精品解析：吉林省长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级数学学科 期中质量调研题 卷面满分：120分 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若是的直径，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知，则代数式的值为_______． 10. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_______． 11. 若函数是二次函数，则的值为_______． 12. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连结、，若，则的大小是______度． 13. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度．如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为_____米．（结果保留根号） 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点、，对称轴是直线．对于二次函数，给出下面5个结论：①；②、、；③；④点一定在该二次函数的图象上；⑤． 上述结论中，正确结论的序号是__________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 16. 已知二次函数． （1）二次函数的开口方向为__________（填“上”或“下”）； （2）二次函数的对称轴为直线__________，顶点坐标为__________； （3）试通过计算判断点是否在该二次函数的图象上？ 17. 已知二次函数（、是常数）的图像经过点、两点．求、的值． 18. 我校全方位推进“书香校园”建设，让书香浸润师生心灵，点亮成长之路．我校一楼图书公共阅览区域已正式开放，经统计，截止到今年(2025年)10月，我校共有图书5000册，预计到2027年10月，图书数量将增加到7200册．已知每年图书数量增加的百分率相同，求我校每年图书数量增加的百分率． 19. 如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 21. 倡导“低碳环保”、让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图①所示．图②是该自行车的车架示意图，已知立管，上管，且它们互相垂直．座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，． （1）填空：下管的长为__________cm； （2）已知座管伸长到，求座垫到后下叉的距离．（结果精确到，参考数据，，） 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，在中，点是边上的一点，连接．点、点分别是边、的中点．若，则的长为__________． 【拓展提高】如图③，在中，，是的中线，过点作于点，且．若，则的大小是__________度． 23. 如图，在中，，，．点是边的中点，动点从点出发，沿折线向点运动．在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度．当点不与点重合时，连结，以、为邻边作．设点运动的时间为秒 （1）线段的长为__________； （2）用含有的代数式表示线段的长； （3）当是菱形时，求的值； （4）当点落在的高上时，直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．已知抛物线（、是常数）经过点、，抛物线与轴交于点．点是抛物线上任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． （1）求、的值； （2）连结、，当的面积是面积的2倍时，求的值； （3）当图象的最高点与最低点的纵坐标的差为时，直接写出点的坐标； （4）已知，以点为对称中心构造矩形，轴．当抛物线在矩形内部的图象从左至右逐渐下降时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学学科 期中质量调研题 卷面满分：120分 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、该方程有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、该方程是一元二次方程，故符合题意； C、该方程中若，则不是一元二次方程，故不符合题意； D、该方程中是分式，不是一元二次方程，故不符合题意， 故选：B． 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 3. 已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选B． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标为，直接作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故选C． 5. 如图，若是的直径，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡比是，即可求解． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形中坡比的应用，掌握直角三角形中坡比的定义及计算方法是解题的关键． 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据题意得，平移后的解析式为：， 即：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用的已知边角求、，再在中求，最后通过解直角三角形，将的长度及其与x轴的夹角转化为点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴​． ∵，​ ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∵， ​∴​​． 过点作轴于点，设． 在中，，且， ∵以为原点，所在直线为轴， ∴与x轴正方向夹角为． 又， ∴， 则点坐标满足： ， ． ∴点坐标为． 点在反比例函数​()的图象上， 所以​​． 故的值​​， 故选：C． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是灵活运用角的三角函数值，依次求出相关线段长度，并确定射线与轴的夹角，从而求出点的坐标． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 10. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 11. 若函数是二次函数，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，解题关键是掌握二次函数的定义并能运用来求解． 根据二次函数的定义，函数中x的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零． 【详解】解：函数是二次函数， 因此x的指数， 解得：； 同时二次项系数， 当时，，满足条件． 故答案为：0． 12. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连结、，若，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等边对等角，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四边形求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据得出，故可根据三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求出． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度．如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形的性质与判定求线段长，仰角俯角问题(解直角三角形的应用)等知识点，解题关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设过点A的水平线与交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线与交于点E，如图， 由题意知：，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：米， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点、，对称轴是直线．对于二次函数，给出下面5个结论：①；②、、；③；④点一定在该二次函数的图象上；⑤． 上述结论中，正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点个数，可判断①；根据开口方向确定a的符号，根据对称轴结合a的符号，可确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号，由此可判断②；根据时图象的位置，可以判断③；利用对称轴可以判断④；根据对称轴为，可以判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即， 故①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为， ∴， 即， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 综上，，，， 故②错误； 当时，二次函数的图象在轴的上方， ∴， 故③正确； 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， 二次函数，对称轴是直线 ∴关于对称轴的对应点为， 即在二次函数的图象上， 故④正确； ∵二次函数的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上，正确的序号为①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号，抛物线与x轴的交点问题，根据二次函数的对称性求函数值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）根据配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 16. 已知二次函数． （1）二次函数的开口方向为__________（填“上”或“下”）； （2）二次函数的对称轴为直线__________，顶点坐标为__________； （3）试通过计算判断点是否在该二次函数的图象上？ 【答案】（1）下 （2）； （3）不在 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据a的符号判断开口方向； （2）利用顶点公式进行计算即可； （3）将横坐标代入解析式，判断纵坐标与结果是否相等即可． 【小问1详解】 解：的二次项系数，故图象开口向下； 【小问2详解】 由顶点公式可知，顶点横坐标为：，纵坐标为：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 当时，， ∴点不在该二次函数的图象上． 17. 已知二次函数（、是常数）的图像经过点、两点．求、的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：把点、代入中得， ∴． 18. 我校全方位推进“书香校园”建设，让书香浸润师生心灵，点亮成长之路．我校一楼图书公共阅览区域已正式开放，经统计，截止到今年(2025年)10月，我校共有图书5000册，预计到2027年10月，图书数量将增加到7200册．已知每年图书数量增加的百分率相同，求我校每年图书数量增加的百分率． 【答案】我校每年图书数量增加的百分率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设我校每年图书数量增加的百分率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设我校每年图书数量增加的百分率为，由题意，得 ， 解得或（舍去）； 答：我校每年图书数量增加的百分率为． 19. 如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，用勾股定理解三角形，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先连接，，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 倡导“低碳环保”、让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图①所示．图②是该自行车的车架示意图，已知立管，上管，且它们互相垂直．座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，． （1）填空：下管的长为__________cm； （2）已知座管伸长到，求座垫到后下叉的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】（1）45 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，其他问题（解直角三角形的应用），解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为F，根据已知可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ， ∴（）， ∴下管的长为， 故答案为：45； 【小问2详解】 过点E作，垂足为F， ∵， ， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴座垫到后下叉的距离为． 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，在中，点是边上的一点，连接．点、点分别是边、的中点．若，则的长为__________． 【拓展提高】如图③，在中，，是的中线，过点作于点，且．若，则的大小是__________度． 【答案】[定理证明] 证明：延长至点，使，连接、， 则， ∵是斜边上的中线， ∴， 又，与相交于点， ∴四边形是平行四边形， 又是直角三角形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； [定理应用]； [拓展提高] 【解析】 【分析】[定理证明]先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，从而可得出，于是有，即结论成立； [定理应用]先根据三线合一得出，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解； [拓展提高]先利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，，再根据等边对等角得出，接着利用直角三角形两个锐角互余求得，从而可得，再说明，然后利用三角形外角的性质得出，再根据中位线定理得出，从而可利用平行线的性质得出，进而得出，于是可求得． 【详解】[定理证明]略 [定理应用]连接， ∵，点是的中点， ∴， 又点是边的中点，， ∴， 故答案为：； [拓展提高]取的中点G，连接，， ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， 又是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，斜边的中线等于斜边的一半，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23. 如图，在中，，，．点是边的中点，动点从点出发，沿折线向点运动．在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度．当点不与点重合时，连结，以、为邻边作．设点运动的时间为秒 （1）线段的长为__________； （2）用含有的代数式表示线段的长； （3）当是菱形时，求的值； （4）当点落在的高上时，直接写出的值． 【答案】（1）8 （2） （3）​或​ （4），​或 【解析】 【分析】​（1）直接应用勾股定理求解直角三角形的边长． （2）分点P在上、点P在上两种情况，分别画出图形，用t分别表示出、，再根据菱形的性质得到关于t的方程求解； （3）分P分别落在三边上的高线上时，利用三角函数列出关于t的方程求解即可； （4）明确三角形高的三种情况，利用点坐标代入直线方程求解，注意验证点是否在线段上． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∵在中，， ∴． ∴， 故答案为：8． 【小问2详解】 解：由题意，∵，点P在上的速度为每秒4单位， ∴走完需秒； ∵在上的速度为每秒3单位，， ∴走完需秒． 当时，点P在上，， 则． 当时，点P在上，运动时间从C点起为秒， 则． 综上，．​ 【小问3详解】 解：当P在上时，如图， 作于点E， 则， ∴， ∵，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴； 当P在上时，如图， ∵P在上的速度为每秒3个单位长度，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当是菱形时，t的值为或； 【小问4详解】 解：当Q落在上时，， ∵， ∴是矩形， ∴， 又是的中点，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 当Q落在时，如图，为斜边上的高，， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当Q落在边上时，如图， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 综上所述，t的值为1或或3． 【点睛】本题考查了列代数式，中点坐标，求一次函数解析式，与三角形的高有关的计算问题，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是利用坐标法将几何问题代数化，并注意分类讨论思想的应用．在动点问题中，根据点的运动路径分段处理是常见策略． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．已知抛物线（、是常数）经过点、，抛物线与轴交于点．点是抛物线上任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． （1）求、的值； （2）连结、，当的面积是面积的2倍时，求的值； （3）当图象的最高点与最低点的纵坐标的差为时，直接写出点的坐标； （4）已知，以点为对称中心构造矩形，轴．当抛物线在矩形内部的图象从左至右逐渐下降时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，得到关于a，b的方程组求解； （2）先根据（1）写出抛物线的解析式，再求出C点的坐标，从而可求出，再设，用m表示出，然后根据的面积是面积的2倍，列出关于m的方程求解； （3）先求得抛物线顶点坐标，确定抛物线开口向上，设，再分、、、四种情况，分别求出P点的坐标即可； （4）设P，先根据D点的坐标得出点D在直线上，再分点P在直线下方、点P在直线上、点P在直线上方三种情况讨论，分别求出m的范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 和 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵和 ， ∴的底边， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴点到轴的距离为， ∴， 当的面积是面积的2倍时， ∴， 当时， ， 解得：， 当时， ， 方程可变形为， 由于， 所以此方程无解， 所以的值为或； 【小问3详解】 解：抛物线， 顶点坐标为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， 设， 当时，如图， 在图象上，最高点为P点，点C为最低点， 当图象G的最高点与最低点的纵坐标的差为时， ∵， ∴， 解得：或，， ∵，， ∴不符合，，符合， 当时，点P的纵坐标为， 此时点P的坐标为； 当时，如图， 在图象上，最高点为C点，点P为最低点， 当图象G的最高点与最低点的纵坐标的差为时， ∴， 解得：或， ∵不在范围内，在范围内， ∴不符合，符合， 当时，点P的纵坐标为， 此时点P的坐标为； 当P在对称轴的右侧时，即此时，最低点为顶点， 若最高点为C，此时，如图， 则，不符合； 若最高点为P，，如图， 则， 解得：或， ∵，， ∴，都不符合； 若C、P两点关于对称轴对称时，，最高点的纵坐标为，如图， 则，不符合； 当时，此时点P在顶点处， 最高点为C，最低点为顶点， ∴，不符合， 综上所述，满足条件的点 P有两个：或； 【小问4详解】 解：设， 因为， 所以点D在直线上， 当点P在直线下方时，矩形与抛物线只有一个公共点P， 不存在：抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降， 故不符合； 当点P在直线上时，， 解得：或， ∵， ∴，不符合， ，符合， 但此时不存在矩形，故不符合； 当点P在直线上方时，即或时， 因为， 所以不符合， 所以， 如图，可画出矩形， 因为是矩形的对称中心， 所以点D为的中点， 所以M的横坐标为， M的纵坐标为， 所以， 因为四边形是矩形， 所以， 所以点N的横坐标与点P的横坐标相同，即为m， 点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，即为， 所以， 因为抛物线， 所以顶点坐标为， 所以抛物线的对称轴为直线， 所以在y轴上，它在直线左侧， 在直线左侧的抛物线是从左到右逐渐下降的， 所以抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降， 综上所述，当抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降时，m的范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)，的最值，特殊四边形(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $