专题11认识二次函数、二次函数的图象同步培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题11认识二次函数、二次函数的图象同步培优讲义 ✺知识框架 一、二次函数的概念 1.二次函数的定义与一般形式；2.二次函数特殊形式的识别；3.由定义确定字母系数的值 二、二次函数y=ax2的图象与性质 1.描点法画抛物线的步骤；2.抛物线的开口方向、对称轴与顶点 3.函数的增减性与最值；4.系数a与|a|对图象的影响 5.抛物线对称性的应用 ✺学习目标 1.理解二次函数的定义，能够识别二次函数，并根据定义确定字母系数的值。 2.会用描点法画出y=ax2的图象，认识二次函数的图象是抛物线。 3.掌握y=ax2的图象性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及 y 的取值范围。 4.理解a决定开口方向、|a|决定开口宽窄，会利用图象的对称性比较函数值的大小，体会数形结合的思想。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=ax2 的图象和性质 题型5.y=ax2+k 的图象和性质 题型6y=a(x-h)2 的图象和性质 题型7.y=a(x-h)2+k 的图象和性质 题型8把 y=ax2+bx+c 化成顶点式 题型9.画 y=ax2+bx+c 的图象 题型10y=ax2+bx+c 的图象与性质 题型11.y=ax2+bx+c 的最值 题型12二次函数图象与各项系数符号 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 题型14.一次函数、二次函数图象综合判断 题型15.两个二次函数图象综合判断 题型16.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型17.根据二次函数的对称性求函数值 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 题型19.二次函数图象的平移 题型20.待定系数法求二次函数解析式 题型21.课堂小练 ✺知识清单 知识点01认识二次函数 1.定义：一般地，如果两个变量 x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax2+bx+c（a，b，c) 是常数，a≠0）的形式，那么称 y 是 x 的二次函数。 ax2 为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.特殊形式 当b=0，c=0 时，y=ax2；当b=0时，y=ax2+c；当c=0时，y=ax2+bx。其中y=ax2 是最基本的特殊形式。 3.判断方法 （1）化为整式；（2）自变量最高次数为 2；（3）二次项系数 a≠0。三者同时满足才是二次函数。 4.系数辨析：写各项系数须连同符号。如 y=-2x2+3x-5，二次项系数为 -2，一次项系数为3，常数项为-5。 5.自变量的取值范围：无实际背景时，自变量x 的取值范围是全体实数。 知识点02二次函数y=ax2 的图象 1.抛物线的有关概念 ：y=ax2的图象称为抛物线，是一条关于 y 轴对称的曲线；抛物线与对称轴的交点称为顶点，y=ax2的顶点坐标为(0，0)。 2.描点法画图步骤：（1）列表：取关于对称轴对称的自变量并求对应函数值；（2）描点：在坐标系中准确描点；（3）连线：用平滑曲线顺次连接，向两端无限延伸。常用 “五点法”（顶点及其左右各两组对称点）。示例如下： 知识点03二次函数y=ax2的图象性质 1.性质：（1）开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下。 （2）对称轴：y 轴（直线 x=0）。 （3）顶点坐标：原点(0，0)。 （4）增减性a＞0时，对称轴左减右增；a＜0时对称轴左增右减。 （5）最值：a＞0时有最小值 0；a＜0时有最大值 0。 （6）取值范围：a＞0时y≥0；a＜0时y≤0。 2.开口宽窄： |a|决定开口宽窄：|a|越大开口越窄，|a|越小开口越宽。|a|只影响宽窄，与开口方向无关。 3.对称性的应用 抛物线关于 y 轴对称：若两点横坐标互为相反数，则纵坐标相等。据此可将函数值转化到对称轴同侧，再用增减性比较大小。 4.y=x2与y=﹣x2的图象关系 二者图象关于x轴对称；对称轴、顶点相同，但开口方向、增减性与最值恰好相反。 知识点04二次函数图象的平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，抛物线形状、开口大小与方向不变，仅位置发生改变，二次项系数a保持不变。 1.左右平移（针对自变量x）： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2.上下平移（针对常数项）： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 提示：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 知识点05 y=ax2+bx+c（a，b，c) 是常数，a≠0）的图象与性质 ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 2．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 3．把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． 写出与的函数关系式及自变量的取值范围． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数是二次函数的是（） A． B． C． D． 2．在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 3．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 2．若函数是二次函数，则___________________． 3．已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 题型4.y=ax2 的图象和性质 1．下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是______． 3．二次函数的图象如图所示． (1)求的取值范围； (2)若抛物线上有，，三个点，则，，的大小关系为（     ） A．    B．    C．    D． 题型5.y=ax2+k 的图象和性质 1．关于的二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴的交点坐标为_______． 3．已知二次函数． (1)如图，在下面的平面直角坐标系内描点画出该函数的图象； (2)易知该函数的图象是一条抛物线，其对称轴是________，顶点坐标是________； (3)若该抛物线上的两点的横坐标满足，则________．（填“”或“”） 题型6y=a(x-h)2 的图象和性质 1．对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 2．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 3．已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 题型7.y=a(x-h)2+k 的图象和性质 1．点都在抛物线上，则的大小关系是 （     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是___________． 3．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1)试确定a，h，k的值； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型8把 y=ax2+bx+c 化成顶点式 1．如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（     ） 解： ……① ……② ∴抛物线的顶点坐标为……③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 2．将二次函数用配方法化成顶点式为_______________________． 3．已知二次函数，用配方法把该函数化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标． 题型9.画 y=ax2+bx+c 的图象 1．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是______． 3．已知二次函数．并回答以下问题： (1)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围； 题型10y=ax2+bx+c 的图象与性质 1．已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．若点，都在二次函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 3．已知二次函数（为实数）的图象的对称轴为，将该二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到一个新的二次函数图象． (1)求的值； (2)求图象平移后的新二次函数的解析式． 题型11.y=ax2+bx+c 的最值 1．抛物线不具有的性质是（     ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．函数有最小值 2．已知抛物线，当时，函数的最大值为____________． 3．已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 题型12二次函数图象与各项系数符号 1．已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 3．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解． 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 2．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 3．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 题型14.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 3．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 题型15.两个二次函数图象综合判断 1．如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________． 3．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 题型16.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D．15 2．已知抛物线经过和两点，则的值为________． 3．已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． (1)求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)请判断，的大小关系． 题型17.根据二次函数的对称性求函数值 1．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 3．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 3．图，已知点，在抛物线上． (1)求的值． (2)在轴上找一点，使得点到两点的距离之和最小，并求出此时点的坐标． 题型19.二次函数图象的平移 1．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为 （     ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 3．已知二次函数． (1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 5 0 … (2)将抛物线如何平移可得到抛物线？ 题型20.待定系数法求二次函数解析式 1．如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线； ②函数的最大值为； ③； ④的最小值为． 正确的结论为（     ） A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 2．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 3．已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（   ） x … … y … 10 4 0 0 … A．抛物线开口向下 B．函数最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 4．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 二、填空题 6．若是二次函数则__________． 7．若二次函数的图象开口向上，则m的值是________． 8．关于x的二次函数的图象经过原点，则a的值为________． 9．定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 三、解答题 11．已知，二次函数的y与x的部分对应值如下表．根据题意完成下列问题： x 0 1 m 3 y 0 1 0 注：． (1)________； (2)根据上表描点画出函数图象； (3)请直接写出该函数图象的顶点坐标是________； (4)结合图象，请直接写出，当时，y的取值范围是________． 12．已知抛物线：与抛物线：中，若满足，则称抛物线，为“比例”抛物线． (1)已知与是“比例”抛物线． ①b的值为______；   ②求出它们的交点坐标． (2)设抛物线，，的顶点分别为D，E，F． ①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”） ②若EF＝4DE，求a的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式；求直线的解析式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)连接，求直线对应的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11认识二次函数、二次函数的图象同步培优讲义 ✺知识框架 一、二次函数的概念 1.二次函数的定义与一般形式；2.二次函数特殊形式的识别；3.由定义确定字母系数的值 二、二次函数y=ax2的图象与性质 1.描点法画抛物线的步骤；2.抛物线的开口方向、对称轴与顶点 3.函数的增减性与最值；4.系数a与|a|对图象的影响 5.抛物线对称性的应用 ✺学习目标 1.理解二次函数的定义，能够识别二次函数，并根据定义确定字母系数的值。 2.会用描点法画出y=ax2的图象，认识二次函数的图象是抛物线。 3.掌握y=ax2的图象性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及 y 的取值范围。 4.理解a决定开口方向、|a|决定开口宽窄，会利用图象的对称性比较函数值的大小，体会数形结合的思想。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=ax2 的图象和性质 题型5.y=ax2+k 的图象和性质 题型6y=a(x-h)2 的图象和性质 题型7.y=a(x-h)2+k 的图象和性质 题型8把 y=ax2+bx+c 化成顶点式 题型9.画 y=ax2+bx+c 的图象 题型10y=ax2+bx+c 的图象与性质 题型11.y=ax2+bx+c 的最值 题型12二次函数图象与各项系数符号 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 题型14.一次函数、二次函数图象综合判断 题型15.两个二次函数图象综合判断 题型16.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型17.根据二次函数的对称性求函数值 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 题型19.二次函数图象的平移 题型20.待定系数法求二次函数解析式 题型21.课堂小练 ✺知识清单 知识点01认识二次函数 1.定义：一般地，如果两个变量 x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax2+bx+c（a，b，c) 是常数，a≠0）的形式，那么称 y 是 x 的二次函数。 ax2 为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.特殊形式 当b=0，c=0 时，y=ax2；当b=0时，y=ax2+c；当c=0时，y=ax2+bx。其中y=ax2 是最基本的特殊形式。 3.判断方法 （1）化为整式；（2）自变量最高次数为 2；（3）二次项系数 a≠0。三者同时满足才是二次函数。 4.系数辨析：写各项系数须连同符号。如 y=-2x2+3x-5，二次项系数为 -2，一次项系数为3，常数项为-5。 5.自变量的取值范围：无实际背景时，自变量x 的取值范围是全体实数。 知识点02二次函数y=ax2 的图象 1.抛物线的有关概念 ：y=ax2的图象称为抛物线，是一条关于 y 轴对称的曲线；抛物线与对称轴的交点称为顶点，y=ax2的顶点坐标为(0，0)。 2.描点法画图步骤：（1）列表：取关于对称轴对称的自变量并求对应函数值；（2）描点：在坐标系中准确描点；（3）连线：用平滑曲线顺次连接，向两端无限延伸。常用 “五点法”（顶点及其左右各两组对称点）。示例如下： 知识点03二次函数y=ax2的图象性质 1.性质：（1）开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下。 （2）对称轴：y 轴（直线 x=0）。 （3）顶点坐标：原点(0，0)。 （4）增减性a＞0时，对称轴左减右增；a＜0时对称轴左增右减。 （5）最值：a＞0时有最小值 0；a＜0时有最大值 0。 （6）取值范围：a＞0时y≥0；a＜0时y≤0。 2.开口宽窄： |a|决定开口宽窄：|a|越大开口越窄，|a|越小开口越宽。|a|只影响宽窄，与开口方向无关。 3.对称性的应用 抛物线关于 y 轴对称：若两点横坐标互为相反数，则纵坐标相等。据此可将函数值转化到对称轴同侧，再用增减性比较大小。 4.y=x2与y=﹣x2的图象关系 二者图象关于x轴对称；对称轴、顶点相同，但开口方向、增减性与最值恰好相反。 知识点04二次函数图象的平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，抛物线形状、开口大小与方向不变，仅位置发生改变，二次项系数a保持不变。 1.左右平移（针对自变量x）： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2.上下平移（针对常数项）： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 提示：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 知识点05 y=ax2+bx+c（a，b，c) 是常数，a≠0）的图象与性质 ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知某高新企业10月份的工业产值和12月份的产值，根据平均增长率公式建立关系式即可． 【详解】解：∵10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为， ∴11月份产值为，12月份产值为， 即． 故选A. 2．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】结合单循环赛制的计数规则，消除重复统计的场次，建立总比赛场数与参赛球队数的对应关系． 【详解】解：∵ 赛制为单循环，每两队之间仅赛1场，参赛球队总数为支， ∴ 每支球队需与其余支球队各赛1场，所有球队累计统计的比赛场数为， ∵ 上述累计统计中，每场比赛会被对阵的两支球队各计数1次，存在重复， ∴ 实际总比赛场数需将累计计数除以2，消除重复部分， ∴ 与的函数关系式为． 3．把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． 写出与的函数关系式及自变量的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得另一个正方形的边长为，根据正方形面积计算公式列出对应的函数关系式即可，再根据正方形的边长大于0列出不等式求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意另一个正方形的边长为， 故 ， ∵要围成两个正方形，且正方形的边长大于0， ∴， ∴． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数是二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意； B选项的自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； C选项是二次函数，符合题意； D选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意． 2．在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 3．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】 解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】略 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 2．若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 3．已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数要求自变量最高次数为2，并且二次项系数不能等于0，据此列出方程组求解，舍去不符合条件的解． 【详解】解：函数（为常数）是二次函数， 且． 由，得， 解得或． 由，得 ． 综上，． 题型4.y=ax2 的图象和性质 1．下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小． 【详解】解：各选项二次项系数的绝对值分别为，，，， ∵ ， ∴ 抛物线的开口最小． 2．抛物线的对称轴是______． 【答案】轴 【详解】解：抛物线的对称轴是轴． 3．二次函数的图象如图所示． (1)求的取值范围； (2)若抛物线上有，，三个点，则，，的大小关系为（     ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1) (2)A 【分析】（1）根据抛物线的开口向上得到，然后解不等式即可； （2）由抛物线的对称轴为y轴，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数的图象开口向上， ∴，解得； （2）解：由二次函数可知，图象的对称轴为y轴，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 抛物线上的三个点，，中，， ∴． 题型5.y=ax2+k 的图象和性质 1．关于的二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：当时，抛物线的开口向上，顶点在轴上方，没有符合题意的选项当时，抛物线的开口向下，顶点在轴下方，对照各选项，选B． 【详解】解：A选项：抛物线开口向上，，抛物线的顶点应在轴上方，故A选项不符合题意； B选项：抛物线开口向下，，抛物线的顶点应在轴下方，故B选项符合题意； C选项：抛物线开口向上，，抛物线的顶点应在轴上方，故C选项不符合题意； D选项：抛物线开口向下，，抛物线的顶点应在轴下方，故D选项不符合题意． 2．抛物线与轴的交点坐标为_______． 【答案】 【分析】y轴上的点的横坐标为0，将代入抛物线解析式，计算对应的函数值即可得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∴ 抛物线与y轴的交点坐标为． 3．已知二次函数． (1)如图，在下面的平面直角坐标系内描点画出该函数的图象； (2)易知该函数的图象是一条抛物线，其对称轴是________，顶点坐标是________； (3)若该抛物线上的两点的横坐标满足，则________．（填“”或“”） 【答案】(1) (2)y轴； (3)< 【分析】（1）运用描点法画出函数图象； （2）根据函数图象解答； （3）根据图象得到函数的增减性，即可求解． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 … … … 描点并连线略． （2）解：由图象可得，该函数的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点坐标是． （3）解：由图象可得，当时，y随x的增大而减小， ∵两点的横坐标满足，则． 题型6y=a(x-h)2 的图象和性质 1．对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∵，即在范围内， ∴时，随的增大而减小， 故A、B、D选项错误，C选项正确． 2．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】该二次函数开口向上，对称轴为直线，根据给定的时的递增要求，确定对称轴与直线的位置关系，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 3．已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1)描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 画图略 （2） 解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 题型7.y=a(x-h)2+k 的图象和性质 1．点都在抛物线上，则的大小关系是 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵ 开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，且， ∴ ． 2．抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】题干给出的抛物线解析式为顶点式，直接匹配对应参数即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线的顶点式为，其顶点坐标为． ∴ 对比解析式，可得，． ∴ 该抛物线的顶点坐标为． 3．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1)试确定a，h，k的值； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2) 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移规则，求出函数解析式即可得出结果； （2）五点作图法画出函数图象，进而写出开口方向，对称轴和顶点坐标即可. 【详解】（1）解：∵把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象， ∴把二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到二次函数的图象， ∴， ∴； （2）解：列表如下： 1 3 5 3 3 略 题型8把 y=ax2+bx+c 化成顶点式 1．如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（     ） 解： ……① ……② ∴抛物线的顶点坐标为……③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 题目步骤①中，减去的未乘括号外的系数3，过程从①开始出错． 2．将二次函数用配方法化成顶点式为_______________________． 【答案】 【分析】先提取二次项的负系数，再对括号内的二次式凑完全平方，注意添括号时的符号变化． 【详解】解： ． 3．已知二次函数，用配方法把该函数化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】解：， 二次函数化为顶点式为， 则函数图象的对称轴为直线 顶点坐标为． 题型9.画 y=ax2+bx+c 的图象 1．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 2．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图象即为， ∴的图象具有对称性，对称轴为直线，故①正确； 由函数图象可知，没有最大值，故②错误； 由函数图象可知，当，y随x增大而增大， ∴当时，，故③正确； 由函数图象可知，函数图象与直线有4个交点，故④正确； 故答案为：①③④． 3．已知二次函数．并回答以下问题： (1)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列表、描点、画出图象的方法，解答即可； （2）直接观察图象，即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 5 0 0 5 描点，并画出函数图象略； （3） 解：观察图象得：当时，函数值的取值范围为． 题型10y=ax2+bx+c 的图象与性质 1．已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理，得，. ， ． 2．若点，都在二次函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，结合对称轴左侧的函数增减性，比较两点的横坐标大小即可判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵点A的横坐标为，点B的横坐标为，满足，两点均在对称轴左侧， ∴横坐标更小的点A对应的函数值更大，即． 3．已知二次函数（为实数）的图象的对称轴为，将该二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到一个新的二次函数图象． (1)求的值； (2)求图象平移后的新二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式，代入已知对称轴和的值，建立方程求出的值． （2）先把原函数化为顶点式，再按照左加右减，上加下减的平移规律，求出平移后的函数解析式． 【详解】（1）解：∵二次函数（为实数）的图象的对称轴为， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴原二次函数解析式为， ∵将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴新二次函数的解析式为，即． 题型11.y=ax2+bx+c 的最值 1．抛物线不具有的性质是（     ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于型，且， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值，对称轴是轴，顶点坐标为， 故D符合题意． 2．已知抛物线，当时，函数的最大值为____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与给定的自变量取值范围，比较区间端点的函数值即可得到最大值 【详解】解：∵， ∴二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处取得函数最小值， ∵自变量取值范围为， ∴计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∴该区间内函数的最大值为． 3．已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 【答案】当时，面积取最大值为 【分析】设，则，根据题意列出面积S与x的函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】解：设，则 根据题意得：筝形面积 当时，均为整数，面积取最大值． 题型12二次函数图象与各项系数符号 1．已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数过原点得，再结合图象经过的象限判断、的符号． 【详解】解：∵ 二次函数经过原点， ∴ 将代入解析式，得， 故选项A、C不符合要求； ∵ 函数图象经过一、二、四象限， ∴ 抛物线的顶点一定在第四象限，且， ∴，， 结合， 解得，， 故选项B不符合要求， 选项D符合要求． 2．已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】根据函数的最值情况推出，，进而即可比较与0的大小． 【详解】解：抛物线的最高点的坐标为， ，且在时，函数取得最大值为， 当时，， ， ． 3．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解． 【答案】， 【分析】根据二次函数的对称轴，可求出b的值．再将求出的b的值，代入中，解方程即可． 【详解】∵二次函数的对称轴为直线， ∴, 解得． 将代入中，得：， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，解一元二次方程．根据二次函数的对称轴求出参数b是解题的关键． 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 2．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【分析】根据时的函数值判断的符号，从而判断；根据抛物线开口方向确定的符号，对称轴位置确定的符号，从而判断；根据与轴交点确定的符号，从而判断． 【详解】解：∵当时，图象在轴下方， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线对称轴在轴左侧， ∴， 由图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∴，故结论错误； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 3．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 【答案】 ①②③ 【分析】二次函数图象开口向下，，函数有最大值；与y轴交于正半轴，；二次函数图象具有对称性，对称轴为；逐个分析判断即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，取最大值， 当时，， ，故③正确； 1到的距离为2，到的距离为2，根据二次函数图象的对称性可知，时，， 当时，，故④错误． 题型14.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象经过的象限，判断、是否前后一致． 【详解】解：选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象过第一、三、四象限，可得，， a，b的值前后结论不一致，本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得； 一次函数图象过第一、二、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致； 联立两个函数，得， 整理可得，该方程无解， 所以两个函数图象没有交点， 而本选项中两个函数图象有交点，故本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象经过第二、三、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致，且两个函数图象没有交点，故本选项符合题意； 选项：由二次函数可得抛物线过原点，而本选项的抛物线不过原点，故本选项不符合题意． 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 3．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 题型15.两个二次函数图象综合判断 1．如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取，代入三个函数表达式得：三个函数值分别为， 由图象可知：直线与三个函数图象的交点纵坐标从上到下依次为， 故 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________． 【答案】关于x轴对称 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：∵函数与， 而， ∴两个二次函数的图象形状相同，顶点都为原点，对称轴为轴，开口方向相反， ∴函数与的图象关于x轴对称. 3．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【分析】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 题型16.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D．15 【答案】A 【分析】由两点纵坐标相同可知对应函数值相等，代入解析式列方程即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 整理得， 解得． 2．已知抛物线经过和两点，则的值为________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线的对称轴对称，可先计算对称轴位置，再结合抛物线对称轴公式建立等式求解参数． 【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且两点纵坐标相等， ∴ 对称轴为直线， 对于抛物线，其对称轴为直线， ∴，解得． 3．已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． (1)求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)请判断，的大小关系． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小． 【详解】（1）解：∵二次函数（m为常数） ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点到对称轴的距离比到对称轴的距离远． ∵抛物线开口向上， ∴． 题型17.根据二次函数的对称性求函数值 1．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为直线，结合点到对称轴的距离的大小可得结论. 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点到对称轴的距离满足， ∵， ∴点到对称轴的距离满足， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ∴. 2．若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 【答案】5 【分析】确定二次函数的对称轴为y轴，利用函数值相等的两个不同自变量对应的点关于对称轴对称的性质，推导得到的取值，再代入解析式计算对应函数值 【详解】解：在中，其对称轴为直线， 当取、时对应的函数值相等， ∴、对应的点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当时，代入解析式得，． 3．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)5 (3)画出这个二次函数的图象，如图： (4) 【分析】（1）由表格得：当和时，，函数值均相等，可得该函数图象的对称轴为直线，即可求解； （2）根据抛物线的对称性解答即可； （3）利用描点法画出函数图象，即可； （4）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：由表格得：当和时，，函数值均相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴此二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象的对称轴为直线， ∴和时的函数值相等，即． （3）略 （4）解：观察图象得：：当时，的取值范围是． 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 3．图，已知点，在抛物线上． (1)求的值． (2)在轴上找一点，使得点到两点的距离之和最小，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 点如图所示； 点的坐标为 【分析】（1）把、的坐标代入即可求出、； （2）找出点的位置，求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把分别代入，得 . 点在第一象限， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 设直线的表达式为． 把分别代入，得 解得 ． 令，则 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和轴对称-最短路线问题，能找出点的位置是解决问题的关键． 题型19.二次函数图象的平移 1．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据抛物线平移的左加右减、上加下减规则求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向下平移1个单位长度，得． 2．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【分析】依据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，依次对原抛物线完成两次平移的解析式调整，即可得到目标抛物线解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为， ∴ 向右平移个单位后得到的抛物线为， ∴向上平移个单位后得到的抛物线为． 3．已知二次函数． (1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 5 0 … (2)将抛物线如何平移可得到抛物线？ 【答案】(1)补表如下： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 画图如下： (2)向左平移1个单位，再向上平移4个单位 【分析】（1）先补充列表，然后描点、连线即可完成作图； （2）先把化成顶点式，然后根据平移规律求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 补充表格和画图见答案； （2）解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线. 题型20.待定系数法求二次函数解析式 1．如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线； ②函数的最大值为； ③； ④的最小值为． 正确的结论为（     ） A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①由抛物线经过点，，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③求出，和，由勾股逆定理即可得到是直角；④当时，取最小值，根据等面积法求得即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线，故①正确； 设抛物线关系式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线关系式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值，故②错误． ∵，，， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，且，故③正确； 当时，取最小值， 此时根据三角形的面积可得， ∴， 解得：， ∴的最小值为，故④正确； 故正确的有：①③④． 2．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 【答案】0 【分析】已知二次函数的常数项与顶点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，结合抛物线开口方向、对称轴与给定x的取值范围的位置关系，确定给定x的取值范围内的最大值m和最小值n，进而计算的值． 【详解】解：∵二次函数（为常数，）的顶点坐标为 ∴列方程组． 解得． ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 则在范围内，自变量的值到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． ∵，， ∴当时，函数取得最小值． 代入计算得． ∵开口向下的抛物线顶点为最高点，且顶点横坐标在范围内， ∴当时，函数取得最大值． ∴． 3．已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为，对称轴为直线 (2)的值为或 【分析】（1）将代入解析式，即可求出解析式，再根据抛物线的对称轴公式即可作答； （2）先确定函数的增减性，再分类讨论第一类：当时，；第二类：当时，；第三类：当时，；确定每一类中最大值和最小值，问题即可作答． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即对称轴为：； （2）解：， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 分类讨论： 第一类：当时，， 此时当时，y有最大值，；当时，y有最小值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，与矛盾，舍去； 第二类：当时，， 此时当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，不满足，舍去； 第三类：当时，， 此时当时，y有最小值，； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（负数不满足，舍去）； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（不满足，舍去）； 综上所述：的值为或． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在上得到，依次把四个选项中点的横坐标代入计算函数值，验证得到横坐标为时函数值等于，确定在抛物线上． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ． ∵抛物线可以看作是抛物线向右平移 1 个单位得到，函数平移规律为左加右减． 将各选项坐标代入验证： 选项：把代入右边：， ∵ ， ∴ ， ∴ 点满足解析式． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 故选：． 3．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（   ） x … … y … 10 4 0 0 … A．抛物线开口向下 B．函数最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解：由表格可知，和时，的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，时，时，越靠近，值越小， ∴抛物线开口向上，A错误； ∵抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点在对称轴上， ∴顶点纵坐标小于，函数最小值不是，B错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小. ∵时，所有均满足， ∴当时，随的增大而减小，C正确； ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，不是始终随的增大而增大，D错误． 4．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的最值出现在顶点或范围的端点处，据此计算可得y的取值范围 【详解】解： ∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴的最大值为； ∴当时，的取值范围是 5．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵，抛物线的对称轴位于轴左侧， ∴， ，故A错误，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，即， ， ∴，故B正确，该选项符合题意； C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当 时，，故C错误，该选项不符合题意； D、，， 点与关于对称轴对称， ，故D错误，该选项不符合题意． 二、填空题 6．若是二次函数则__________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2、二次项系数不为0两个条件，联立求解并排除系数为0的解即可． 【详解】解：∵二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0 ∴且 解关于的方程， 移项得， 因式分解得， 解得 或 ， 结合约束条件，即，舍去， ∴． 7．若二次函数的图象开口向上，则m的值是________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义可得的次数为，再根据开口向上可得二次项系数大于，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数，且图象开口向上， ∴，， 解得或，， ∴． 8．关于x的二次函数的图象经过原点，则a的值为________． 【答案】 【分析】将原点坐标代入函数表达式中得到关于a的方程，然后解方程即可解答，注意二次项系数不为零的隐含条件． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴将代入，得，即， 解得， ∵二次函数中的， ∴， ∴． 9．定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 【答案】 【分析】先求解两个函数表达式相等时的自变量取值作为分界点，逐段确定对应的函数表达式，结合一次函数、二次函数的增减性求出各段的最小值，比较后得到整个函数的最小值． 【详解】解：令， 移项整理得， 因式分解得， 解得，． 分区间讨论函数取值： 当时， ∵， ∴， ∴此时， ∵一次函数中，的系数为，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，代入得； 当或时， ∵， ∴， ∴此时， 将二次函数配方得，开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴时，； 当时，函数在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴时，， 综上，该函数的最小值为． 10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴可得，再根据对称轴可得，，则结论①③正确；根据当时，可得结论②错误；根据函数图象可得当时，，结合可得结论④正确． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，，则结论②错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则结论④正确； 综上，正确的结论有①③④． 三、解答题 11．已知，二次函数的y与x的部分对应值如下表．根据题意完成下列问题： x 0 1 m 3 y 0 1 0 注：． (1)________； (2)根据上表描点画出函数图象； (3)请直接写出该函数图象的顶点坐标是________； (4)结合图象，请直接写出，当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)2 (2)解：如图所示； (3) (4) 【分析】（1）由表中数据可知当时，，所以将代入函数解析式求解即可； （2）将表格中的坐标在平面直角坐标系中描点、连线即可； （3）图中最高点为顶点，即得答案； （4）当时，找到图中最高点与最低点对应的纵坐标，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ； （2）略 （3）解：由图可知，该函数图象的顶点坐标是； （4）解：由图可知，当时，y的取值范围是． 12．已知抛物线：与抛物线：中，若满足，则称抛物线，为“比例”抛物线． (1)已知与是“比例”抛物线． ①b的值为______；   ②求出它们的交点坐标． (2)设抛物线，，的顶点分别为D，E，F． ①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”） ②若EF＝4DE，求a的值． 【答案】(1)①；②它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6） (2)①它们是 “比例”抛物线；②或 【分析】（1）①利用题干所给“比例”抛物线的定义分析列比例式即可求得； ②联立解方程组写出交点坐标即可； （2）①利用题干所给“比例”抛物线的定义列比例式分析即可求得； ②题干告知，要求的值，分别表示D，E，F三点的坐标，并利用距离坐标公式求知答案． 【详解】（1）解：（1）①∵与是“比例”抛物线． 所以即， 解得； ②， 消去y得 ， 整理得， 解得：， ∴， ∴它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6）； （2）①∵，，根据所给“比例”抛物线的定义，满足定义， ∴它们是 “比例”抛物线； ②∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查二次函数图像，结合二次函数图像的性质和特征以及题干所给的“比例”抛物线的定义综合分析思考是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式；求直线的解析式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式：；直线： (2)最大值为4，此时 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设点横坐标为，表示出、的长度，构建关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标． （3）先判断射线方向，算出平移后的抛物线解析式；由推出或者对应的对称直线，联立直线与新抛物线方程，求出交点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过，， ， 解得 抛物线解析式为， 当时，， ， 设直线解析式为， 直线过， ， 解得， 直线解析式为； （2）解：设， 轴，在：上， ， 轴， （）， ， ∴ ， ， 当时，取得最大值， 把代入得 ， ； （3）解：，， ， ∵， ∴， 将沿射线方向平移个单位，即将向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即 情况1：当点在轴的下方时，如图， ∵， ∴， 由直线解析式为，设： ， ， 解得， ， 联立 ， ， 解得（舍去） 当，，得 情况2：当点在轴的上方时，如图， ∵，， ∴， ∴直线与直线关于x轴对称， ∵直线为， ∴直线为， 联立， ， 解得（舍去） 当，， ∴ ， 符合条件的坐标为或． 14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)连接，求直线对应的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，． 【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求出参数的值，即可得到抛物线的函数表达式． （2）先求出点坐标，结合得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． （3）利用抛物线的对称性，点、关于对称轴对称，连接，与对称轴的交点即为点，此时最小，先求出对称轴，联立对称轴与直线解析式求出点坐标，再用勾股定理求出长度，也就是的最小值． 【详解】（1）解：在抛物线上， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：在中，令，得， ， ， ， ， 由图像知在轴负半轴， ， 设直线解析式为， ， 把代入， ， ， 直线解析式为． （3）解：如图，连接、、， ， 对称轴直线：， 点关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，最小，最小值为， ， ， 把代入， ， ， 最小值为，点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $