专题5.2 二次函数的图象（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题5.2 二次函数的图象 教学目标 1、会用描点法画二次函数 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k、y=ax2+bx+c的图象，知道二次函数的图象是抛物线。 2、理解顶点式中参数a、h、k对抛物线图象的影响：a决定开口方向与开口大小；h控制左右平移；k控制上下平移。 3、能从顶点式 y=a(x-h)2+k直接读出抛物线的顶点坐标、对称轴；掌握抛物线的增减性、最值。 4、掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减，能实现不同形式解析式之间的图象变换。 5、经历从特殊函数y=ax2逐步平移得到顶点式抛物线的探究过程，感受从特殊到一般的研究方法。通过画图、观察、对比a、h、k变化时图象的变化，体会数形结合思想。 6、在动手画图、观察图象变化的活动中感受抛物线的对称美；养成 “看图想式、由式想图” 的习惯，体会数形结合研究函数的优势。 教学 重难点 1.重点 （1）二次函数y=ax2+bx+c（一般式），y=a(x-h)2+k（顶点式）的对称轴、顶点坐标、增减性、最值等。 （2）参数a的作用：a>0开口向上，有最小值；a<0 开口向下，有最大值；|a|越大，开口越窄。 （3）抛物线平移规律：左加右减，上加下减。 （4）抛物线的增减性：在对称轴左侧、右侧，y随x的变化情况。 2.难点 （1）平移规律左加右减容易混淆（只对括号内的x进行加减，不是直接在x后面加减）。 （2）区分顶点式中h的符号：y=a(x-h)2+k，顶点横坐标是h，不是-h。 （3）利用图象比较函数值大小，尤其是不在对称轴同侧的点，需要利用对称性转化。 （4）理解图象平移前后a不变，开口方向、开口大小保持不变。 知识点01 二次函数y＝ax2的图象和性质 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线． 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)． 当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． 当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 3.二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 2．（26-27九年级上·广东·期中）如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）以下有四个函数：①；②；③；④．则当时，随的增大而减小的函数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·成都·期中）当时，二次函数的最大值和最小值分别是_______． 知识点02 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的． 反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的开口方向和对称轴分别是（     ） A．向上，直线 B．向上，直线 C．向下，直线 D．向下，直线 2．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）对于二次函数，下列说法中不正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时随的增大而减小 3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 4．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 5．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 8．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）函数，当时，函数值的取值范围是______ 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 【即学即练】 1．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的对称轴是__________． 2．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 4．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 知识点04 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【即学即练】 1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏·单元复习）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，的值最小 D．若点，在函数图象上，则 3．（26-27九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 4．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 知识点05 求二次函数的解析式（待定系数法） 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式：已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式：已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式：已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 (1)经过三点的二次函数的解析式． (2)二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 3．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 知识点06 二次函数与几何变换（平移、对称、旋转） 1. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 2. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 2．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 题型01 二次函数的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）嘉嘉用软件绘制抛物线 时，将“3”按成了“4”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．开口向上 B．图像位于二、四象限 C．有最低点 D．在y轴左侧，图像上升 【变式4】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）有下列二次函数：①；②；③，在同一平面直角坐标系中，将它们的图像的开口大小按从大到小的顺序排列为________（填序号）． 【变式5】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________．（用“ ”连接）． 题型02 二次函数的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最小值3 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【变式2（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【变式4】（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（     ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式6】（26-27九年级上·成都·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型03 二次函数的图象与性质 【典例1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【变式1】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．图象经过原点 C．顶点坐标为 D．对称轴为直线 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是__________． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型04 二次函数的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）下列关于抛物线的判断中，错误的是（     ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．开口向下 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知抛物线的最小值是（     ） A．3 B． C．1 D． 【变式2】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的开口向___________，顶点坐标为___________． 【变式3】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）若抛物线的顶点在轴上，则_____． 【变式4】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为_________. 【变式5】（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 题型05 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数最大值是___________，最小值是___________． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标；(2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【变式4】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数解析式为， (1)将此二次函数化成顶点式；(2)此二次函数的对称轴为___________；顶点坐标为___________； (3)当___________时，随的增大而增大，当___________时，随的增大而减小． 题型06 多个函数图象的综合判断 【典例1】（26-27九年级上·成都·课后作业）抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27九年级上·宁夏·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型07 二次函数图象的平移 【典例1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 【变式4】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线的顶点坐标； (2)如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 题型08 二次函数的对称性运用 【典例1】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【变式3】【变式12-1】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 题型09 二次函数的最值（含参） 【典例1】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数在时有最小值，则________． 【变式2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【变式4】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 题型10 二次函数图象与各项系数符号 【典例1】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【变式1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 题型11 用待定系数法求解析式（三种形式） 【典例1】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象交轴于，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【变式1】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【变式3】（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 题型12 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【变式1】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C，(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； 1．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 2．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 4．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 5．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值3 D．顶点坐标是 8.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的最大值为（     ） A．0 B．3 C．6 D．9 9．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 10．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 11．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线的顶点坐标是___________． 12．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式．(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 13．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线． (1)将化成的形式；(2)写出抛物线的开口方向和增减性． 1（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 4．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于任意实数，抛物线的顶点一定在（     ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．抛物线上 5．（26-27九年级上·新疆·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线，则 C．最大值为 D．时，随增大而增大 6．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 9．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为________． 10．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数关于轴对称的图象的函数解析式为_________________，关于轴对称的图象的函数解析式为_________________． 11．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）当时，函数的最小值为，则的值为_____． 12．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）；(2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 二次函数的图象 教学目标 1、会用描点法画二次函数 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k、y=ax2+bx+c的图象，知道二次函数的图象是抛物线。 2、理解顶点式中参数a、h、k对抛物线图象的影响：a决定开口方向与开口大小；h控制左右平移；k控制上下平移。 3、能从顶点式 y=a(x-h)2+k直接读出抛物线的顶点坐标、对称轴；掌握抛物线的增减性、最值。 4、掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减，能实现不同形式解析式之间的图象变换。 5、经历从特殊函数y=ax2逐步平移得到顶点式抛物线的探究过程，感受从特殊到一般的研究方法。通过画图、观察、对比a、h、k变化时图象的变化，体会数形结合思想。 6、在动手画图、观察图象变化的活动中感受抛物线的对称美；养成 “看图想式、由式想图” 的习惯，体会数形结合研究函数的优势。 教学 重难点 1.重点 （1）二次函数y=ax2+bx+c（一般式），y=a(x-h)2+k（顶点式）的对称轴、顶点坐标、增减性、最值等。 （2）参数a的作用：a>0开口向上，有最小值；a<0 开口向下，有最大值；|a|越大，开口越窄。 （3）抛物线平移规律：左加右减，上加下减。 （4）抛物线的增减性：在对称轴左侧、右侧，y随x的变化情况。 2.难点 （1）平移规律左加右减容易混淆（只对括号内的x进行加减，不是直接在x后面加减）。 （2）区分顶点式中h的符号：y=a(x-h)2+k，顶点横坐标是h，不是-h。 （3）利用图象比较函数值大小，尤其是不在对称轴同侧的点，需要利用对称性转化。 （4）理解图象平移前后a不变，开口方向、开口大小保持不变。 知识点01 二次函数y＝ax2的图象和性质 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线． 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)． 