上海市松江区第四中学2025-2026学年高二第一学期期中质量调研测试数学试题

2025学年第一学期期中质量调研测试 高二数学 (完卷时间：120分钟 卷面分值：150分命题人：左学兵) 考生注意 1,答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号在答题纸上填写正确。 2.请考生须在答题纸上作答，答案写在试卷上一律不给分。 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.若点A与直线1确定一个平面，则点A与直线的位置关系是点A__直线l(用“∈”、“：”、 “C”填空) 2.三棱柱ABC-AB,C的9条棱中，与AB异面的棱有条. 3.直线1是平面α的一条斜线，1与平面α内的直线所成角的取值范围是 4.如图，己知AB⊥平面BCD,BC垂直CD,则图中共有 个直角三角形. A B 第4题图 第7题图 5.已知角a的两边和角B的两边分别平行且x=60°，则B= 6.已知圆锥的底面半径为2，侧面积为8元，则此圆锥的体积为 7.将△ABC画在水平放置的平面上得到△4B'C,如果△A'B'C是斜边等于√2的等腰直角三 角形，则△ABC的面积等于 8.正三棱锥的底面边长为2cm,高为lcm,则此正三棱锥的侧面积为，cm2. 9.在长方体ABCD-ABCD中，BD=2CD=2AA1,则直线BC,与直线B,D,所成角的余弦值 为 10.定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离.若某锐二面角内一点到二面角的 两个半平面的距离分别为1和√2，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为一一： 11.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》 中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面 ABCD,PA=5,AB=4,AD=3,则该阳马的外接球的表面积为 D 第11题图 第12题图 12.某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体 ABCD-A,B,C,D,的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗” 爬行的路线是AA→A,D,→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB,→…，它们都遵循如 下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(i是整数).设黑“电子狗”爬 完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个项点处之间的距离为一· 二.选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的(） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 14.已知1是直线，，B是两个不同平面，下列命题中的真命题是() A.若lI1a,llB,则a∥B 8若⊥B,l∥a,则1⊥B C.若1⊥，川B,则a⊥3 D.若la,a川B,则1lB 15.在正方体ABCD-AB,CD中，表面的对角线与AD成60°角的有( )条 A.4 B.6 C.8 D.12 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD1中，点M,N满足AM=2AC, CN=4C,B,其中元，4∈(0,1)，在下列说法中正确的是() D ①存在，4∈(0,1)，使得BM∥D,N ②存在元，u∈(0,1)，使得MN⊥平面BA,C 图当元==时，MN取最小值 @当4=时，存在元e(0,l),使得∠D,MN=90 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 三.解答题（本大题共有5题，17-19每题14分，20-21每题18分，满分78分） 17.如图，已知正四棱柱ABCD-AB,CD，底面正方形ABCD的边长为2，AA=3. (1)求证：平面AACC,⊥平面ABD; (2)求点A到平面ABD的距离. 18,·如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1, ADF2,PA⊥平面ABCD,四棱锥P-ABCD体积为1. (1)求证：CD⊥平面PAC: (2)求二面角P-CD-A的大小. 19.某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6℃m,圆柱筒长 4cm. （1)这种“浮球”的体积是多少cm3?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂 胶约多少克？（结果精确到个位） 6cm 3 20.如图，三棱柱ABC-AB,C中，侧棱A41底面ABC,且各棱长均相等，D、E、F分别为棱AB、 e、AC的中点 (1)证明：EF∥平面ACD: (2)证明：平面A,CD⊥平面AABB,; (3)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值. 21.如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥ 底面ABCD,M是QD的中点. (1)求证：AM⊥平面QCD: (2)求侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值： (3)在棱QC上是否存在点N使平面BDN1平面MC成立？如果存在，求出 NC, 如果不存在， 说明理由