精品解析：陕西省宝鸡中学2026-2027学年高二上学期阶段考试（一）数学试卷

宝鸡中学2025级高二第一学期阶段考试（一）试题 数学 本试卷共四大题，21小题；考试时长120分钟，卷面满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 3. 已知三组数据①；②；③，其中方差最大的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 7. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A=“两个球颜色相同”，事件B=“两个球颜色不同”，事件C=“第二次摸到红球”，事件D=“两个球都是红球”，下列说法错误的是（ ） A. B. B，C不相互独立 C. D. 8. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18 D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 10. 设M，N为两个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若M，N为互斥事件，且，，则 B. 若，，，则M，N为相互独立事件 C. 若，，，则M，N为相互独立事件 D. 若，，，则M，N为相互独立事件 11. 已知正三棱柱的所有棱长为2，，分别为棱，上的点，则（ ） A. 当为中点时，任意点到平面的距离均为1 B. 当为中点时，存在点到直线的距离为2 C. 对任意给定的点，存在点，使得 D. 对任意给定的点，存在点，使得 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知随机事件满足，则____________． 13. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为正方形的中心.若，分别是，的中点，直线的方程为________ 15. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 17. 在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 18. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC． 19. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 20. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡中学2025级高二第一学期阶段考试（一）试题 数学 本试卷共四大题，21小题；考试时长120分钟，卷面满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 【答案】B 【解析】 【分析】由必然事件的定义可判断A错；由随机事件可能性可知B正确C错误；由古典概型概率公式可得其概率是，D错. 【详解】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错； 对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确； 对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错； 对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能， 其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能， 所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错； 故选：B 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 3. 已知三组数据①；②；③，其中方差最大的一组数据的方差为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于数据①，， 则方差为； 对于数据②，， 则方差为； 对于数据③，， 则方差为． 4. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本道题目分别结合平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，即可得出答案． 【详解】A选项,结合一条直线与一平面垂直,则过该直线的平面垂直于这个平面,故正确;B选项,平面垂直,则位于两平面的直线不一定垂直,故B错误;C选项,可能平行于与相交线,故错误;D选项,m与n可能异面，故错误． 【点睛】本道题目考查了平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，发挥空间想象能力，找出选项的漏洞，即可． 5. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得. 注意到， 则. 故选：A 6. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 7. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A=“两个球颜色相同”，事件B=“两个球颜色不同”，事件C=“第二次摸到红球”，事件D=“两个球都是红球”，下列说法错误的是（ ） A. B. B，C不相互独立 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对立事件的定义可知事件为对立事件，从而可判断A;根据独立事件的定义可判断B；写出事件的可能结果，可判断C；求出事件的概率，从而可判断D. 【详解】由题意知，摸出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A正确； ，，，因为，所以B，C相互独立，即B不正确; 事件包括:第一次摸到白球，第二次摸到红球和第一次摸到红球，第二次摸到红球，所以，即C正确;， 因为，所以，即D正确. 8. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用球的定义和球的性质进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为，所以点的轨迹是以为球心的球. ， 所以点的坐标为， ， 由球的性质可知：的最小值为的最小值减， ， 当时，有最小值，所以的最小值为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18 D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据简单随机抽样的概率求法判断；B由平均数求参数，应用方差公式求方差；C根据百分数定义求分位数；D应用平均数的性质求新数据的均值. 【详解】A：一个总体含50个个体，以简单随机抽样方式从总体中抽取一个容量为10的样本， 则某个个体被抽到的概率为，正确； B：数据1，2，m，6，7的平均数是，则， 这组数据的方差，错误； C：由，第50百分位数为，正确； D：依题意，则，正确； 故选：ACD 10. 设M，N为两个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若M，N为互斥事件，且，，则 B. 若，，，则M，N为相互独立事件 C. 若，，，则M，N为相互独立事件 D. 若，，，则M，N为相互独立事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用互斥事件概率加法公式判断A，再根据独立事件充要条件检验B、C、D，由对立事件求出，后验证等式成立，得到ABC正确． 【详解】选项A、已知M，N为互斥事件， 则，选项A正确； 选项B、已知，，则， 因为， 所以， 则M，N为相互独立事件，选项B正确； 选项C、由可得， 因为， 所以， 因为， 所以， 则M，N为相互独立事件，选项C正确； 选项D、由可得， 由可得， 则， 因为， 所以， 则M，N不是相互独立事件，选项D错误． 11. 已知正三棱柱的所有棱长为2，，分别为棱，上的点，则（ ） A. 当为中点时，任意点到平面的距离均为1 B. 当为中点时，存在点到直线的距离为2 C. 对任意给定的点，存在点，使得 D. 对任意给定的点，存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，先证平面，接着证平面，故点到平面的距离为定值1；对于B，利用点到线的距离公式求解判断即可；对于CD，设，，再由垂直的坐标表示得，再根据的范围即可判断． 【详解】对于A，在正三棱柱中，当为中点时， ，平面，又平面， ，又平面， 平面，即平面，且， 所以点到平面的距离为， 又平面，平面， 平面， 所以，任意点到平面的距离均为1，故A正确； 对于B，在正三棱柱中，设中点为，中点为， ，又平面，平面， ，又平面， 平面，则以为原点建立空间直角坐标系， ， 当为中点时，，， 设，， 故点到直线的距离， 解得，又，所以无解， 即不存在点到直线的距离为2，故B错误； 对于C，设，若， 则， 即，，， 则对任意给定的点，存在点，使得，故C正确； 对于D，，，， 则对任意给定的点，可能不存在点，使得，故D错误． 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知随机事件满足，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 故, 则， 故答案为： 13. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得在上的投影向量的坐标. 【详解】已知空间向量和， 则在上的投影向量为 . 故答案为：. 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为正方形的中心.若，分别是，的中点，直线的方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形对角线互相垂直平分的性质求出直线的斜率，再结合三角形中位线定理确定直线的斜率及其经过的点，进而求得直线方程． 【详解】因为四边形是正方形，且为其中心， 所以，且为线段的中点，同时三点共线． 由，可得直线的斜率， 因为， 所以直线的斜率． 因为，分别是，的中点， 所以在中，为中位线， 所以，且平分线段． 设的中点为，则点在直线上． 由，，得， 因为， 所以直线的斜率， 由点斜式方程可得直线的方程为：， 整理得，化为一般式为， 所以直线的方程为． 15. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． 【小问2详解】 过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为即． 综上得：直线方程为或. 17. 在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 【答案】（1）众数为27.5，第95百分位数为 （2）①4人，2人；②11 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知 众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； 【小问2详解】 ①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 18. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC． 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB． （2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC． 证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB． 又EF⊄平面PAB， AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB． （2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点， ∴PE⊥AC． ∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC=AC， ∴PE⊥平面ABC． ∴PE⊥BC． 又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC， 又EF∩PE=E， ∴BC⊥平面PEF． ∴平面PEF⊥平面PBC． 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 19. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【小问1详解】 设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． 【小问2详解】 设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 20. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【小问1详解】 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增， 所以， 所以，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $