5.3 二次函数的应用（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 知识点一 抛物线模型 解决问题： ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） 即学即练 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【难度】0.62 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 2．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【难度】0.52 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 知识点二 面积模型 ·基本面积公式 ①已知正方形的边长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=a2 ②已知矩形的周长为c，长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=(c-a)a=-a2+ca ③已知圆的半径为r，面积为S，S关于r的二次函数：S=πr2 ④已知扇形的圆心角为n，对应的圆的半径为r，扇形的面积为S，S关于r的二次函数： 即学即练 1．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【难度】0.62 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 知识点三 利润模型——二次函数解经济类问题 解决问题： ·根据实际问题中的信息确定二次函数关系式： ①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式． ·根据题意解决问题并做出决策 特别注意： 在实际问题中，将二次函数模型化为顶点式后，求取得最值时的自变量的值时：不要忽视实际情况下自变量x的取值范围． 即学即练 1．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【难度】0.65 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 题型01 增长率问题 ·增长率：指的是连续两次增长/降低，可列：a(1±x)2=b（ a 为基数，x 为平均增长率或降低率，b 为两次后的结果） ·使用方法： ①“增长到 b”用a(1＋x)2=b；“增长了 b”用 a(1＋x)2=m＋b。 ②降低率用 1-x，且 0<x<1。 ③展开后是二次函数，可用配方或求根公式。 典｜例｜精｜析 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 题型02 最大面积问题 ·矩形的最大面积：设一边为 x，用总长表示另一边，面积S=x(总长-2x)，再配方求最大值。 1.靠墙问题：若总长只围三边，墙不用围。设宽为 x，长 = 总长 -2x（长边靠墙）。 2.矩形面积：S=xy，用周长关系消去 y。 3.开口向下，顶点处取最大值。 ①忽略墙长限制，顶点不在范围内。 ②把墙算进围栏总长。 ③自变量范围写错，如边长必须为正。 ④当围栏开门时，若门宽m，则列式时的总长+m。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16；(2) 【难度】0.65 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【难度】0.65 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 2．（2026·辽宁丹东·二模）丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 【答案】(1)段墙的长度约为米；(2)20米 【难度】0.52 【分析】（1）过B作于M，根据矩形的判定与性质求出，，则，然后在中根据余弦的定义求解即可； （2）设，采摘园的面积为S，过B作于M，根据矩形的判定与性质求出，，则，然后在中根据正切的定义求解，如果根据梯形面积公式求，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过B作于M， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即段墙的长度约为米； （2）解：设，采摘园的面积为S，则， 过B作于M， 同（1）可求，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，S取最大值， 即采摘园面积最大，的长为20米． 3．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1) 示意图： 剪出的矩形的最大面积是 (2)矩形面积的最大值是 【难度】0.44 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 题型03 图形动点与面积变化问题 ·核心：用时间 t 表示动点走过的线段，再用几何面积公式写出 S(t)。 ·技巧： ①找临界点（图象拐点）：动点到达端点、图形形状改变时，要分段。 ②图象形状：一个变量（直线），两个变量（曲线-二次函数） ③看增减： 增加(“”、“增的慢”、“增的快”)，减少(“”、“减的慢”、“减的快”) ④利用相似、勾股定理、三角函数表示高。 ⑤会表示常见图形的面积：三角形、矩形、梯形。 ①不分段，导致函数式只适用于一部分时间； ②忽略时间t的范围； ③动点速度方向看反 典｜例｜精｜析 1．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【难度】0.45 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 变｜式｜巩｜固 1． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A． B．     C．D．   【答案】A 【难度】0.4 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， 由，可得直线的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 2．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【难度】0.4 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 题型04 图形动点与最大面积问题 参照题型03，同时注意： ①先确定 t 的范围，再判断顶点横坐标是否在范围内。 ②若顶点不在范围内，根据开口方向和对称轴，取端点值。 ③分段函数要分别求最大值，最后取最大者。 ①直接取顶点，忽略范围； ②分段函数忘记比较各段最值； ③端点值漏算； ④时间不能为负，长度不能为负。 典｜例｜精｜析 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 【答案】(1)，当时，的值最大，最大值为 (2)解：能相似，理由如下： 由题意可知， 矩形中，，， ①若， 则， 解得，（舍去） 故， ， ②若， 则， ， 解得，（舍去） 故， ， 综上可知与能相似，P点位置为或． 【难度】0.55 【分析】（1）分别用t表示，，再利用三角形面积公式即可求出函数关系式，把关系式变形为顶点式，即可解答； （2）由题意可知，分和两种情况进行讨论，利用相似比列式计算即可，注意，根据t的值确定点P的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ，． 是直角三角形， ， ， 当时，的值最大，此时， 故的面积与时间之间的函数关系式为， 当时，的值最大，最大值为． 变｜式｜巩｜固 1．如图，在中，，，，点D、G分别在边上，，点G在的中点上，以为边的矩形的顶点E在边上，动点M从点B出发，以的速度沿向C运动，过点M作交于点N．设点M的运动时间为，矩形与重叠部分图形的面积为． (1)在点M的运动过程中，当线段与矩形的边有交点，令交点为H，用含t的代数式表示线段的长． (2)求s与t的函数关系式． 【答案】(1) (2)S 【分析】（1）由求出，再由，求出即可； （2）分四段当时，当时，当时，当时分别求出面积即可； 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 根据题意可知：， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1中，当时，重叠部分是五边形， 由题意可知：，同（1）可知， ， ， 如图2中，当时，重叠部分是四边形， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， 解得：， t， 如图3中，当时，重叠部分是， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， 解得：， t， 当时，， 综上所述， 题型05 最大利润问题 ·基本公式：总利润 = 单件利润 × 销量。 若销量与售价满足一次关系，则利润为二次函数：W=(p-x)(q+kx)（其中 x 为涨价或降价） ·技巧： ①设涨价 x 元，则单件利润增加 x，销量减少 kx； ②配方求顶点，得到最大利润； ③若价格、销量要求整数，顶点横坐标取邻近整数再比较。 ①把“销售额”当成“利润”；②成本变化忘记考虑；③销量不能为负；④涨价和降价方向搞反； ⑤整数解忘记取整。 典｜例｜精｜析 1．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【难度】0.55 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 变｜式｜巩｜固 1．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【难度】0.65 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【难度】0.51 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 题型06 二次函数模型——投球问题 ·方法： ①建立直角坐标系，设抛物线解析式，通常用顶点式：y=a(x-h)2+k ②利用出手点、最高点、篮筐等已知点求a。 ·技巧： ①需要建系时：以出手点、篮筐或地面为原点建系； ②最高点是顶点，篮筐高度是某点的纵坐标； ③判断是否命中：把篮筐横坐标代入，看纵坐标是否等于篮筐高度。 ①坐标系建错，导致解析式复杂；②单位不统一；③忽略球出手高度；④忘记自变量实际范围。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【难度】0.65 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x轴上的点C处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准小强得______分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为米，小强的得分是90分 (3)该小朋友有危险，理由如下： 当时，， ∵， ∴该小朋友有危险 【难度】0.65 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，将代入解析式求出，即可得解； （2）当时，，解方程并结合表格判断即可得出结果； （3）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∵点落在轴的正半轴， ∴，即小强在这次训练中的成绩为米， ∵， ∴小强的得分是90分； （3）略． 2．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门；(2)1 【难度】0.57 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 题型07 二次函数模型——拱桥问题 ·一般思路： ①以拱顶为顶点，对称轴为 y 轴，设：y=ax2+k或y=a(x-h)2+k； ②待定系数法求解析式：利用跨度、拱高确定坐标，代入解析式求系数。 ·技巧： ① 利用对称性，跨度一半是 x 坐标； ② 拱高是顶点到水面的距离； ③ 求水面宽：令 y= 某高度，解出 x，宽度为 2|x|。 ① 拱高和水面高度混淆； ② 水面上升后，宽度变化不会求； ③ 单位不统一； ④ 忽略桥下净高限制。 典｜例｜精｜析 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【难度】0.52 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【难度】0.65 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 2．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) (3)28个 【难度】0.36 【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线的函数表达式为，根据对称性可得出抛物线的函数表达式为； （2）设y轴右侧可以摆放m列储物箱，根据题意列不等式求解即可； （3）由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14个，同理可求左边仓库也可放14个，共计可放28个． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 由对称得抛物线的函数表达式为； （2）解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得， 解得， ∵m为正整数，且取最大值， ∴， 此时点M的横坐标为， 将代入， 得， ∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为； （3）解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离的距离为， 当时，， （个）余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放（个）储物箱． 3．（2026·广西玉林·三模）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 【答案】(1) (2) (3)共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是 【难度】0.52 【分析】（1）由题意易得桥拱最高点的坐标为，，则有，设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （3）由题意易知矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）：①：②；③；④；⑤；⑥，然后根据拱桥的最高点到的距离为进行分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：桥拱最高点的坐标为，， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 令，则有， ∴桥墩的高度； （3）解：∵矩形广告牌的面积为且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）： ①：②；③；④；⑤；⑥， ∵拱桥的最高点到的距离为， ∴方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑤： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑥： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是． 题型08 二次函数模型——喷水/灌溉问题 ·方法：以喷头为原点或地面为基准，设抛物线解析式，求最大高度、射程、落点。 ·技巧： ①喷头高度是 y 轴截距。 ②水流落地时 y=0，解方程求射程。 ③灌溉范围是水平距离，看落点与作物位置。 ①喷头位置设错；②地面基准线不是 y=0；③对称轴求错；④单位不统一。 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西西安·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【分析】（1）首先根据题意得出点的坐标为，进而设点所在抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）根据已知条件可得所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与轴交点的坐标，由于覆盖区域关于轴对称，用求出的横坐标的绝对值乘以，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】（1）解：，点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）解：当无人机的喷水口上升到距地面时， ∴点 点所在抛物线的函数表达式为 当时， 解得：或（舍去） ∴ 答：此时地面上喷洒覆盖区域的长为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【难度】0.52 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． （3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式． (2)由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处 【难度】0.42 【分析】（1）已知抛物线顶点横坐标为，设顶点式，代入、，解得，即可得到抛物线的表达式； （2）无人机上升后是顶点，设，代入得；设向右平移米，表达式为，代入解得，结合顶点在左侧，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：∵喷水口距地面2米，距建筑物底部水平距离8米，着火点在轴上，距地面18米，水流在离建筑物底部水平距离2米处达到最高， ∴，，抛物线顶点横坐标为， 设抛物线的表达式为， 将和代入表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为或； （2）解：∵无人机从竖直上升42米到， ∴，且是的顶点， ∵点距地面43米，在轴上，在下方1米， ∴，， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得 解得， ∴抛物线的表达式为， 步骤3：设平移距离并建立方程 设抛物线向右平移米， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵平移后的抛物线需经过， ∴将代入，得 解得或， ∵ “无人机只能在建筑物的左侧移动”，即平移后顶点的横坐标需小于0， ∴ 解得， ∴舍去， ∴米， ∴抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处． 3．（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【难度】0.42 【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 题型09 二次函数模型——其它问题 ·建模四步： ①审题设变量；②找等量关系；③列二次函数；④定范围，求最值。 ·技巧： ①画图、列表、找特殊点； ②常见模型：跳水、跳远、隧道、刹车距离、温度变化等； ③先判断开口方向，再找顶点。 ·最值的确定：①顶点处；②若顶点不在自变量范围内，代入端点比较确定最大、最小值； · 忽略实际意义，如长度为正、人数为整数、时间非负。 · 忘记检验结果是否符合题意。 · 自变量范围漏写。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【难度】0.52 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 2．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【难度】0.4 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 3．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【难度】0.48 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 知识点一 抛物线模型 解决问题： ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） 即学即练 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 2．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 知识点二 面积模型 ·基本面积公式 ①已知正方形的边长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=a2 ②已知矩形的周长为c，长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=(c-a)a=-a2+ca ③已知圆的半径为r，面积为S，S关于r的二次函数：S=πr2 ④已知扇形的圆心角为n，对应的圆的半径为r，扇形的面积为S，S关于r的二次函数： 即学即练 1．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 知识点三 利润模型——二次函数解经济类问题 解决问题： ·根据实际问题中的信息确定二次函数关系式： ①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式． ·根据题意解决问题并做出决策 特别注意： 在实际问题中，将二次函数模型化为顶点式后，求取得最值时的自变量的值时：不要忽视实际情况下自变量x的取值范围． 即学即练 1．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 题型01 增长率问题 ·增长率：指的是连续两次增长/降低，可列：a(1±x)2=b（ a 为基数，x 为平均增长率或降低率，b 为两次后的结果） ·使用方法： ①“增长到 b”用a(1＋x)2=b；“增长了 b”用 a(1＋x)2=m＋b。 ②降低率用 1-x，且 0<x<1。 ③展开后是二次函数，可用配方或求根公式。 典｜例｜精｜析 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 2．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 题型02 最大面积问题 ·矩形的最大面积：设一边为 x，用总长表示另一边，面积S=x(总长-2x)，再配方求最大值。 1.靠墙问题：若总长只围三边，墙不用围。设宽为 x，长 = 总长 -2x（长边靠墙）。 2.矩形面积：S=xy，用周长关系消去 y。 3.开口向下，顶点处取最大值。 ①忽略墙长限制，顶点不在范围内。 ②把墙算进围栏总长。 ③自变量范围写错，如边长必须为正。 ④当围栏开门时，若门宽m，则列式时的总长+m。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 2．（2026·辽宁丹东·二模）丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 3．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 题型03 图形动点与面积变化问题 ·核心：用时间 t 表示动点走过的线段，再用几何面积公式写出 S(t)。 ·技巧： ①找临界点（图象拐点）：动点到达端点、图形形状改变时，要分段。 ②图象形状：一个变量（直线），两个变量（曲线-二次函数） ③看增减： 增加(“”、“增的慢”、“增的快”)，减少(“”、“减的慢”、“减的快”) ④利用相似、勾股定理、三角函数表示高。 ⑤会表示常见图形的面积：三角形、矩形、梯形。 ①不分段，导致函数式只适用于一部分时间； ②忽略时间t的范围； ③动点速度方向看反 典｜例｜精｜析 1．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A． B．     C．D．   2．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形；②的最大面积为；③当的面积为时，或．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型04 图形动点与最大面积问题 参照题型03，同时注意： ①先确定 t 的范围，再判断顶点横坐标是否在范围内。 ②若顶点不在范围内，根据开口方向和对称轴，取端点值。 ③分段函数要分别求最大值，最后取最大者。 ①直接取顶点，忽略范围；②分段函数忘记比较各段最值；③端点值漏算；④时间不能为负，长度不能为负。 典｜例｜精｜析 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．如图，在中，，，，点D、G分别在边上，，点G在的中点上，以为边的矩形的顶点E在边上，动点M从点B出发，以的速度沿向C运动，过点M作交于点N．设点M的运动时间为，矩形与重叠部分图形的面积为． (1)在点M的运动过程中，当线段与矩形的边有交点，令交点为H，用含t的代数式表示线段的长． (2)求s与t的函数关系式． 题型05 最大利润问题 ·基本公式：总利润 = 单件利润 × 销量。 若销量与售价满足一次关系，则利润为二次函数：W=(p-x)(q+kx)（其中 x 为涨价或降价） ·技巧： ①设涨价 x 元，则单件利润增加 x，销量减少 kx； ②配方求顶点，得到最大利润； ③若价格、销量要求整数，顶点横坐标取邻近整数再比较。 ①把“销售额”当成“利润”；②成本变化忘记考虑；③销量不能为负；④涨价和降价方向搞反； ⑤整数解忘记取整。 典｜例｜精｜析 1．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 变｜式｜巩｜固 1．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1:制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2:当A品售价元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算：(1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立：(2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计：(3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 题型06 二次函数模型——投球问题 ·方法： ①建立直角坐标系，设抛物线解析式，通常用顶点式：y=a(x-h)2+k ②利用出手点、最高点、篮筐等已知点求a。 ·技巧： ①需要建系时：以出手点、篮筐或地面为原点建系； ②最高点是顶点，篮筐高度是某点的纵坐标； ③判断是否命中：把篮筐横坐标代入，看纵坐标是否等于篮筐高度。 ①坐标系建错，导致解析式复杂；②单位不统一；③忽略球出手高度；④忘记自变量实际范围。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x轴上的点C处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准小强得______分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 2．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 题型07 二次函数模型——拱桥问题 ·一般思路： ①以拱顶为顶点，对称轴为 y 轴，设：y=ax2+k或y=a(x-h)2+k； ②待定系数法求解析式：利用跨度、拱高确定坐标，代入解析式求系数。 ·技巧： ① 利用对称性，跨度一半是 x 坐标； ② 拱高是顶点到水面的距离； ③ 求水面宽：令 y= 某高度，解出 x，宽度为 2|x|。 ① 拱高和水面高度混淆； ② 水面上升后，宽度变化不会求； ③ 单位不统一； ④ 忽略桥下净高限制。 典｜例｜精｜析 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决：(1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 2．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 3．（2026·广西玉林·三模）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 题型08 二次函数模型——喷水/灌溉问题 ·方法：以喷头为原点或地面为基准，设抛物线解析式，求最大高度、射程、落点。 ·技巧： ①喷头高度是 y 轴截距。 ②水流落地时 y=0，解方程求射程。 ③灌溉范围是水平距离，看落点与作物位置。 ①喷头位置设错；②地面基准线不是 y=0；③对称轴求错；④单位不统一。 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西西安·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式． (2)由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 3．（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 题型09 二次函数模型——其它问题 ·建模四步：①审题设变量；②找等量关系；③列二次函数；④定范围，求最值。 ·技巧： ①画图、列表、找特殊点； ②常见模型：跳水、跳远、隧道、刹车距离、温度变化等； ③先判断开口方向，再找顶点。 ·最值的确定：①顶点处；②若顶点不在自变量范围内，代入端点比较确定最大、最小值； · 忽略实际意义，如长度为正、人数为整数、时间非负。 · 忘记检验结果是否符合题意。 · 自变量范围漏写。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 2．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 3．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $