专题03 空间向量及其应用9大题型52题（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题03 空间向量及其应用 基础·固本强基 题型一、用空间基底表示向量（重点） 题型二、空间直角坐标系 题型三、数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算（重点） 提升·进阶突破 题型四、空间向量共面问题（重点） 题型五、空间向量基本定理求数量积、模长、夹角（重点） 题型六、投影向量的计算 题型七、空间中平行垂直的证明（重点） 拔高·压轴破难 题型八、空间向量运算中的最值范围问题（难点） 题型九、平行、垂直问题中的动点探索（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、用空间基底表示向量 【模型】选定一组不共面向量为基底，把目标向量拆成基底线性组合。 【步骤】①找基底；②利用向量加减、数乘分解；③整理为。 【易错】基底必须不共面；分解时方向相反要变号。 1．如图，在四面体中，，，，点在棱上，点在棱上，且，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____.    题型二、空间直角坐标系 【模型】建立两两垂直坐标轴，写出空间点、向量坐标。 【步骤】①找三线垂直原点；②确定各点位置；③终点减起点得向量坐标。 【易错】坐标轴不垂直不能建系；向量坐标是终点减起点，顺序不能反。 6．如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________．    7．在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为__________．    8．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 9．已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    题型三、数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算 【模型】代入坐标公式直接运算。 【步骤】①写出两向量坐标；②套公式算数量积、模、夹角；③按坐标判定平行垂直。 【易错】夹角范围；平行要检验分量成比，避免分母为0。 10．已知空间向量，．若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知四棱柱的底面ABCD是正方形，以为坐标原点，直线AB，AD分别为x，y轴，过点且与平面ABCD垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，则四棱柱的体积为（   ） A． B．12 C．8 D．4 12．已知向量，，则______． 13．设，，，，且，，____ ． 14．已知向量 ，． (1)求向量 ，并求 ； (2)若 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 15．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 提升·进阶突破 题型四、空间向量共面问题 【模型】四点共面等价于向量线性相关，且。 【步骤】①转化向量关系式；②构造系数；③验证系数和条件。 【易错】仅适用于共起点O的形式。 16．已知正方体 的棱长为 1， 为 的中点，点 在平面 内.以 为原点，以 为空间的一个单位正交基底建立空间直角坐标系 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 17．已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（     ）.     A． B． C． D． 18．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（   ） A． B．6 C． D．1 19．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 20．已知三棱锥的体积为10，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______. 21．如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设M为的中点，点N在直线上，且，若A，M，N，C四点共面，求实数的值.并说明此时N点的位置. 题型五、空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 【模型】基底展开数量积，依靠基底自身模长、夹角计算。 【步骤】①选定基底；②展开数量积；③代入基底的数量积求值。 【易错】不要默认基底互相垂直，不一定为0。 22．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 23．在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，， 分别为 ， 的中点，且 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为____________． 24．如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是________． 25．两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____. 26．如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面交于点，求线段的长度． 27．如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 题型六、投影向量的计算 【模型】一个向量在另一向量方向上的投影数量与投影向量公式。 【步骤】①求数量积与模长；②算投影数量；③乘单位向量得投影向量。 【易错】投影数量可正可负；投影向量是向量，带方向。 28．如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 30．如图，平行六面体的所有棱长均为，、、两两的夹角均为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 31．如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 32．已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 33．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________. 题型七、空间中平行垂直的证明 【模型】向量平行、垂直的充要条件转化几何线面关系。 【步骤】①求相关向量；②验证平行或垂直；③回归几何结论。 【易错】向量平行≠线平行，要排除线重合；向量垂直不能直接等价线面垂直。 34．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______． 35．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值为________． 36．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 37．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 38．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 39．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 40．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 拔高·压轴破难 题型八、空间向量运算中的最值范围问题 【模型】参数化向量，转化为函数求值域。 【步骤】①设参数；②写出数量积或模长表达式；③求函数最值。 【易错】参数有几何范围限制，不能只看函数本身定义域。 41．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 43．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．在平行六面体中，，且，若，，则棱的最大值为______. 45．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为_____________ 46．在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 题型九、平行、垂直问题中的动点探索 【模型】设动点参数，列方程求解，检验参数是否符合几何范围。 【步骤】①设动点参数；②列平行或垂直方程；③解并检验。 【易错】求出参数后忽略动点在线段/棱上的取值限制。 47．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E，F，G分别是PA，PC，PD上的点，且． (1)证明：； (2)已知B，E，G，F四点共面，求的长． (3)与相交于点O，是否存在点G，使得平面，若存在，求出长度． 48．在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，，，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等，记，，，且，. (1)当时，用向量表示，； (2)是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 49．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 50．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 51．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 52．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. $专题03 空间向量及其应用 基础·固本强基 题型一、用空间基底表示向量（重点） 题型二、空间直角坐标系 题型三、数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算（重点） 提升·进阶突破 题型四、空间向量共面问题（重点） 题型五、空间向量基本定理求数量积、模长、夹角（重点） 题型六、投影向量的计算 题型七、空间中平行垂直的证明（重点） 拔高·压轴破难 题型八、空间向量运算中的最值范围问题（难点） 题型九、平行、垂直问题中的动点探索（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、用空间基底表示向量 【模型】选定一组不共面向量为基底，把目标向量拆成基底线性组合。 【步骤】①找基底；②利用向量加减、数乘分解；③整理为。 【易错】基底必须不共面；分解时方向相反要变号。 1．如图，在四面体中，，，，点在棱上，点在棱上，且，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】由题意得，， 所以， 故，则. 2．在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，在平行六面体 中，，，。 根据向量加法的三角形法则，可得： ， 因为 ， 又因为 是平行四边形 对角线 与 的交点， 所以 为 的中点， 则 . 在 中，， 所以 . 综上所述， . 4．如图，在平行六面体中，，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则可得，进一步运算即可求解. 【详解】因为在上，且， 所以， 因为在上，且， 所以， 在平行六面体中，， 所以，， 所以 所以. 5．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____.    【答案】 【分析】利用向量的线性运算及中点公式，将逐步用基底向量表示，对比系数即可求得的值. 【详解】由可知，为线段的中点， 根据向量的中点公式可得， 又由可知，为线段上靠近点的三等分点， 所以， 将代入的表达式中，得， 因为，根据空间向量基本定理，对应向量的系数相等， 所以． 题型二、空间直角坐标系 【模型】建立两两垂直坐标轴，写出空间点、向量坐标。 【步骤】①找三线垂直原点；②确定各点位置；③终点减起点得向量坐标。 【易错】坐标轴不垂直不能建系；向量坐标是终点减起点，顺序不能反。 6．如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________．    【答案】 【分析】利用空间向量的正交分解和坐标表示求解. 【详解】设为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知， , 所以， 所以， 所以，． 故答案为: ;. 7．在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为__________．    【答案】 【分析】根据题意利用中位线的性质，得到即可求解. 【详解】如图可知，，则， 又分别是的中点，则是的中位线， 故，且， 于是. 故答案为： 8．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法运算和减法运算即可求解. 【详解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． 9．已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    题型三、数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算 【模型】代入坐标公式直接运算。 【步骤】①写出两向量坐标；②套公式算数量积、模、夹角；③按坐标判定平行垂直。 【易错】夹角范围；平行要检验分量成比，避免分母为0。 10．已知空间向量，．若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算建立方程求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则， ， ， ， 所以，显然，即. 整理得：，解得和（舍去）， 综上，. 11．已知四棱柱的底面ABCD是正方形，以为坐标原点，直线AB，AD分别为x，y轴，过点且与平面ABCD垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，则四棱柱的体积为（   ） A． B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据的坐标得到四棱柱的高，然后根据列方程求得底面的边长，最后利用棱柱体积公式计算即得. 【详解】    由得，所以该四棱柱的高为3， 设，则， 由，得，解得， 所以底面是边长为2的正方形，所以该四棱柱的体积为． 故选：B. 12．已知向量，，则______． 【答案】 【详解】由,,得. 所以. 13．设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 14．已知向量 ，． (1)求向量 ，并求 ； (2)若 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解. （2）利用空间向量共线的坐标表示求解. （3）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）向量 ，则，. （2）依题意， ， 由，得，解得， 此时，符合题意， 所以的值为. （3）依题意，，， 由，得， 解得， 所以的值为. 15．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 提升·进阶突破 题型四、空间向量共面问题 【模型】四点共面等价于向量线性相关，且。 【步骤】①转化向量关系式；②构造系数；③验证系数和条件。 【易错】仅适用于共起点O的形式。 16．已知正方体 的棱长为 1， 为 的中点，点 在平面 内.以 为原点，以 为空间的一个单位正交基底建立空间直角坐标系 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共面向量定理，将用平面内两个不共线向量线性表示，列方程组求解横坐标即可得到点的坐标. 【详解】根据坐标系的建立规则，可得各点坐标：，为中点，故，， 故，，， 因为在平面内，故四点共面，由共面向量定理，存在实数，使得， 代入向量坐标得： ， 根据向量相等的坐标对应关系列方程组：，解得， 因此点的坐标为. 17．已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（     ）.     A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、、三个向量不能构成空间的一个基底， 、、三个向量共面，即存在实数，使得. ，，， ，即，解得. 实数. 18．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（   ） A． B．6 C． D．1 【答案】A 【详解】因为P，A，B，C四点共面， 所以有，解得. 19．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 【答案】A 【详解】，，均不是零向量，若不能构成空间的一个基底，则存在一组不全为0的数，使得，即 解得 20．已知三棱锥的体积为10，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______. 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量的运算可得，再由空间向量基本定理可得，进而结合锥体体积比例求解即可. 【详解】因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 如图： 又三棱锥的体积为10，则. 21．如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设M为的中点，点N在直线上，且，若A，M，N，C四点共面，求实数的值.并说明此时N点的位置. 【答案】(1). (2),是线段的中点. 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）先根据中点条件、向量数乘表示出相关向量，再由四点共面的向量共面定理，得到共面向量之间的线性关系式，依托空间基底向量不共面，建立系数方程组求解参数，进而确定点的位置. 【详解】（1）. （2）因为是中点， 所以， 而， ， 因为四点共面，所以存在实数，使得， 则， 由于不共面，则，解得，，， 则，即，说明是线段的中点. 题型五、空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 【模型】基底展开数量积，依靠基底自身模长、夹角计算。 【步骤】①选定基底；②展开数量积；③代入基底的数量积求值。 【易错】不要默认基底互相垂直，不一定为0。 22．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为基底向量，则， 所以 所以． 23．在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，， 分别为 ， 的中点，且 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为____________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可知 ，选取 为基底，利用向量线性运算及数量积公式求解即可. 【详解】由题意可知， 在 方向上的投影向量为 ， 因为投影向量为 ，所以 ， 设 ，，， 因为四面体 为棱长为 的正四面体， 所以 ，且 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 所以 ， 又 ， 所以 . 24．如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是________． 【答案】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 故答案为：. 25．两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____. 【答案】/0.5 【分析】由两边同时平方计算可得答案． 【详解】如图，两条异面直线，所成的角为， ，，，，， 或，， ， 则 ， 得或（舍去） 故答案为： 26．如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面交于点，求线段的长度． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面上，根据共面向量定理， 利用且的条件， 建立方程组求解，从而求出的长度. 【详解】（1）由题可知，，，，因为为中点， 所以， 即. 因为，且， 所以， ， ，即. 即线段的长度为. （2）设， 因为点在平面上，所以，即， 故. 即线段的长度为. 27．如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 题型六、投影向量的计算 【模型】一个向量在另一向量方向上的投影数量与投影向量公式。 【步骤】①求数量积与模长；②算投影数量；③乘单位向量得投影向量。 【易错】投影数量可正可负；投影向量是向量，带方向。 28．如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 29．已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 30．如图，平行六面体的所有棱长均为，、、两两的夹角均为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行六面体向量关系写出，先通过数量积算出，再依据投影向量公式求出在方向上的投影向量. 【详解】因为平行六面体的棱长均为，、、两两的夹角均为， 所以， 所以， 则． 故在方向上的投影向量为． 31．如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 【答案】①② 【分析】由，把分解为沿棱柱三条两两垂直方向的向量之和，分别判断投影向量及夹角． 【详解】由，知． 又，，所以由，整理得 因为三棱柱是直三棱柱，平面，又，所以、、两两垂直． 由投影向量公式，分别判断： ①因为，所以沿的投影向量为，①正确． ②因为，，所以沿的投影向量为，②正确． ③因为，所以两向量的夹角为锐角，③错误． 32．已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 【答案】 【分析】先求出平面的法向量，再求出在方向上的投影向量，最后再求向量在平面内的投影向量. 【详解】由，，，可得： ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，又，所以. 在方向上的投影向量为： ， 又向量在平面内的投影向量为： . 33．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________. 【答案】 【分析】先求出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】由题意有：向量在面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以与的夹角为. 故答案为：. 题型七、空间中平行垂直的证明 【模型】向量平行、垂直的充要条件转化几何线面关系。 【步骤】①求相关向量；②验证平行或垂直；③回归几何结论。 【易错】向量平行≠线平行，要排除线重合；向量垂直不能直接等价线面垂直。 34．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______． 【答案】 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 则，所以，解得：. 35．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直、线面平行的向量证明得到平面的法向量与垂直，进而列方程求解即可. 【详解】连接，设，连接. 因为四棱锥底面为正方形，所有侧棱长相等，故为正四棱锥，因此平面. 以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 设底面边长为，则，侧棱长，则， 故，，，， 所以，，. 因为平面，故是平面的一个法向量. 设，，则. 由平面，得，所以，即， 整理得，解得，即，故， 则，所以. 36．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 37．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明如下： 正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． (2)证明如下： 由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）略 （2）略 38．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． (2)取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 39．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】 证明：由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】略 40．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】略 拔高·压轴破难 题型八、空间向量运算中的最值范围问题 【模型】参数化向量，转化为函数求值域。 【步骤】①设参数；②写出数量积或模长表达式；③求函数最值。 【易错】参数有几何范围限制，不能只看函数本身定义域。 41．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积运算及几何意义求解. 【详解】设，由题意，得.将拆分为， 代入所求数量积，得. 由于向量两两互相垂直，所以任意两个不同向量的数量积为0， 故. 又， 其中，且， 故，则， 当且仅当与同向时取等号，故最大值为. 42．已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上， 且， 所以， 即的最小值为. 故选：D 43．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 44．在平行六面体中，，且，若，，则棱的最大值为______. 【答案】4 【分析】设，结合空间向量基本定理，利用数量积的运算律及模的运算列方程得，将代入，得，利用判别式法得，解不等式即可. 【详解】设，则有， 由， 所以， 所以 ， 将代入，整理得， 所以，即，解得， 则棱的最大值为4. 故答案为：4. 45．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】利用空间向量结合极化恒等式求解即可. 【详解】根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.    设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径， 设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合. 所以， 所以 ， 由P在长方体表面上运动，所以，故 所以，即. 故答案为： 46．在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理直接求解即可； （2）结合长度关系，利用线面垂直得出，即得为到直线的距离，进而求解即可； （3）设，表示出，即可求出所求的最小值. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以 ， 而， ， ， 所以， 即的长度为. （2）因为， 所以， 所以， 在中，， 所以， 即， 又因为， 所以平面， 而平面， 所以， 即为到直线的距离， 而， 所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设， 则 ， 当时，这时的最小，且为.    题型九、平行、垂直问题中的动点探索 【模型】设动点参数，列方程求解，检验参数是否符合几何范围。 【步骤】①设动点参数；②列平行或垂直方程；③解并检验。 【易错】求出参数后忽略动点在线段/棱上的取值限制。 47．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E，F，G分别是PA，PC，PD上的点，且． (1)证明：； (2)已知B，E，G，F四点共面，求的长． (3)与相交于点O，是否存在点G，使得平面，若存在，求出长度． 【答案】(1)证明：如图 连接与，因为底面是正方形，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) (3)存在， 【分析】（1）连接与，根据题意，分别证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，结合，列出方程，求得h的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，以D为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又因为，所以E，F分别是PA和PC上的三分点， 可得，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，可得，，所以， 因为平面，所以，即，解得， 所以的长为． （3）建立与（2）相同的空间直角坐标系，可得平面的法向量，设， 因为平面，所以． ． ． 因为，所以存在这样的点． 此时． 48．在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，，，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等，记，，，且，. (1)当时，用向量表示，； (2)是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解； （2）设存在使得平面，由题意得，因为，得到， 得到，结合和，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由空间向量的运算法则，可得：， ，     则. （2）解：假设存在使得平面，又由平面， 可得，， 因为，则，其中， 可得 ， 又因为，且，，，， 所以，，，， 所以，， 可得. 且， 化简得，解得，故存在，使得平面. 49．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）略 （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 50．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. (2) 在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 51．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. (2)存在，，理由如下： 由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 52．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； (2)； (3)存在，使得，. 【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论； （2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论； （3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论. 【详解】（1）略 （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）存在.设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以存在点，使得，此时. $