当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． 当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 3.二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 【答案】D 【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确； 抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误；抛物线和的顶点均为，故选项C正确；故选项D符合题意． 2．（26-27九年级上·广东·期中）如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取，代入三个函数表达式得：三个函数值分别为， 由图象可知：直线与三个函数图象的交点纵坐标从上到下依次为，故 3．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）以下有四个函数：①；②；③；④．则当时，随的增大而减小的函数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，，故随的增大而减小，符合题意； ，，故随的增大而增大，不符合题意； ，，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意；，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，符合题意； 综上：当时，随的增大而减小的函数有2个. 4．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得，把代入，得， ∵， ∴． 5．（26-27九年级上·成都·期中）当时，二次函数的最大值和最小值分别是_______． 【答案】， 【详解】解：二次函数的二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为直线， ，对称轴直线在该区间内，当时，取得最大值，代入得； 当时，，当时，， ，的最小值为，综上，的最大值为，最小值为． 知识点02 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的． 反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的开口方向和对称轴分别是（     ） A．向上，直线 B．向上，直线 C．向下，直线 D．向下，直线 【答案】C 【详解】解：抛物线解析式， 可得，，． ， 抛物线开口向下． 对称轴：，即直线． 2．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）对于二次函数，下列说法中不正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时随的增大而减小 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，即直线， ∴函数有最小值，最小值为1，当时，y随x的增大而减小， 故选项C不正确，符合题意，选项B、A、D正确，不符合题意． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【详解】解：∵，∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符题意；、顶点坐标为，原选项错误，不符题意；故选：． 4．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 【答案】C 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误；C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故D错误． 5．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在抛物线中，二次项系数，对称轴为轴， ∵，∴抛物线开口向上，∴点离对称轴越近，对应的函数值越小，∵，∴． 6．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为，∴该函数图象开口向上， 又∵该函数的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选：D． 7．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【答案】C 【详解】解：将抛物线平移得到抛物线， ∴这个平移过程为先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 8．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）函数，当时，函数值的取值范围是______ 【答案】 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中二次项系数为1，大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即当时，函数取得最小值； 已知自变量取值范围为，对称轴在该区间内，因此函数在该区间内的最小值为顶点处的函数值；开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大： 当时，代入函数得；当时，代入函数得； 由于到对称轴的距离大于到对称轴的距离，因此区间内函数值的最大边界为5，又因为x的取值不包含和2，因此函数值取不到5；综上，当时，函数值的取值范围是． 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 【即学即练】 1．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的对称轴是__________． 【答案】直线 【详解】解：因为，因此该二次函数图像的对称轴是直线． 2．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【详解】解：A．二次项系数，其图象开口向下，故该结论不正确，不符合题意； B．其图象的对称轴是直线， 故该结论不正确，不符合题意； C．对称轴是直线，图象开口向下，当时，函数有最大值，此时， 故该结论正确，符合题意； D．对称轴是直线，图象开口向下，当时，随的增大而增大， 故该结论不正确，不符合题意． 3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 【答案】 【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小． 4．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，当时，，在中，当时，， ∴一次函数与二次函数交于点，故B、D不符合题意； A选项中，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C选项中，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，且对称轴在y轴左侧，则，即，二者一致，故此选项符合题意； 5．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：二次函数中，抛物线开口向上， 整理可得：，当时函数有最小值； 当时，可得：，当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和． 知识点04 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【即学即练】 1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴，∴，故A错误； 由图可得，当时，，当时，， ∴，∴，∴，故C错误； 由图可得，当时，，故D错误； ∵，∴当时，，∴，∴，即，故B正确． 2．（26-27九年级上·江苏·单元复习）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，的值最小 D．若点，在函数图象上，则 【答案】D 【详解】解：函数图象开口向下，与轴相交于正半轴，，，，错误； 当时，，错误； 函数图象的对称轴为直线，当时，的值最大，错误； ，点，关于对称轴直线对称，，正确． 3．（26-27九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，，∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线，∴，∴，则选项B错误； ∵且，∴， ∴和关于对称轴直线对称，∴，∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上，∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且，∴，则选项D错误． 4．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数图象的开口向下，∴， ∵对称轴为直线，∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴，∴，∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值，当时，， ∴，即，故③正确； 由图象知，当时，，∵，∴，故④正确；综上，正确的个数是3个． 知识点05 求二次函数的解析式（待定系数法） 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式：已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式：已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式：已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 (1)经过三点的二次函数的解析式． (2)二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过，∴设二次函数的解析式为， 把代入得解得∴二次函数的解析式为． （2）∵二次函数的图象的顶点为，∴设二次函数的解析式为， 把代入得解得；∴二次函数的解析式为． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是，∴，解得：，∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，，∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，∴，∴，∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是，∴． 3．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：∵ 二次函数的图象经过三点， ∴，解得，∴ 该二次函数的表达式为． 知识点06 二次函数与几何变换（平移、对称、旋转） 1. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 2. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【即学即练】 1．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【答案】 【详解】解：对变形： 向上平移3个单位长度，给函数整体加3，得：； 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为，即． 所以，平移后的二次函数解析式为． 2．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位长度，∴平移后抛物线的表达式为：， ∴平移后抛物线顶点坐标为，且二次项系数为，开口向下， ∵抛物线绕原点旋转后，抛物线形状不变，开口方向向上，顶点坐标关于原点对称， ∴旋转后抛物线的二次项系数由变为，顶点坐标为，∴旋转后抛物线的表达式为． 3．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线，∵抛物线与抛物线关于轴对称，∴抛物线的解析式为． 题型01 二次函数的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①抛物线和的顶点都是原点，对称轴都是y轴，二者顶点和对称轴完全相同，故①正确； ②的二次项系数是，的二次项系数是，和符号相反，因此两个抛物线开口方向必然相反，故②正确； ③若点在上，则点满足，也就是这两个点关于x轴对称，因此两条抛物线整体关于x轴成轴对称，故③正确； ④若点在上，则点满足，整理得，也就是这两个点关于原点中心对称，因此两条抛物线整体关于原点中心对称，故④正确．综上可知，4个说法全部正确． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数可化为顶点式，∴顶点坐标为． 【变式2】（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）嘉嘉用软件绘制抛物线 时，将“3”按成了“4”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【详解】解：原抛物线为，错输后的抛物线为， ∵ 两个抛物线的二次项系数均大于0，且均为的形式， ∴ 开口方向均向上，对称轴均为轴，顶点坐标均为，∵ ，∴ 开口大小发生改变． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．开口向上 B．图像位于二、四象限 C．有最低点 D．在y轴左侧，图像上升 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对任意实数，，∴，即图像位于第三、四象限及过原点， 故选项错误，不符合题意； C、∵抛物线开口向下，∴有最高点，故选项错误，不符合题意； D、∵该抛物线对称轴为直线（即轴），开口向下， ∴在轴左侧，随的增大而增大，即图像上升，故选项正确，符合题意． 【变式4】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）有下列二次函数：①；②；③，在同一平面直角坐标系中，将它们的图像的开口大小按从大到小的顺序排列为________（填序号）． 【答案】 【详解】解：∵，且，∴图像的开口大小按从大到小的顺序排列为． 【变式5】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________．（用“ ”连接）． 【答案】 【详解】解：由题意得，二次函数的开口向上，对称轴为y轴，∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数的图象经过点，，且，∴． 题型02 二次函数的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最小值3 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向下，A错误；该函数顶点坐标为，B错误； ∵抛物线对称轴为直线，开口向下，∴当时，随的增大而增大，C正确； ∵抛物线开口向下，顶点为最高点，∴当时，有最大值，D错误． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于： ∵，∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵，∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵，∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴；故选C． 【变式2（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线有最低点，∴抛物线开口向上，∴，解得．故选：C． 【变式3】（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同，∴， ∵抛物线的顶点坐标是，∴将，代入解析式得：，∴． 【变式4】（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线中不含一次项，其对称轴为轴（即直线）， 又点在该抛物线上，点关于轴的对称点也必在抛物线上， 点关于轴对称的点为，即. 【变式5】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点、、在二次函数的图象上， 且，∴． 【变式6】（26-27九年级上·成都·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；一致，符合要求； 选项B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；不一致，不符合要求； 选项C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意；     选项D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意． 题型03 二次函数的图象与性质 【典例1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确；故选：D ． 【变式1】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．图象经过原点 C．顶点坐标为 D．对称轴为直线 【答案】D 【详解】解：∵中，，∴图象开口向上，A错误； ∵当时，，∴图象不经过原点，B错误； ∵该抛物线顶点坐标为，∴C错误；∵该抛物线对称轴为直线，∴D正确 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大，∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧，∴． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【答案】 【详解】解：当时，，因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，解得， 代入得二次函数为，因此顶点坐标为． 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， 当时，，当时，， ∵ ，∴ ． 题型04 二次函数的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）下列关于抛物线的判断中，错误的是（     ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．开口向下 【答案】C 【详解】解：A选项：抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B选项：抛物线对称轴为直线，此选项不符合题意； C选项：对于抛物线，由于，抛物线开口朝下，当时，函数值随的增大而减小，当时，函数值随的增大而增大，因此“当时，随的增大而减小”的表述错误，此选项符合题意； D选项：该抛物线的二次项系数，因此开口向下，此选项不符合题意．故答案为C． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知抛物线的最小值是（     ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵，∴开口向上，∴抛物线的最小值是1． 【变式2】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的开口向___________，顶点坐标为___________． 【答案】 上 【详解】解：∵二次项系数为，∴抛物线开口向上，∵，∴顶点坐标为． 【变式3】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）若抛物线的顶点在轴上，则_____． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上，顶点坐标为，∴，∴． 【变式4】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为_________. 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为，∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点到对称轴的距离：点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，∵，∴. 【变式5】（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：已知二次函数为， ∵，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内，∴的最大值为，分别计算区间端点的函数值： 当时，，当时，， ∵，∴的最小值为，因此的取值范围是． 题型05 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴该函数的对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为，在轴下方，故A、B选项错误； ∵，∴当时，随的增大而增大，∵，∴当时，随的增大而增大， 当时，有最小值是，故C选项正确；故D选项错误； 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，抛物线对称轴为直线． 【变式2】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数最大值是___________，最小值是___________． 【答案】 【详解】解：，∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵，在此范围内，∴当时，取最小值，最小值为． ∵与中，，即离对称轴较远， ∴当时，取最大值，最大值为．∴二次函数的最大值是，最小值是． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标；(2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)顶点坐标为.(2)当时，随的增大而减小. 【详解】（1）解：，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）得，，∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 【变式4】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数解析式为， (1)将此二次函数化成顶点式；(2)此二次函数的对称轴为___________；顶点坐标为___________； (3)当___________时，随的增大而增大，当___________时，随的增大而减小． 【答案】(1)(2)直线，(3)， 【详解】（1）解：； （2）解：∵，∴此二次函数的对称轴为直线；顶点坐标为； （3）解：∵此二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 题型06 多个函数图象的综合判断 【典例1】（26-27九年级上·成都·课后作业）抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，一次函数经过一、二、四象限，得；故错误； B．开口向下，可得到，一次函数经过一、二、三象限，得；故错误； C．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，交y轴于负半轴，得到，一次函数经过一、二、三象限，得，，故错误； D．根据二次函数图像可知，开口向下，可得到，交y轴于负半轴，得到，此时经过二、三、四象限，故正确． 【变式1】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向上可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； B、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向下可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； C、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向下可知，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故正确，该选项符合题意； D、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向上可知 ，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故错误，该选项不符合题意． 【变式2】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，，∴．∴b矛盾．故A错误． B．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，，∴．故B正确． C．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，，∴．故C正确． D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知， ，∴．故D正确． 【变式3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向下，与轴交于正半轴，并与一次函数交轴于同一点，对称轴在轴的右侧，不符合题意；选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向下，与轴交于负半轴，并与一次函数与交轴于同一点，对称轴在轴的右侧，不符合题意；选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向上，与轴交于正半轴，并与一次函数交轴于同一点，对称轴在轴的左侧，符合题意；选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向上，与轴交于负半轴，并与一次函数交轴于同一点，对称轴在轴的左侧，不符合题意． 【变式4】（26-27九年级上·宁夏·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 题型07 二次函数图象的平移 【典例1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将向右平移个单位，得；再向上平移个单位，得 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，所得抛物线的表达式是， 再向上平移1个单位，得，化简得． 【变式2】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为， ∴原抛物线的表达式为． 【变式3】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：平移后顶点：逆向平移求原顶点：向左，向下， 原顶点横坐标：，原顶点纵坐标：，所以原抛物线顶点为， 原抛物线顶点式：展开得： ∴，∴． 【变式4】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线的顶点坐标； (2)如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(2) 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线的表达式为，代入，得，解得． 故平移后的抛物线的表达式为． 题型08 二次函数的对称性运用 【典例1】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知两个交点的横坐标分别为2和4， 因此对称轴对应的横坐标为：所以，对称轴为． 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，两点纵坐标相等， 对称轴为，故D错误， ，顶点的纵坐标大于，A、C错误，B正确，故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：设任意点在抛物线上， ∵点关于直线的对称点为，且与关于直线对称， ∴点在抛物线上，∴，展开整理右侧得：， 又∵，多项式相等对应系数相等， 可得，，解得，，∴． 【变式3】【变式12-1】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，∴对称轴为直线， ∵，∴，∴，∵，∴，∴． 题型09 二次函数的最值（含参） 【典例1】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【答案】A 【详解】解：二次函数，该函数的对称轴是直线． 当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 当时，当时，；当时，．，解得． 当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 当时，当时，；当时，．，解得． 综上所述，的值为或． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数在时有最小值，则________． 【答案】或 【详解】解：，对称轴为直线，对称轴在内， 当时，抛物线开口向上，最小值在对称轴处取得，即时，，解得； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 在中，离对称轴最远，时取得最小值，代入得， 解得；因此或． 【变式2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】或 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得， 可得，解得或，，； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得， 可得，解得或，，； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去；综上，的值为或． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：二次函数， ∵，∴二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，其最大值为4，∴． 【变式4】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】或 【详解】解：二次函数（为常数）对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ①若，时，函数值的最小值为， 则， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，时，函数值有最小值为，则，解得； ③若，时，函数值的最小值为，则，无解； 的值为或． 题型10 二次函数图象与各项系数符号 【典例1】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下，∴， ∵对称轴为直线，即，∴，∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方，∴，∴，故①错误； ②由图象可知，当时，，∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则，由②可知，， ∴，即，∴，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④． 【变式1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴， ∵对称轴为直线，∴，∴，，①正确，②正确； ∵当时，，∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为，∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 【变式2】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为，从图中可以看到，交点在轴正半轴，，正确； 由图象可得，抛物线开口向下，即，由对称轴公式：，，即， ，，错误；，，，正确； 当时，代入函数得， 从图象上看，这个点在抛物线上位于轴上方，此时，即：，正确. 【变式3】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴上，∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，故①错误； ∵抛物线与轴的一个交点横坐标在之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点横坐标在之间，∴当时，，即，故②正确； 由图象可知，当时，，∴，∴， 由图象可知，当时，，当时，， ∴，，∴，∴，∴，故③错误； ∵，，∴，即，故④正确；综上，正确结论的个数为． 题型11 用待定系数法求解析式（三种形式） 【典例1】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象交轴于，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】这个二次函数的表达式为 【详解】解：已知二次函数的图象交轴于，且经过点， 将点和分别代入中，得：解得，． 所以二次函数的表达式为． 【变式1】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【详解】解：由题意设该抛物线的函数解析式为， 将点代入上式，得，∴该抛物线的函数解析式为． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：将代入，得 ，解得，∴该二次函数的表达式为． 【变式3】（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的表达式为， 将、、三点坐标分别代入表达式，得：， 把代入后两个方程，得：，得，解得， 将代入，得，解得，所以这个二次函数的表达式为． 题型12 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：把代入抛物线，得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则，∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵，∴，∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得，∴直线的解析式为， 把代入，得，∴， 此时的周长． 【变式1】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C，(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为直线 ，即 ，∴抛物线解析式可写为， 将点 代入抛物线解析式得，解得， 抛物线解析式：，展开得一般式：． （2）解：如图，连接，交对称轴于点，则，此时最小，， 抛物线的解析式为，其对称轴为直线， 当时，，，又，设的解析式为， ，解得：，的解析式为，当时，，， ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得，抛物线的解析式为； （2）如图，连接，，，，，， 抛物线的对称轴为直线， ，，，关于抛物线的对称轴对称，， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，设直线的解析式为，将、两点代入， 得，解得，直线的解析式为， 当时，，当点的坐标为时，的周长最小． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； 【答案】(1)(2)，，(3)点的坐标为 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 得，，解得，∴抛物线的解析式为； （2）由得对称轴为 ∵点，关于对称，∴，设 ∵ ∴，即 ∴ 当时，解得， 当时，解得，∴，， （3）如图：连接与对称轴为的交点为点，此时最小， 故的周长最小．设直线的解析式为， 将，代入解析式得，解得， ∴当时，，∴点的坐标为； 1．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为，∴其顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线． A．∵，∴抛物线开口向上，说法正确；B．顶点坐标为，不是，说法错误； C．∵，即点与点关于对称轴直线对称，∴，说法正确； D．∵当时，随的增大而减小，∴当时，随的增大而减小，说法正确． 2．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限；分析选项可得，只有D选项符合题意． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，∴ 抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为,即y 轴 故选：C 4．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【详解】解：∵中，∴开口向上，A正确； ∵∴顶点坐标为，∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为，得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误．故选：B． 5．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线方程为，∴对于点，， 对于点，，∴，，∴．故选：A． 6．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，将其代入二次函数中，解得， 所以，当时，，即二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 7．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值3 D．顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：A、∵在中，二次项系数，∴开口向下，原说法错误，不符合题意； B、由解析式可得对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； C、∵函数图象开口向下，顶点坐标为，∴函数有最大值3，原说法错误，不符合题意； D、由解析式可得顶点坐标是，原说法正确，符合题意． 8.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的最大值为（     ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：，∴该函数图象的顶点坐标为， ∵，∴二次函数的最大值为9． 9．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【答案】 【详解】解：∵，∴将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为． 10．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下，故答案为： 11．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 12．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式．(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】(1)（2）略 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； (2)解：点不在抛物线上，理由如下：将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 13．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线． (1)将化成的形式；(2)写出抛物线的开口方向和增减性． 【答案】(1) (2)开口方向向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【详解】（1）解：； （2）解：由可知，、对称轴为，抛物线的开口方向向下； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 1（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，∴抛物线的对称轴为直线， ∵，∴抛物线开口向下，∴到对称轴的距离越大函数值越小， ∵点，，与对称轴的距离分别为：，，， ∴． 2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大,抛物线开口向上，即，解得． 3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 【答案】A 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符；由上可得，h的值是6或1． 4．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于任意实数，抛物线的顶点一定在（     ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．抛物线上 【答案】B 【详解】解：，∴ 抛物线顶点坐标为 由，得，即顶点在直线上． 5．（26-27九年级上·新疆·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线，则 C．最大值为 D．时，随增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于A，由题知二次项系数为，开口向下，故A错误； 对于B，对称轴为直线，故B错误； 对于C，二次函数开口向下，最大值为，故C正确； 对于D，时，随增大而减小，故D错误． 6．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定，∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为，将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确；综上，正确结论为①②④． 7．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线的开口向上，∴，∵，∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴，∴，∴，故①错误； ②∵对称轴为直线，∴，∴，故②正确； ③∵时，，∴，③正确． 8．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为直线，，即，∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方，∴，∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线，∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下，∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且，∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确；综上所述，正确的结论是①④⑤． 9．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，；当时，；当时，． 故的取值范围为．故答案为：． 10．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数关于轴对称的图象的函数解析式为_________________，关于轴对称的图象的函数解析式为_________________． 【答案】 【详解】解：根据平面直角坐标系的性质，若两个点关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设新图象上任意一点为，则其关于轴对称的点在原函数图象上， 将点代入原函数解析式得到，整理得； 若两个点关于轴对称，则它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数， 设新图象上任意一点为，则其关于轴对称的点在原函数图象上， 将点代入原函数解析式得到，整理得． 11．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：∵函数∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 在中：当时，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为，∴∴，不符合题意，舍去； 在中：当时，当时，函数的最小值为， ∴解得或（舍去）； 在中：当时，y随x的增大而减小，当时，函数的最小值为， ∴∴，不符合题意，舍去；综上所述，． 12．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）；(2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(2)(3)或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴把，代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为；∴抛物线的对称轴为， 把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵轴，∴点与点A的纵坐标都为1； ∵抛物线的对称轴为直线，∴两点关于直线对称， ∵，∴两点与对称轴的距离为，∴, 把点代入抛物线得：，解得：； （3）解：∵，∴， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，则，解得：，， 当，时，取得最大值，∴，解得或， ∵，∴，∴； 当，时，取得最大值，∴，解得或， ∵，∴， 综上，符合条件的的值为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $