1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系

课  型

新授课

课时数

1

授课时间

第___周第___课时

教学目标

（学科核心素养）

1．理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集的概念，能识别并写出给定集合的子集与真子集；

2．能用韦恩图（Venn图）表达集合之间的关系，体会直观图示在理解抽象概念中的作用；

3．了解空集的含义，掌握空集的特殊性质，会运用空集的性质解决有关问题；

4．经历类比实数关系探究集合间关系的过程，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养。

教学重点

集合之间包含与相等的含义，能用集合语言表达集合间的基本关系。

教学难点

对空集的理解；区分“属于”与“包含”两组概念及其符号表示。

教学方法

启发引导    合作探究    讲练结合

教学过程

一：复习检测（导入新课）

（一）复习回顾

1．集合有哪两种常用的表示方法？（列举法、描述法）

2．元素与集合之间有哪几种关系？分别用什么符号表示？（属于、不属于）

3．集合中的元素有哪三大特性？（确定性、互异性、无序性）

4．常用的数集有哪些？（自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集）

学生活动：学生独立回顾后举手口答，教师板书关键符号并适时纠正。

设计意图：检测上一节集合的概念、表示方法及元素与集合的关系，为类比探究集合与集合之间的关系做好铺垫。

（二）情境导入

备注

（二次备课）

问题1：实数之间有相等、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3。类比实数之间的关系，集合之间是否也存在类似的关系呢？

学生活动：让学生自由发言，教师不急于作出判断，引导学生一起观察、研探。

设计意图：借助实数关系的已有经验类比提出问题，制造认知冲突，激发学生探究集合间关系的兴趣。

二：探究新知

1．子集的概念

观察下列两组集合，它们的元素之间有什么关系？

（1），；

（2），。

学生发现：第一组中集合的每一个元素都是集合的元素；第二组中每一个四边形都是多边形。

定义：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集（subset），记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）。

符号语言：任取，都有，则。

韦恩图（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合。如图1①所示，可用一个大圆圈内部包含一个小圆圈来表示。

图1  子集、真子集与集合相等的韦恩图

2．集合相等

问题2：如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，同时集合中任意一个元素都是集合中的元素，那么与之间是什么关系？

定义：如果且，则集合与集合相等，记作，即：

⇔ 。

例如：，，两个集合的元素完全相同，所以。

3．真子集

定义：如果集合，但存在元素，且（即），就称集合是集合的真子集，记作（或），读作“A真含于B”（或“B真包含A”）。如图1②所示，元素在中但不在中。

4．空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。例如，方程没有实数根，它的实数解组成的集合就是空集。

规定：空集是任何集合的子集，即；空集是任何非空集合的真子集，即若，则。

5．子集的性质

（1）任何一个集合都是它本身的子集，即；

（2）对于集合、、，若且，则（包含关系的传递性）。集合相等关系与真包含关系也具有传递性。

教师活动：引导学生对照韦恩图，用子集的定义说明上述两条性质。

设计意图：让学生经历“观察—归纳—抽象—表达”的概念形成过程，借助韦恩图直观辨析子集、相等、真子集与空集。

三：体验发现

【探究1】设，，，、、之间有什么关系？

解：由三个集合的元素可知，，由传递性得；且均为真包含，即。

【探究2】符号与的区别是什么？

辨析：表达的是元素与集合之间的从属关系；表