精品解析：吉林省实验中学（繁荣学校）2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

吉林省实验中学（繁荣学校）九年级上学期 数学学科练习B（2） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：由题意得： a-2 ≠0，则a≠2． 故选择：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键． 2. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，直接可得结果； 【详解】∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式， ∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 4. 将二次函数化为的形式，结果为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化，再根据完全平方公式分解因式即可. 【详解】∵ ∴ 故选D. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：，注意当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方. 5. 如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形BCED是矩形，得到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE= DE +AD =2+15sinα． 【详解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE， ∴∠AEC=∠BCE=90°， ∵BD∥CE， ∴BD⊥AE，BD⊥BC， ∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°， ∴四边形BCED是矩形， ∴DE=BC=2， ∵AD=ABsin∠ABD=15sinα， ∴AE= DE +AD =2+15sinα． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判断和性质，正弦的定义和计算． 6. 若，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置进行判断即可． 【详解】∵，则抛物线开口向上， 又∵二次函数， ∴抛物线与y轴交于（-1，0）点，且对称轴 ∴D符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象开口向上或向下，分a＞0或a＜0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或顶点坐标的位置等，是常考题． 7. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【详解】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为( ) A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于BF是△AHC的中位线， ；利用可得，设FE=x，求得CE=l， FE=BF，可得∠BEF=∠FBE，在Rt△BGD中，可求tan∠AEB＝tan∠GBD＝． 【详解】设BG与AC交于点F，如图， ∵AB＝BH＝2，BFCH， ∴BF是△AHC的中位线． ∴BF＝CH＝1.5，AF＝FC＝AC＝2.5． ∵BFCH， ∴ ． ∴． 设FE＝x，则CE＝2.5﹣x． ∴． 解得：x＝1.5． ∴BF＝FE＝1.5． ∴∠BEF＝∠FBE． ∴tan∠AEB＝tan∠GBD． 在Rt△BGD中，tan∠GBD＝＝． ∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形的中位线，三角形的相似的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定及性子是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答． 【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 10. 某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【答案】 【解析】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在，则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 11. 点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为y1_____y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴x=-1,再根据函数开口方向且3即可比较y1与y2的大小. 【详解】∵抛物线的对称轴为x=-1，函数开口向下， 又∵3， ∴y1y2. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键. 12. 一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵盒子中装有20颗蓝色幸运星，35颗红色幸运星，15颗黄色幸运星， ∴盒中幸运星的总数量为颗， ∵随机摸出1颗幸运星时，所有等可能的结果共70种， 其中摸到红色幸运星的结果有35种， ∴摸到红色幸运星的概率为． 13. 已知点和点是抛物线图像上的两点，则=____. 【答案】b＝4 【解析】 【详解】解：把A(-3,m)和点B(1,m)代入y=2x2+bx+3得：， 解得：b=4 故答案为：4. 14. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线．下列结论：①，②；③；④（为实数）．其中结论正确的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定、、的符号，判断①；根据时函数值的正负判断②；结合对称轴公式及②的结论判断③；根据函数最小值性质判断④ 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与轴交点在负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，图象在轴上方， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，函数取得最小值， ∴对于任意实数，都有， ∴，即，故④正确． 综上所述，正确的结论是②③④ 三、解答题（本大题共8个小题，共58分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出特殊角的三角函数值、绝对值、乘方并化简二次根式，再按运算顺序解答即可． 【详解】解： ． 16. 截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行、元旦假期，小明和小亮乘坐高铁外出游玩，由于特等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在特等座同一排座位A，C，F的排列示意图．求小明和小亮被分配到相邻的座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小明和小亮被分配到相邻的座位的结果数有2种， ∴小明和小亮被分配到相邻的座位的概率是． 17. 某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表和扇形统计图．请根据图表信息解答下列问题． 组别 睡眠时间分组 频数 A B C D E （1）本次被抽取的七年级学生共有______名，统计表中，______， （2）请估计该校名七年级学生中睡眠不足小时的人数． 【答案】（1）； （2）估计该校名七年级学生中睡眠不足小时的人数为． 【解析】 【分析】（1）根据组人数和所占比例即可求出总人数；根据频数分布表中的数据即可计算出的值； （2）根据每天睡眠时长低于小时的人数占样本的比例来计算出该校名七年级学生中睡眠不足小时的人数． 【小问1详解】 解：本次调查的同学共有：（名）； ． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校名七年级学生中睡眠不足小时的有人． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论取何值，恒成立； （2）若函数图象与轴交点坐标为，直接写出该函数顶点坐标． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴， ∴无论取何值，恒成立； （2） 顶点坐标为或 【解析】 【分析】（1）将二次函数解析式配方为顶点式，结合平方的非负性证明结论； （2）将轴交点坐标代入解析式求出的值，根据顶点式得到顶点坐标； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵函数图象与轴交于点， ∴将，代入，得， 解得或， ∵函数顶点式为，顶点坐标为， ∴当时，顶点坐标为， 当时，顶点坐标为， 综上所述，该函数顶点坐标为或． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找格点，按下列要求作图： （1）在图①中，连结、，使． （2）在图②中，连结、、，使． （3）在图③中，在内部找格点，连结、，使． 【答案】（1）如图，点为所求作； （2）如图，点为所求作； （3）如图，点为所求作； 【解析】 【分析】（1），即可求解； （2），，，则有，所以是等腰直角三角形，对于格点，，因为，所以，所以的中点是，故； （3）取格点，，所以，，所以，，所以． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 20. 如图，抛物线的顶点为，交轴于点，两点，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可得对称轴为直线，由抛物线的性质得，即可求解； （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交轴于点，交轴的垂线于点，，即可求解． 【小问1详解】 解：顶点为， 对称轴为直线， 交轴于点， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：可设，则有 ， 解得， ， 当时， ， ， 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交轴于点，交轴的垂线于点，则有 ，，，， ， ． 21. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点． （1）写出抛物线顶点的坐标________； （2）点是点关于轴的对称点，判断点是否在直线上，并说明理由； （3）若点是抛物线上的点，且在直线的上方，过点作轴交线段于点，直接写出线段的最大值． 【答案】（1）； （2）解：点在直线上，理由如下： 令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， ∵点是点关于轴的对称点，点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，即点在直线上； （3）． 【解析】 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，即可得到抛物线顶点的坐标； （2）先求出，再求出直线的解析式，根据轴对称的性质得到点的坐标，代入直线的解析式判断即可； （3）设，则，求出线段的函数解析式，进而化为顶点式作答即可． 【小问1详解】 解：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设，则， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 22. 在中，、、、为中点，为边上一点，连结、以、为邻边构造平行四边形． （1）若时，求的长； （2）若平行四边形为轴对称图形，求的长； （3）当最小时，______，此时，______． （4）当点到直线的距离是点到直线距离的倍，直接写出的长． 【答案】（1）3 （2）或 （3），2 （4）或 【解析】 【分析】（1）解即可； （2）当平行四边形为轴对称图形时，则平行四边形为矩形或菱形，即可根据矩形和菱形的性质分类讨论，再结合矩形的内角为直角以及菱形的邻边相等求解即可； （3）连接交于点，先根据三角形中位线定理确定点的轨迹，然后根据垂线段最短可得取得最小值的位置，再根据平行四边形和解直角三角形进行求解即可； （4）连接，过点分别作的垂线，垂足为点，然后分两种情况要来，根据面积法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，如图： 在中， ∴设， 则 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵平行四边形为轴对称图形 ∴平行四边形为矩形或菱形， ①当平行四边形为矩形时，则， ∵，为中点， ∴ 过点作于点，则由 （1）可得 ∴， ∴ ∴； 当平行四边形为菱形时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴同上可得 综上：当平行四边形为轴对称图形，的长为或； 【小问3详解】 解：连接交于点， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴，即 ∴当时，最短，如图，过点作于点，则 由上知， ∴， ∵平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问4详解】 解：当点在同侧时，如图： 连接，过点分别作的垂线，垂足为点 同上可得，， ∴ ∴ ∵ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，且点是中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； 当点在异侧时，如图： 连接，过点分别作的垂线，垂足为点 同上可得，， ∴ ∴ ∵ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，且点是中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； 综上：当点到直线的距离是点到直线距离的倍，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学（繁荣学校）九年级上学期 数学学科练习B（2） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3） 3. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数化为的形式，结果为( ) A. B. C. D. 5. 如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为( ) A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 10. 某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 11. 点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为y1_____y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 12. 一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 13. 已知点和点是抛物线图像上的两点，则=____. 14. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线．下列结论：①，②；③；④（为实数）．其中结论正确的序号是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共58分） 15. 计算：． 16. 截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行、元旦假期，小明和小亮乘坐高铁外出游玩，由于特等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在特等座同一排座位A，C，F的排列示意图．求小明和小亮被分配到相邻的座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 17. 某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表和扇形统计图．请根据图表信息解答下列问题． 组别 睡眠时间分组 频数 A B C D E （1）本次被抽取的七年级学生共有______名，统计表中，______， （2）请估计该校名七年级学生中睡眠不足小时的人数． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论取何值，恒成立； （2）若函数图象与轴交点坐标为，直接写出该函数顶点坐标． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找格点，按下列要求作图： （1）在图①中，连结、，使． （2）在图②中，连结、、，使． （3）在图③中，在内部找格点，连结、，使． 20. 如图，抛物线的顶点为，交轴于点，两点，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）求出的面积． 21. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点． （1）写出抛物线顶点的坐标________； （2）点是点关于轴的对称点，判断点是否在直线上，并说明理由； （3）若点是抛物线上的点，且在直线的上方，过点作轴交线段于点，直接写出线段的最大值． 22. 在中，、、、为中点，为边上一点，连结、以、为邻边构造平行四边形． （1）若时，求的长； （2）若平行四边形为轴对称图形，求的长； （3）当最小时，______，此时，______． （4）当点到直线的距离是点到直线距离的倍，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $