【期中专项】专项02 整式化简求值、数轴动点与规律探究（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专项02　整式化简求值、数轴动点与规律探究 目 录 考点01 整式的化简求值 考点02 整体代入与无关型问题 考点03 规律探究 考点04 数轴上的动点问题 考点05 数轴动点与绝对值综合压轴 考点01 整式的化简求值 难度层级：提升　|　知识点：整式的加减中的化简求值 / 去括号 / 合并同类项 1．先化简，再求值：，其中． 规范解答： （________） 去小括号 （________） 合并同类项 ________ 去括号 ________． 合并同类项 当时，原式________________． 【答案】① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【分析】根据去括号、合并同类项的法则和有理数的运算法则解答即可． 【详解】 去小括号 合并同类项 去括号 ． 合并同类项 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握去括号和合并同类项的法则是解题的关键． 2．合并同类项： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）； 【分析】本题考查整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【小问详解】 【小问详解】 【小问详解】 ∵ ∴， ∴， ∴ 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据题意对式子进行化简，再根据平方以及绝对值的非负性求出，，代数求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， 即，， 当，时，原式. 4．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】；3 【分析】本题考查了整式化简求值，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式去括号，合并同类项得到最简结果，利用非负数的性质求出x和y的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， ， 解得， 原式． 5．数学老师在上课时出了这样一道题： 先化简，再求值：，其中，． 同学们思考时，小丽认为本题中，是多余的条件；小强马上反对，认为这不可能，多项式中含有和，不给出，的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 【答案】同意小丽的观点．理由如下： 原式， ， ， ， ∴结果与和的值无关， ∴本题中，是多余的条件， 综上所述，同意小丽的观点． 【分析】本题需要先对多项式进行化简，然后观察化简后的结果是否含有x和y，以此来判断，是否为多余条件，进而确定同意哪位同学的观点． 【详解】略 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则，通过化简判断结果是否与字母取值有关是解题的关键． 6．有这样一道题目：“先化简，再求值：其中”，粗心的龙龙在计算时把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的．请通过计算说明理由，并求出这个代数式的值． 【答案】解：理由如下；， ， 所以代数值的值与x的取值无关， 所以龙龙在计算时把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，根据化简结果可知，化简的结果中不含x，则代数式的值与x的取值无关，最后代值计算即可． 【详解】当时，原式． 考点02 整体代入与无关型问题 难度层级：提升→拓展　|　知识点：已知式子的值求代数式的值 / 整式加减中的无关型问题 1．已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 2．已知多项式的值与x无关，________． 【答案】 【分析】本题主要考查无关问题，合并同类项，熟练掌握无关问题是解题的关键．与x无关即系数为零得到答案． 【详解】解：原式， 由于与x无关， 故， ． 故答案为：． 3．（1）已知的值与x的取值无关，求 的值． （2）已知关于x的四次三项式中不含及项，试写出这个多项式，并求当时，这个多项式的值． 【答案】（1）；（2），20 【分析】（1）先合并同类项，再根据代数式的值与x无关即含x的项的系数为0求出的值，然后代值计算即可； （2）根据代数式的值不含及项，即含及项的系数为0求出的值，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （2）∵关于x的四次三项式中不含及项， ∴， ∴， ∴这个多项式为， ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，熟知不含某项即含某项的系数为零是解题的关键． 4．（1）已知，．若的值与的取值无关，求的值； （2）已知关于，的多项式化简后的结果不含有项，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简，再将，代入进行整式的加减计算，最后令的系数为，即可求解． （2）先根据整式的加减进行计算，根据化简结果不含有项，得出，再代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得， （2）解： ， ∵化简后的结果不含有项， ∴， 解得， ∴． 5．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． （1）已知，则__________； （2）若，求的值； （3）设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键； （1）将所求代数式变形后整体代入即可； （2）将代数式变形后整体代入即可； （3）将化简后，因结果与无关，得出的值，整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 将代入，原式 ； （3）解： ， ∵结果与的取值无关， ， ， ． 6．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： （1）把看成一个整体，求合并的结果； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）21； （3）． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【小问详解】解：． 【小问详解】解：∵， ∴． 【小问详解】解：∵， ∴ ． 考点03 规律探究 难度层级：提升→拓展　|　知识点：数字类规律探索 / 图形类规律探索 / 用代数式表示数、图形的规律 1．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则值________． 【答案】88 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题关键是根据相邻第几个数就是从小到大几个连续正整数的和求解． 【详解】解：因为：，，，，， ， 故答案为：88． 2．在数学中数与形之间也可以互相转化． （1）观察下列图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：___________： （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①___________． ②计算：． 【答案】（1） （2）①2500；②9600 【分析】本题主要考查图形类规律，解题的关键是得到图形的一般规律． （1）根据图形总结一般规律，然后问题即可求解； （2）根据（1）中的结论求解①②即可． 【小问详解】解：∵， ， ， ， ….. ∴； 故答案为：； 【小问详解】解：①当时，则， ∴； 故答案为：2500； ②当时，则；当时，则； ∴ ． 3．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… （1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式； （2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； （3）请利用上述规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查数字的变化规律． （1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【小问详解】解：第四个等式：； 【小问详解】解：第n个等式：； 【小问详解】解： ． 4．探究与发现 观察下列等式的规律，解答下列问题； ，，，，，… （1）第6个等式为________，第100个等式________； （2）第n个等式为________（用含n的代数式表示，n为正整数）； （3）设，，，…，．求：的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】本题考出有理数的混合运算，数字类规律探究． （1）根据已有等式，进行作答即可； （2）根据已有等式，作答即可； （3）根据规律，裂项相加进行计算即可． 解题的关键是得到． 【小问详解】解：由题意，得：，； 故答案为：，； 【小问详解】由题意，得：； 故答案为：； 【小问详解】由（2）可知 ∴ …… ∴． 5．观察下列各式： …… （1）按照上述规律，第4个等式是：________________________________ （2）第个等式是：________________________ （3）运用你发现的规律计算： （4）________ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案； （2）根据题目规律可发现，； （3）按（2）的公式运算即可得出答案； （4）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【小问详解】； 【小问详解】； 【小问详解】； 【小问详解】原式． 【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键． 6．观察下列图形，发现图形中“·”的排列规律： 第1个图形：______ 第2个图形： 第3个图形： 第4个图形： …… 根据你所发现的规律，解答下列问题． （1）在题中横线上补画出第1个图形； （2）把第1个图形中“·”的个数记为，第2个图形中“·”的个数记为，第3个图形中“·”的个数记为，…，第个图形中“·”的个数记为（其中为正整数）． ①直接写出：第5个图形中“·”的个数______； ②计算：______，______，______； ③由②中的计算结果猜想______；（用含有的式子表示） ④模仿②中的方法，猜想，的结果（用含有的式子表示），并写出猜想过程． 【答案】（1） （2）①21； ②3，4，5； ③； ④，过程： ， ． ， …… 归纳可得：． 【分析】（1）根据第二个，第三个，第四个图形的结构可得第一个图形； （2）①由前面图形的结构特征可得：从而可得答案；②直接计算即可得到答案；③由②中的计算描述能体现规律的等式，再总结归纳即可；④先描述出，，，，再总结归纳即可. 【详解】解：（1）根据题意：第一个图形为： （2）① ② ③ 归纳出： ④略 【点睛】本题考查的是图形与数字的规律探究，掌握从具体到一般的推导方法是解题的关键. 考点04 数轴上的动点问题 难度层级：提升　|　知识点：数轴上点的平移（动点问题）/ 数轴上两点之间的距离 1．点，点，点在数轴上的位置如图，现在这三点同时开始在数轴上运动，若点，点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒1个单位长度的速度向右运动，点，点之间的距离可表示为，点与点间的距离可表示为，则运动秒时，的值为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式加减的运算等知识，先分别表示出运动秒时各点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离得出，，然后再代入计算即可． 【详解】解：运动秒时，点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 点C表示的数为：， 则， ， ∴ 故答案为： 2．已知点A在数轴上表示，点B表示5．若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．当A、B两点间的距离为3时，则________ 【答案】或 【分析】先表示出运动秒后点和点在数轴上对应的数，再根据两点距离为列出绝对值方程求解． 【详解】解：运动秒后，点在数轴上对应的数为，点对应的数为． ∵ A、B两点间的距离为， ∴ ， 化简得， 当时，解得； 当时，解得． 因此的值为或． 3．北师大版教材中第二章习题2.2第22题中，同学们解决了数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b的A，B两点距离问题，A，B间的距离为或．已知数轴上三点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为2．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒． （1）【基础应用】①A和B的两点之间的距离是________． ②若点C表示的数为3，点P运动3秒后所表示的数为________； （2）【代数推理】若点C表示的数为m，点P运动后所表示的数为n．①当C点在B点右侧时，点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点），请通过计算说明的值不变； ②若在点P运动过程中，有2.5秒时间点P到点A和点B的距离之和保持不变，试探究m的值． （3）【综合拓展】在（2）②的条件下，点P移动过程中有一段时间代数式的值都不变（k为常数），直接写出k的值与代数式值不变的时长． 【答案】（1）①6；② （2）①6；② （3），2秒 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，解决本题的关键是熟练掌握两点间距离与绝对值的几何意义． （1）①根据数轴上两点间距离公式求解即可； ②求解出点P的运动路程即可求解； （2）①根据点P运动到A，B两点之间，可得n的取值范围，由此去绝对值计算即可； ②分类讨论点C可能存在的位置可能存在：C点在A的左侧，C点在A，B之间，C点在B点右侧．由此计算即可． （3）分析当时，与时，求解即可． 【小问详解】解：①∵点A表示的数为，点B表示的数为2． ∴A，B之间的距离为． 故答案为：6． ②∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动3秒的路程为， ∵点C表示的数为3， ∴3秒后P点表示的数为． 故答案为：． 【小问详解】解：①∵点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点）， ∴，且， ∴，且， ∴，， ∴； ②点C可能存在的位置可能存在：C点在A的左侧，C点在A，B之间，C点在B点右侧． 当C点在A的左侧，不存在点P到点A和点B的距离之和保持不变． 当C点在A，B之间时： 点P在A，B之间时，P向左运动，存在点P到点A和点B的距离之和保持不变． ∵值不变时长为2.5秒， ∴在A，B之间运动距离为个单位， ∴， ∴； 当C点在B点右侧时，点P经过A，B之间，时长为，所以不成立． 综上所述，当时满足条件． 【小问详解】解：通过数轴距离分析，当时，值不变，值为12． 因为点P从1向左运动， 所以时，要使值不变， 只有，且1到的距离为4，速度为每秒2个单位， 因此时长为秒． 4．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． （1）当时，求点Q到原点O的距离； （2）用含t的式子表示的距离； （3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到Q的距离． 【答案】（1）点Q到原点O的距离为6 （2） （3）点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）根据点P的运动速度和方向列出代数式即可； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【小问详解】解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点Q到原点O的距离为6． 【小问详解】 【小问详解】①点Q向左运动还没到达原点时 秒， ②点Q向右运动时且还没经过点A时 ， ③点Q向右运动时且经过点A后 综上所述，点P到点Q的距离为6或10或22． 5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题 （1）请直接写出a，b，c的值：________；________；________； （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1），1，5 （2）当时，原式；②当时，原式 （3）不变， 【分析】（1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【小问详解】解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； 【小问详解】解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； 【小问详解】解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． 6．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究哈尔滨地铁的运行． 素材1 哈尔滨轨道1号线是哈尔滨第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间为30秒．图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以哈尔滨东站为原点，建立了如图2所示的数轴，其中数字1代表桦树街站，数字2代表交通学院站，以此类推，数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表_______站 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟后到数字3和数字4之间（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数_______（用含t的代数式表示） 探究3 如图3，乘客A从桦树街站上车，乘坐往哈尔滨南站方向的地铁，同时乘客B从博物馆站上车，乘坐往哈尔滨东站方向的地铁，若两辆地铁恰好同时从桦树站和博物馆站出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长 【答案】探究1：烟厂；探究2：；探究3：出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴的应用，列代数式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 探究1：根据题意得出图2中数字5代表烟厂站； 探究2：根据每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒，表示出点P在数轴上表示的数即可； 探究3：分两种情况：当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时，当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时，分别列式求解即可． 【详解】解：探究1：图2中数字5代表烟厂站． 故答案为：烟厂． 探究2：点P在数轴上表示的数为． 故答案为：． 探究3：设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a， ①当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时，， 则（分钟）； ②当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时，， 则（分钟）． 综上所述，出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度． 考点05 数轴动点与绝对值综合压轴 难度层级：拓展　|　知识点：数轴动点 / 翻折 / 规律探究 / 位置判断正负 / 绝对值化简 1．已知表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理表示数轴上有理数对应的点到和对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得的最小值为．利用该方法，可得的最小值为（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简问题，整式的加减计算，难度较大，解题的关键利用分类讨论的思想求解． 分五种情况讨论，分别去绝对值，再进行整式加减计算，然后计算最值并比较即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 当时， ， 当时， ， 所以当时，有最小值是16， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴的最小值为16， 故选：B． 2．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（ ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A. 1个 C. 3 B. 2个 D. 4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 3．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． （1）a=______；c=______； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； （3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 【答案】（1），9 （2） （3）1，12 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【小问详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：-3；9； 【小问详解】解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为-1， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数-1-10=-11表示的点重合， 故答案为：-11； 【小问详解】解：由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 4．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是_________；表示和两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________． （2），求x； （3）若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_________； （4）若数轴上表示数a的点位于与5之间，________； （5）求的最小值． 【答案】（1）5，1，； （2）或． （3）12； （4）8； （5）最小值为9 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：，即可解答； （3）根据绝对值分别求出，的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【小问详解】数轴上表示3和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． 故答案为：5，1，； 【小问详解】， 或， 或． 【小问详解】，， 或，或， 当，时，则、两点间的最大距离是12， 则、两点间的最大距离是12， 故答案为：12； 【小问详解】若数轴上表示数的点位于与5之间， ． 故答案为：8； 【小问详解】当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值接近为 当时，原式，这时的最小值为 综上可得当时，式子的最小值为9 【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 5．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、B表示的数为x、，则A、B之间的距离可用含x的式子表示为________； （2）①当代数式取最小值时，x的取值范围是________．②求的最小值为________． （3）有理数，，，且．在以下数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中，并化简：． 【答案】（1） （2）①；②110 （3） 【分析】（1）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为，代入即可解答； （2）①求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值； ②原式表示x的点到表示1、2、3．．．21的点的距离之和，根据两点的距离可得结论； （3）根据数轴上原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，又因为，，，所以即可确定这三个数的位置；根据数轴上点的位置，看绝对值里面的式子结果是正数还是负数，然后脱掉绝对值符号，合并同类项即可． 【小问详解】解：A、B之间的距离可用含x的式子表示为； 故答案为：； 【小问详解】解：①的最小值为2，此时x的取值是； 故答案为：； ②表示x的点到表示1、2、3．．．21的点的距离之和， ∴当时，最小值是： ． 故答案为：110； 【小问详解】解：根据数轴上原点左边的数小于0，原点右边的数大于0， 又因为，，，，且， 所以数轴为： ； 所以， 所以 ． 【点睛】本题考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题． 6．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1， ①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_________； ③若点P在点B右侧，化简_________； ④由图可知，的最小值是_________． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ②根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ③根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ④结合数轴进行求解即可； （2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵P在线段AB上， ∴， ∴， 故答案为：； ③∵点P在点B右侧， ∴， ∴， 故答案为：； ④由图可知当P在 A点左侧时， 由图可知当P在 AB之间时， 由图可知当P在 B点右侧时， ∴的最小值为3， 故答案为：3； （2）当P点在2的右侧即时， ∴， 当P点在-3的左侧即时， ∴ 当P点在-3和1之间时即时， ∴， ∴此时， 当P点在1和2之间时即时， ∴， ∴此时， ∴综上所述，的最小值为5， 故答案为：5； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s， 由题意得：路程之和 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴此时； 当时， ； 当时， ； ∴此时； ∴s的最小值为1400，此时， ∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02　整式化简求值、数轴动点与规律探究 目 录 考点01 整式的化简求值 考点02 整体代入与无关型问题 考点03 规律探究 考点04 数轴上的动点问题 考点05 数轴动点与绝对值综合压轴 考点01 整式的化简求值 难度层级：提升　|　知识点：整式的加减中的化简求值 / 去括号 / 合并同类项 1．先化简，再求值：，其中． 规范解答： （________） 去小括号 （________） 合并同类项 ________ 去括号 ________． 合并同类项 当时，原式________________． 2．合并同类项： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中x，y满足． 5．数学老师在上课时出了这样一道题： 先化简，再求值：，其中，． 同学们思考时，小丽认为本题中，是多余的条件；小强马上反对，认为这不可能，多项式中含有和，不给出，的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 6．有这样一道题目：“先化简，再求值：其中”，粗心的龙龙在计算时把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的．请通过计算说明理由，并求出这个代数式的值． 考点02 整体代入与无关型问题 难度层级：提升→拓展　|　知识点：已知式子的值求代数式的值 / 整式加减中的无关型问题 1．已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（ ） A. C. B. D. 2．已知多项式的值与x无关，________． 3．（1）已知的值与x的取值无关，求 的值． （2）已知关于x的四次三项式中不含及项，试写出这个多项式，并求当时，这个多项式的值． 4．（1）已知，．若的值与的取值无关，求的值； （2）已知关于，的多项式化简后的结果不含有项，求的值． 5．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． （1）已知，则__________； （2）若，求的值； （3）设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 6．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： （1）把看成一个整体，求合并的结果； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 考点03 规律探究 难度层级：提升→拓展　|　知识点：数字类规律探索 / 图形类规律探索 / 用代数式表示数、图形的规律 1．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则值________． 2．在数学中数与形之间也可以互相转化． （1）观察下列图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：___________： （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①___________． ②计算：． 3．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… （1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式； （2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； （3）请利用上述规律计算：． 4．探究与发现 观察下列等式的规律，解答下列问题； ，，，，，… （1）第6个等式为________，第100个等式________； （2）第n个等式为________（用含n的代数式表示，n为正整数）； （3）设，，，…，．求：的值． 5．观察下列各式： …… （1）按照上述规律，第4个等式是：________________________________ （2）第个等式是：________________________ （3）运用你发现的规律计算： （4）________ 6．观察下列图形，发现图形中“·”的排列规律： 第1个图形：______ 第2个图形： 第3个图形： 第4个图形： …… 根据你所发现的规律，解答下列问题． （1）在题中横线上补画出第1个图形； （2）把第1个图形中“·”的个数记为，第2个图形中“·”的个数记为，第3个图形中“·”的个数记为，…，第个图形中“·”的个数记为（其中为正整数）． ①直接写出：第5个图形中“·”的个数______； ②计算：______，______，______； ③由②中的计算结果猜想______；（用含有的式子表示） ④模仿②中的方法，猜想，的结果（用含有的式子表示），并写出猜想过程． 考点04 数轴上的动点问题 难度层级：提升　|　知识点：数轴上点的平移（动点问题）/ 数轴上两点之间的距离 1．点，点，点在数轴上的位置如图，现在这三点同时开始在数轴上运动，若点，点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒1个单位长度的速度向右运动，点，点之间的距离可表示为，点与点间的距离可表示为，则运动秒时，的值为________． 2．已知点A在数轴上表示，点B表示5．若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．当A、B两点间的距离为3时，则________ 3．北师大版教材中第二章习题2.2第22题中，同学们解决了数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b的A，B两点距离问题，A，B间的距离为或．已知数轴上三点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为2．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒． （1）【基础应用】①A和B的两点之间的距离是________． ②若点C表示的数为3，点P运动3秒后所表示的数为________； （2）【代数推理】若点C表示的数为m，点P运动后所表示的数为n．①当C点在B点右侧时，点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点），请通过计算说明的值不变； ②若在点P运动过程中，有2.5秒时间点P到点A和点B的距离之和保持不变，试探究m的值． （3）【综合拓展】在（2）②的条件下，点P移动过程中有一段时间代数式的值都不变（k为常数），直接写出k的值与代数式值不变的时长． 4．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． （1）当时，求点Q到原点O的距离； （2）用含t的式子表示的距离； （3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到Q的距离． 5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题 （1）请直接写出a，b，c的值：________；________；________； （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 6．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究哈尔滨地铁的运行． 素材1 哈尔滨轨道1号线是哈尔滨第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间为30秒．图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以哈尔滨东站为原点，建立了如图2所示的数轴，其中数字1代表桦树街站，数字2代表交通学院站，以此类推，数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表_______站 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟后到数字3和数字4之间（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数_______（用含t的代数式表示） 探究3 如图3，乘客A从桦树街站上车，乘坐往哈尔滨南站方向的地铁，同时乘客B从博物馆站上车，乘坐往哈尔滨东站方向的地铁，若两辆地铁恰好同时从桦树站和博物馆站出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长 考点05 数轴动点与绝对值综合压轴 难度层级：拓展　|　知识点：数轴动点 / 翻折 / 规律探究 / 位置判断正负 / 绝对值化简 1．已知表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理表示数轴上有理数对应的点到和对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得的最小值为．利用该方法，可得的最小值为（ ） A. C. B. D. 2．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（ ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A. 1个 C. 3 B. 2个 D. 4个 3．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． （1）a=______；c=______； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； （3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 4．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是_________；表示和两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________． （2），求x； （3）若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_________； （4）若数轴上表示数a的点位于与5之间，________； （5）求的最小值． 5．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、B表示的数为x、，则A、B之间的距离可用含x的式子表示为________； （2）①当代数式取最小值时，x的取值范围是________．②求的最小值为________． （3）有理数，，，且．在以下数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中，并化简：． 6．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1， ①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_________； ③若点P在点B右侧，化简_________； ④由图可知，的最小值是_________． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02　整式化简求值、数轴动点与规律探究 目 录 考点01 整式的化简求值 考点02 整体代入与无关型问题 考点03 规律探究 考点04 数轴上的动点问题 考点05 数轴动点与绝对值综合压轴 考点01 整式的化简求值 难度层级：提升　|　知识点：整式的加减中的化简求值 / 去括号 / 合并同类项 1．① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2．（1） （2） （3）； 3．， 4．；3 5．同意小丽的观点．理由如下： 原式， ， ， ， ∴结果与和的值无关， ∴本题中，是多余的条件， 综上所述，同意小丽的观点． 6．解：理由如下；， ， 所以代数值的值与x的取值无关， 所以龙龙在计算时把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的． 考点02 整体代入与无关型问题 难度层级：提升→拓展　|　知识点：已知式子的值求代数式的值 / 整式加减中的无关型问题 1．A 2． 3．（1）；（2），20 4．（1）；（2） 5．（1） （2） （3） 6．（1）； （2）21； （3）． 考点03 规律探究 难度层级：提升→拓展　|　知识点：数字类规律探索 / 图形类规律探索 / 用代数式表示数、图形的规律 1．88 2．（1） （2）①2500；②9600 3．（1） （2） （3） 4．（1）， （2） （3） 5．（1） （2） （3） （4） 6．（1） （2）①21； ②3，4，5； ③； ④，过程： ， ． ， …… 归纳可得：． 考点04 数轴上的动点问题 难度层级：提升　|　知识点：数轴上点的平移（动点问题）/ 数轴上两点之间的距离 1．6 2．或 3．（1）①6；② （2）①6；② （3），2秒 4．（1）点Q到原点O的距离为6 （2） （3）点P到点Q的距离为6或10或22 5．（1），1，5 （2）当时，原式；②当时，原式 （3）不变， 6．探究1：烟厂；探究2：；探究3：出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度 考点05 数轴动点与绝对值综合压轴 难度层级：拓展　|　知识点：数轴动点 / 翻折 / 规律探究 / 位置判断正负 / 绝对值化简 1．B 2．D 3．（1），9 （2） （3）1，12 4．（1）5，1，； （2）或． （3）12； （4）8； （5）最小值为9 5．（1） （2）①；②110 （3） 6．（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $