和小雪被分配到同一项目组)=3=1 (6分) 93 17.证明：，'∠ABD=∠C,∠A=∠A, (2分) ∴.△ABD∽△ACB. (4分) .AB_AD (5分) AC AB .AB2=AD·AC (6分) 18.解：设研发投入的平均年增长率为x. 根据题意，得： 32(1+x)=50, (3分) 解得：4=日-25%，4=号 (不符合题意，舍). (6分) 答：这两年研发投入的年平均增长率为25%. (7分) 19.解：(1)将(0，-3)和(2,5)代入得 c=-3, 4+2b+c=5. 解得{b=3, c=-3 .y=x-+2.r-3, (3分) 即y=(x+1)2-4, ∴.顶点（-1，-4). (5分) (2)-4≤y≤0 (7分) 20.解：在R1△ACD巾， :tan∠ADc=4AC CD ∴.AC=CD.tan70°≈15×2.75=41.25（米). (3分) 在RI△BCD中， :tan∠BDC= BC CD 六BC=CD-tan30°=15xy5 =55=8.65(米) (6分) ∴.AB=AC-BC≈41.25-8.65=32.6（米）. (7分) 答：河宽AB约为32.6米. 21.解： M B B B 图① 图② 图③ 注：图①2分，图②2分，图③3分，共7分 22.解：(1)由题意得，抛物线的顶点(4,3)， 设函数表达式为y=a(x-4)+3(a≠0)， (1分) 将@代入，得昌=a0-4+3, 解得a=-1 12 =x-4+ (4分) (2)小明在此项考试中能得到满分.理由如下： 令y=0,则0=x-4+3, 解得x=10,x2=-2（舍). (7分) .10>9.6 ∴.小明在此项考试中能得到满分， (8分) 23.解：【问题解决】 (1)如图②，连结C0. ,△ABC和△BPQ均为等腰直角三角形， ∴BC=V2AB,BQ=V2BP, BC_B2=2, AB BP .∠ABC=∠PBQ=45 ∴.∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC, 即∠ABP=LCBQ· (4分) .△ABP∽△CBO. (2)45: 3: (8分) 【拓展提升】4V10. (10分) 24.解：(1)4,4 (3分) (2)证明：由对称性可知，BP=DP,CP=EP ∴.四边形BCDE为平行四边形 (6分) (3)如图①，若四边形BCDE为矩形，则∠BCD=90°， 在Rt△BCD中， .cos∠CBD= BC 4 BD 5 BD=5BC=15 15 4 4 :.BP=1 BD=15 图① 2 8 如图②，若四边形BCDE为菱形，则CP⊥BD, 此时点P与点H重合， 在R1△BCP中， 'cos∠CBP=BP-4 K(P) BC 5 .BP=4BC= 5 5 图② 综上：BP的长为15或2 （10分) 5 (12分)