专题14 同角三角函数的基本关系及诱导公式（竞赛培优专项训练+9大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14同角三角函数的基本关系及诱导公式 目录 A组题型专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01求其他三角函数值 题型06利用诱导公式求值 题型02弦化切问题 题型07利用诱导公式化简 题型03关于sina±cosa,sina cosa“知一求 题型08利用诱导公式证明 二”问题 题型04利用同角三角函数关系式化简 题型09同角三角函数关系与诱导公式的综合 题型05利用同角三角函数式证明 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛、强基试题10道） 【熟记重要结论（二级结论）】 同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin a=tan acos a. (2)sin2a=1-cosa=(1+cos a)(1-cos a). (3)cos2a=1-sina=(1+sin a)(1-sin a). (4)(sin atcos a)2=1+2sin acos a. 1 1 1+tana= -=sec2 a 1+cota= csc2 a (5) cos2a sin2a A组 考点专项过关练 题型01己知一个三角函数值求同角的其他三角函数值 1 1.若a∈(0，x)5cosa=4,则sina tana =() 29 A.3 B.3 C. 12 D.-3 【答案】A 【解析】因a∈(0，，5cosa=4→cosa= 5 1/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则 3,tana=sina=5-3 sina >0,sina=v1-cos2a= cosa 4 41 1 154 从而sinc& +-=3 tana 33 故选：A 2.在平面直角坐标系x0中，角。和B均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若sima=5 ,则 () A.sinp=5 5 B.cosp=25 C.tanB=2 D.tan-2 1 【答案】A 【解折】由条件可，B=a+(2k+1)怀ke2'sina-5,则casa=士V-sma=±25 所以simB=sin[a+(2k+1)]=-sina=-5 ,故A正确： cosB=os[a+(2k+1)π]-cosr=±2y5 5,故B错误： tanB=sinA =士二 Cos B 2,故CD错误 cosa 3.己知 cosa-sina =5,则anw=（） A.1-3 3 8.1+5 3 C.1-3 D.1+5 【答案】A cosa 【解析】因为cosa-sina V5 cosa-sina 则 cosa =1-tana= 3,所以ana=l- 3 4.在aABC中，sin4-co4=17 3,则tanA= 5 12 【答案】12或-5 2127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17 【解析】已知sinA-cosA= 将等式两边半方：到6m4-o-侣 化简得l-2 sinAcosA= 289 169,解得sin4cosA=- 60 69 17 在aABC中，A∈(0，)：sinA>0:又sinM-cosA= 3’∴.sin4>cosA .'sinAcos 4=-- 60 1690. cosA<0:则角4是钝角， 而(sin4+cosA4)}°=1+2sin4cosA=1+2x60_49 169169,则sin4+cos4= 13 当sin1+cosA= 13时，联立sin1-cosA=17 13 解得sin4=12 3,CosA=、5 F13,则tan4=sim4、12 COsA 5 当sinA+cosA= 13时，联立sin4-cosA=17 7 13 13,cos4=-12 解得sinA= 3,则tan4=-5 121 综上所述，tanA= 512 12或-5 题型02“弦化切”问题 sine+cos 5.（多选)已知角e终边上P(x,2x-3列，(x≠0)，且tan8=-x,则sin0-cos6的值可能为（）· A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】AC x,故x 【解析】由于m0=3.故x-3-x,解得x三3或x 3P八3期0-8g2 sin0+cos0 tan0+1_-1+1 -=0 当x=1时，P(1,-l)则tan0=-1'sin8-cos0tan0-1-1-1. 故答案为：3 5 sina+2cosa 6.已知tana=2,且a为第二象限角，则29ina二Cosa的值为 3/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【路】日 【解析】因为c为第二象限角，所以cosa≠0. sina+2 将所求分式的分子、分母同时除以 sina+2cosa=cosa tana+2 ，得2sina-cosa2.sina-1 2tana-1' cosa cosa 19 +2 12 12 19 参 5代入上式：原式= 一= 5 11 22 tana=- 2×1 -1- 12 12 6 sin+cos3sin-3sinacos 7.己知sina-cosa 【答案】-5 sina+cosa 【解析】由sina-cosa =3 tama+↓-3，解得ana=2” 可得ana-l 所以sin2a-3 sina cosa= sin2a-3sin a cosa tan2a-3tana4-62 sin-a+cos-a tan2a+14+15’ sin'a+1 8.设tana= 2 则 sinacosa-2cos a 3 【答案】 5-0.6 1 【解析】因为tana=- 2 sin'a+l 2sin2a+cos'a sinacosa-2cos'a sinacosa-2cos2a 2× +1 2tan'a+1 2 3 tand-2 1 -2 5 5 2 2 3 故答案为： 5 9.已知角a为第二象限角，且os- 5 (1)求sina和tanc的值； 4/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sinacosa (2)求2cosa-sin'a的值： sina+tan(nta)+2cos(a-x) (3)化简并求值f()= 2 cosa-sin(-a) 【解析】(4)因为角。为第二象限角，且c0s=-5 2V5 所以 /5 ina=v1-cos2a 2v5,tana= sina=5 =-2 cosa 5 (2)因为c0sa= 5 +0 sin a cosa sina cosa cosa tan a -2 所以2os2a-sn2a2cosa-5in2a2-（ana2-(-2y1 cos2a (3)因为c0sa=- ≠0」 5 sina+ tan(π+a)+2cos(a-π) 所以f(a) 2 cosa.tana-2cosa sina-2cosa cosa-sin(-a) cosa+sina cosa+sina sina-2cosa cosa tana-2_-2-2 =4 cosa+sin a 1+tana1+(-2) cosa 所以f(a)=4. 题型03关于sina士cosa,sina cosa“知一求二”问题 10.在A4BC中，若sn=- 3，则cosA-sinA的值为() √15 A. 3 3 c 【答案】B 【解析】(cosA-sinA)=cos2A-2 sin AcosA4+sim2A=1-2 sin Acos4=1-2 3 因为A∈(0，)，所以sinA>0, 5/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又sin AcosA<0,故cosA<0,即cosA-sinA<0, 因此cosA-sinA=-V 3 1.(多选)已知0∈(0，，sin0+cos0= 5,则下列结论正确的是() A.De B.cos0 c.m0 D.sin0.cos0=_12 5 【答案】ABD 【解析】因为sin0+cos0= 5，sin20+cos20=1 所以(sin6+cos0)}=sin20+cos20+2sin0cos0=1 25 解得sin0cos0=-12 <0,则sin9和cos0符号相反。 π 因为0∈(0，)所以8e2, 则sin0>0'cos0<0 (sin 0-cos0)sin0+cos-2sin0cos049 5 因gin0-cos0>0:则sin0-cas0=7 5 将其与i血0+cos0=写联立，可得sm0-年 1 5,cos0=-3 所以tan8=sin0、4 cos0 3 综上，选项A、B、D正确，选项C错误 (多选)已知sin8+cos9=-8∈(0，π，则下列等式正确的是( A.0e B.sincos0=12 5 C.sin0-cos0= 5 D.sin'0-cos20=-7 5 【答案】ACD 【解析】选项A:已知8e(0,π)，因此sin0>0, 1 将sin8+cosB=-5两边平方得：(sin0+cos)=sin0+2sin8cos0+cos'0=l+2sin8cos0= 25 6/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得sin0cos0=- 250. 因此cos0<0故0∈（写），A正确 选项B:由上述i计算得sin0cos0=-12≠12 2525,B错误： 选项C计算(sin8-os02=1-2sin0cos0=1-2x(3)=49 )= 2525 因为sn0>0cos0<0,故in0-cos0>0,开方得sin0-cs0 5,C正确： 选项D:利用平方差公式分解：sin0-cos0=(Sin0-cos)(sin8+cos)=5×=-25,D正确 13.(多选)设a∈(0，)，已知sina,cosa是方程3x2-x-m=0的两根，则下列等式正确的是（) A.m=3 B.sina-cosa=- 17 J C.tana=13 7 D.cos2a-sin2a=- 17 9 【答案】AD sina+cosa=3 1 【解析】已知 是方程 的两根，则有 m sina·cosa= sina cosa 3x2-x-m=0 3 (sina+cosa)=sin2a+cos2a+2sina.cosa=1+2sina.cosa, 得g12m 一。解得m=子，故A正确； 又aE0,,则sng>0又sna-cosa=g=-g<0,所以casg<0了 417 (sina-cosa)=sin'a+cosa-2sina-cosa=1-2x V17 又sina>0'cosa<0:所以sina-cosa>0'则sina-cosa= 3， 故B错误； 1 sina +cosa = sina=1+17 3 6 又 7,解得 1-17' sina-cosa coSa = 3 6 7127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+17 所以tana&= sina 6 1+V17_9+7 cos&1-V171-V17 8一，故C错误： 6 所以cos'a-sin2a=(cosa-sina)(cosa+sina) 171 33 9,故D正确 故选：D 1 14.(多选)己知a为锐角，且cosa-sina=5,则下列选项中正确的有() 12 A.sina cosa= 4 25 B.tang=3 7 C.cos"a-sina= 25 D.sina+cosa= 【答案】ACD 1 【解析】(cosa-sin☑=1-2 sn=25,解得sin= 1 25,A正确： (sina+cosa)=1+2sin a cosa= 49 7 25,又a为锐角，所以sina+cosa= 5 则cosa=4 令，simc=5,tana= 4,B不正确，D正确： cosa-sinsna)(cosa-sina)(cs+sin) 25,C正确， 15.(多选)已知cos0是方程3x2-x-2=0的根，且a是第三象限角. sina+3 cos(3n cos +atan2(π-a） 2气2 (1)求 cos 的值； (2)已知sinx+cosx=- 0<动，求s血的性 【解折】a)由方程3x-文-2-0：因式分郸(3x+2-)-0,解得x1或=子 因为a是第三象限角，所以cos<0:故cosa=号 3 由此可得sina=-V一cos'a=-5 2 利拥清号公式化简原式a+）n智小a,货+小ma 2 8/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mg-aj=-aana-a=ma,s经+asna,sn(经a-cwa. 3π sin -a+ cos 2 (3r+atan2(π-） 2 (-cosa)(sina)(tan2a 所以 )-tr'a- cos 2+ (2e (-sina)(cosa) 7 49 (2)已知sinr+cosx= 两边平方得(sinr+cosx)}=1+2 sinxcosx 7) 13 所以2 sinxcosx= 49-1=-120 169 1691 =cost-sing(cosx-sin )=1-2sinrcos=1 120 289 169 169, 所以1=t 13 因为0<x<π，所以sinr>0, 又因为smr+eosx=名<0，所以osr<-snr<0 7 17 因此cosr-sinr<0,故cosr-sinr= 13 题型04利用同角三角函数关系式化简 16.若a0,2) 2 1 则 sin'a cos'a 的最小值是() A.3+√2 B.4 C.3+22 D.3 【答案】C 【解析】因为sina+cos2a=1,所以 2 1 2 1 sin'a sin2a cos2a (sina+cosa)=3+2cos'a sina sin2a cos2a' 因为0 所以0<sin2a<1,0<cos2a<1' 2 1 所以根据基本不等式的性质可得 32c0sin2coasina sin2a cos2a sin2a cos2a sin2a cos2a 当且仅当 2cos2a sin2a sina cos-a ,即am2a=5时，等号成立， 2 1 此时sin2a+cos2a取最小值为3+2√2 9/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 1+sina 5 17.已知 1-sina V1+sina 1-sina 则cosa= 【答案】5 【解析】因为a∈-22，所以1±sina>0,cosa>0' 1-sina 1+sina (1-sina)2 (1+sina) 1-sina 1+sina 2 25 所以 \1+sina 11-sina 1-sin2a 1-sin2a cosa cosa cosa cosa 2 4 所以cosa&= 5 故答案为：5 1+cose 1-cose 8若p为第三象限角，且tan(t+0)三)：则cos V1+cose 【答案】25 【解析】由tan(π+e)=- 2,知tan0= 1 2, 1+cos0 1-cos0 /1+cos0)2 (1-cos0)2 1+cose 1-cose V1-cose V1+cose V1-cos20 +1V1-cos20 sine sin 因为0为第二象限角，所以sin8>0,且-1<cos0<0, 2 所以原式=sin日， 又tan0= 1 sin 2cos日，且 n0+cos20=1联立两式可得sin0= 5· 所以原式=25 题型五利用同角三角函数关系式证明 3 1-cosa 19.(1)若2π<a<2,化简+c0sa 1+cosa 11-cosa tanasina tana+sina (2)求证：tana--sina tanasina cos4 sin4 cos'B sinB (3)己知cos2Bsin2B 1,求证： =1 cos24'sin24 10/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 【解析】(1)因为2π<a<2r, cosa >0'sina<0' 所以 1-cosa 1+cosa V(1-cosa) V(1+cosa)2 1-cosa,1+cosa_ 2 V1+cosa V1-cosa 1-cos2a 1-cos2a -sina -sina sina tanasina tana+sina (2)证明：要证tana-sina tanasina 只需证：tan'asin'a=(tana-sina)(tana+sina）=tan2a-sin'a, sin'a sin'a 只需证： -sin'a cos a cosa 只需证： sin'asin'a-sin'acos'a sin'a(1-cos'a) 即证： sin'asin'a cos2a cos a cos a cos'a cos'a tanasina tana+sina 显然上式成立，故anau-sina 成立，得证 tanasina (3)证明：由 cos sin cos2B sin2B 得：cos4Asin2B+sin4Acos2B=cos2Bsin2B, (1-sin24)'sinB+sin'Acos'B-cos'Bsin2B=0, (1-2sin24+sin4)sin2B+sinAcos2B-cos2Bsin2B=0 sin2B-2sin2Asin2B+sinAsin2B+sin'Acos2B-cos2Bsin2B=0, sin2B1-cos2B）-2sin2Asin2B+sin4A(sin2B+cos2B）=0,即sin4B-2sin24sin2B+sin‘A=0,则 (sin2B-sin24)=0, 得sinB=sin2A,再由平方关系得，cos2B=cos2A, cosB sinB 代入 os2A+sin2A得cos2B+sin2B=1即 cosB+sinB-l,得证。 cos24'sin24 20.证明下列恒等式： (1)sin'a+sin'acos'a+cos'a =1: cos2a-cos2B (2) =sin2asin2阝. cot'a-cot'B cosx 1+sinx (3)1-sinx cOSx· 【解析】(1)sina+sin2acos2a+cos2a 11/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =sin'a(sin'a+cos2a )+cos2a sin2a+cos'a =1: 2)因为(cot'a-cotp)sin'asin2p =cos2asin2B-sin2acos2B =cos2a1-cos2p）-(1-cos2a）cos2p cos2a-cos2acos2B-cos2B+cos2acos2B =cos2 a-cos2 B, 所以 osa-co=sinasinB cot2a-cot2B cosx (3)1-sinx cosx(1+sinx)cosx(1+sinx)1+sinx 1-sinx cos2x cosx 题型05利用诱导公式求值 21,已如sm(x+a)-ae0生 2 ana=() 则 4 3 A.3 B.- 4 0. 3 【答案】C 【解折】由血(c+小子初ma=子即sna-号 可知 所以tana=点-3 4=4 5 2,角。终边过点p,-24则ma-}m(+四)=（) 31 31 17 A.-25 B.25 C.25 17 D.-25 【答案】A 【解析】a终边过点P(7,-24),则r=V72+(-24)}=25, 12/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25,sina=2、_24 c0sa=t、7 Γr25 sina-π -sin(+a)=-cosa+sina=- 7,24 31 2 2525 23.“sina=cosB”是“sin(a+P)=l”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解折】取a-看月=子光时满足如a0:可得a+月=名则n(a+川=弓 所以若sina=cosB,则sin(x+P)-l不一定成立，所以充分性不成立： 反之：若sna+例=1，可得a+月=2版+经ke乙，即a=2a+经keZ, 则sina=sin(2a+-)=sin(号-)=cosB,所以必要性成立， 所以sina=cosB是sin(a+B)=l的必要不充分条件. 24.已知sim(Bx+a）分a∈(2)，则m(226a-a)=() A.-5 B.、3 C._V3 2 3 【答案】C 【解折】由于snBx+a)=sn+a）=-sna号，故如a= 3元 结合a∈元，2) 得a=7 6 因此tan(2026π-a)=tan(-a)=-tana=-ta n7-tam-5 63 25.若m2+a5则s后-a() A、22 3 3 c 0.3 【答案】D 【解1m任-a-ow[任+小sm(g+a 13/27 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.设f(x)=asin(x+a)+bcos(x+B)+3,其中a,b,a,BeR,若f(2027)=5,则f(2028)=() A.-5 B.7 C.-1 D.1 【答案】D 【解析】f()=asin(xr+a)+bcos(xr+B)+3,其中a,b,a,BeR, 若f(2027)=5,则asin(2027π+a)+bcos(2027π+B)+3=-asina-bcosB+3=5, ∴.asina+bcosB=-2,∴.f(2028)=asin(2028π+a)+bcos(2028π+B)+3 =asina +bcosB+3=-2+3=1. 故选：D 题型06利用诱导公式化简 27.下列式子中正确的是() A.sin(π-a)=-sina B.cos(+a)=cosa C.cosa=sina D.sin(2+a)=sina 【答案】D 【解析】对于遮项A,令口=子，得sn(红-a)=加于-1上血子，所以A错误： 2 对于选项B,令a=0,得cos(π+)=cos=-1≠cos0,所以B错误： 对于选项C,令a=0,得cosa=cos0=1≠sin0,所以C错误。 对于选项D,根据三角函数诱导公式可得sin(2r+a)=sina,故D正确. π cos a-2 28.化简5 ,sin(a-)cos(2r-)的结果为（) sin (2 +a A.sin2a B.-sin2a C.cosa D.-cos2a 【答案】B sina 【解析】原式= -.(-sin a).cosa=-sin2a cosa 故选：B. 29.3keZ4-B+经+2”是“coa+mg-=0”的《） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 14/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解折】当a=B++2，kZ时.cos=coB+经+2ceB+引-sim, 所以cosa-+sinB=0, 当a=A号-2a,kzt.oa=onA-号2c）ma-引m8+引-ma, 所以cosa+sinB=0 所以由“3keZa-B+子+2可以推出“cosa+A=0”: 当cosa+smg=0时，cosa=sinB=coB+》 所以a=B++2,2或a=-8+号}2， 即3nza=++2m 所以由“ osa+0=0”可以指出3keZ4=B+受+2： 故ke4a=6++2 ”是“cosa+sinB=0” 的充分必要条件。 故选：C 3 30。已知圆，是单位圆，锐角。的终边与圆。相交于点P二，m 将射线。D绕点。按逆时针方向旋转。 OP 后与单位圆相交于点B. (1)求m的值： 3sin(n-a)+5cos(2n-a) 记点B的横坐标为f0,若f(o日求m(0-+cox0+爱的值 【解折】四解：由顺o是年位圆。整角。的终边与调0相交于点网。 可得cosa= 15/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V3sin(π-a)+5cos(2m-a）3sina+5cosa V5x+5x5 2 (2)解： 2=-2 2in-a）-5cosa-7 -2cosa-/3sina2x3 1 -V3× 2 (3)解：因为2为能角，且c0sa= 2，可得a= 6 将射线OP绕点O按逆时针方向旋转8后与单位圆相交于点B, 则点B的横坐标为f(O且f(@)号，所以(0)=co0+ 61 3 则sm0-争+om0+7爱=in0+g+caw0:若+刘=-o0+月-om0+2=-20+爱=-号 6 62 6 题型07利用诱导公式证明 31.证明：sin(217°-a)cos(a-127）+cos2(127°-a)tan2(53+a)=1, 【证明】sin(217°-a）=sin[180°+(37°-aw)]=-sin(37°-a) cos(a-127）=cos(127°-a)=-sin(37°-a),cos2(127°-a)=sin2(37°-a）, a-8 cos2(37°-a) sin2(37°-a) 故等式左边=sin2(37°-a)+cos2(37°-a）=l,等式成立. 32.己知sin(a+B)=l,求i证：tan(2a+p)+tanB=0. 【证明】由如a+)=1.得a+A=2x+号(keZ),则a=2a+号B(keZ), 2 因此tam(2a+A)+anB=ian2(2+7-)+月+iamB =tan(4kπ+π-2B+B)+tanB=tan(4kπ+π-B+tanB tan(-B)+tanB=-tanB+tanB=0 所以原等式成立 2sin(an)oos(a)cos 33.证明：sin(a+nm)+sin(a-nr) 【证明】当n为偶数时，令n=2k,k∈Z, 2sin(a+2k)cos(a-2kz)_2sinacosa2sinacosa=cosa 左边=sim(a+2kπ)+sim(a-2kr)sina+sina 2sina 右边=(-l)必cosa=cosa,“左边-右边. 16/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n为奇数时，令n=2k-1,k∈Z 2sin(a+2kπ-π)cos(a-2kπ+π) 左边= sin(a+2kπ-π)+sin(a-2kπ+π） 2sin(a-r)cos(a+π) sin(a-π)+sin(a+π) 2(-sina)(-cosa)2sinacosa =-cosa (-sina)+(-sina) -2sina 右边=(-1)2cosa=-cosa,左边=右边： 综上所述， 2sin(a+n)cos(a-mz）-(-l°cosa sin(a+nz)+sin(a-nz) n∈2成立. 题型09同角三角函数关系式与诱导公式的综合 34.已知 1则一 3π =() tan a= 2-asin(-a) sin A.3 B.-1 D.1 【答案】B cos(-a-3os+ -cosa-3(-sina)-cosa+3sin a 【解析】 3 sin 2-a-sin(-a) -cosa-(-sina) -cosa+sina' -1+3tan a 分子分母同除以。s cosa得：-l+tana,代入amas 29 11 -1+3× -1+3tana 2-2 -1+tan a 7-1 -1+ +22 sin a =4 35.已知sin(π+a+cos(π-a4，则 ana=（） A.3 8.5 4 C.3 D.-5 【答案】D 【解析】由题可知cosa≠0， 17/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sina sina sina cosa tan a 所以sin(元+a)+cos(π-a)-sina-cosa =4 sina cosa-tana-1 cosacosa 4 解得tana=- 5 co+a）cos(7-a) 36.若元则 n(2025r-a）sin(2 π 一的值为() Q= +a) 6 A 2 c 5 0.2 【答案】B cos(a+a)cos((2-a）四 -cosa·sina 【解析】由元， 得 iam(225x-a）小sin(+ad -tana.(-cosa =-cosa=-cos= 6 21 Q= 6 37.化简V1+2sin(π-2)cos(π-2)得() A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.-cos2-sin2 【答案】C 【解析】因为V1+2sin(π-2)cos(π-2)-V1+2sin2-(-cos2)=√-2sin2:cos2 =sin22-2sin2.cos2+cos22=(sin 2-cos2)=sin 2-cos2. 又因为2为第二象限角，所以sin2>0,cos2<0. 所以sin2-cos2=sin2-cos2, 故选：C A 1-2a +1 1+a2 C.1-2a D. -1 【答案】B 【解析】由诱导公式得tan(3r+a)=tana,所以tana=a. 再由诱导公式snr-a)）=cosa,co 3r+m）=sin, 2 18/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =cos2a-2cosa·sina cos'a-2cosa.sina 1-2tana 1-2a cosa+sin-a 1+tan2a 1+a2 故选：B. 3 39.己知sina=一5，且a为第三象限角 (1)求cos和tanc的值； 2sin(π+a)+sin π (2)已知f(a)= π 求 的值 cos a-2 +cos(2π+) f(a) 【解析】(1)：sina=-行，且a为第三象限角， 由sin'a+cos2a= 可得， ∴.cosC=± 又，为第三象限角， 4 ∴.c0sC=- 5 tana sina 3 cosa4· 2sin(π+a)+sin (2)利用诱导公式可得：f()= π】 cos a-2 +cos(2π+) -2sina cosa sina+cosa -2tana+1 tana+1, 3 -2×+1 将 4 3代入，得fa)=3 2 7 tana= 4 1 19/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即a:号 3)因为m后+小m(昏P小-行小 cmr+s-(任小-m小 所以m日+小)号 40.在平面直角坐标系xO少y中，角α的顶点与0重合，始边与x轴的非负半轴重合，已知“的终边上一点 P(不与O重合)的坐标为(sinBtanB,sinBcosB). (1)若a为第二象限角，证明：P为第三象限角： 2)若sina= 号a求ma++sn 3 2的值： B当A(C）时，关于a的方程股 1+sina -snC=m-2斗-1有解，求实数m的取值范围， V1+sina 【解析】(1)因为为第二象限角，所以点P在第二象限， sinBtanB=sinB0.sinBcosB,sinB<0cosB cosB 所以P为第三象限角。 2②)由sina=5, 则cosa=-V1-sin2a 3 3 5 所以ana=sina 、3 = cosa 6 2 3 由三角函数的定义，可知tana= _sinBcosB cos2B 1-sin2B 2 sinBtanB sin B sin B 2 解得sinB=V2(舍去)或simB=-y5 2 由（④）知，。为第三象限角，则osB=V-sinB=--2 20/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则am(a++snB+ ）-ma+osB=-5_2.-2 22 3)当Be62)时， 7π3π sinB<0,cosB<O,tan B>0' 则sinBtanB<O,sinBcosp>0,即点P在第二象限，则a为第二象限角， 所以sina>0,cosa<0 1+sina 1-sina (1+sina)2 (1-sina)2 则1-sina V1+sina sina)(1+sina) V(1-sina)(1+sina) 2 (1+sina (1-sina) 1+sina 1-sina=_2sina=-2tana. cos2a cos-a cos a cosa cosa 又tana= sinBcosB 1-sin2B 1 sinBtanB sin B sin B -sin B. 则tana=-, 因为函数=在)上单调港减。 所以tana= sin B 1+sina 1-sina 则1-sina =-2tana∈(0,3)， V1+sing 1+sina 1-sina 由题意，关于a的方程V-sind \1+sina =m-2-1有解， 则m-2-1∈(0,3)，即m-2∈(，4)，解得-2<m<1或3<m<6, 则实数m的取值范围为(-2,1)U(3,6) B组 选拔真题冲奖练 1.(2024湖南株州“同济大学杯”数学竞赛)利用诱导公式可将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角 的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则 tan890°的值约为() 10 20° 30° 40 50° 60° 70° 80° 21/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sina 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A.-0.18 B -0.14 C.0.14 D.0.18 【答案】A 【解析】tan890°=tan(5x180°-10)=tan(-10) =-tanl0°= sinl0° cos10° =-sin100 sin80° 0.1736 ≈-0.18 0.9848 故选：A 2.(2024山东滨州学科素养数学竞赛)湖南株州“同济大学已知cos30°=a,则sin240°tanl50°的值为 () A.1+a B.v1-a2 c.-v1-a2 D.-V1+a2 【答案】B 【解析】因为sin240tanl50°=sin(270-30）tan180°-30)=(-cos30)(-tan30)）=sin30°， 且cos30°=a,sin30°>0， 所以sin240°tanl50°=sin30°=V1-cos230°=V1-a2 故选：B an+an,=sn2x+simy,则gn6my的最大值为（） 3.(比京大学博雅计划)已知1+tan2x+tan2y 1 A.0 B.4 C② 2 D.前三个答案都不对 【答案】A 【解行】由超意可得，y的取值花国的是口a≠：+受kc乙 所以sin2x<l,sin2y<1, 解法一： 记sin'x=m'5n2y=n,则am2x=snm 1-sinx-1-m tan'y= n 1-n 22/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m n 于是等式可化为 1-m 1-n=m+n,m+n-2mn=m+n + n 一十 1-m1-n 1-mn 整理得mn(m+n-2)=0,解得m=0或n=0或m+n=2 若m+n=2,则sin2x=sin2y=l,不符合题意： 因此sinx=0或siny=0,此时sinx.siny=0」 解法二： 令a=tan2x≥0，b=tan2y≥0， 则sin2x=, sin2x tan'x a sin2x+cos2x tan2x+1 a+1'sinvs. b+1 a+ba,b、a b a+b 于是等式可化为1+a+b1+a1+b1+a+b1+a+b1+a+b 故a=0或b=0,进而有sinx~siny=0. 故选：A 4.(多选)(2024河北保定数学竞赛)下列正确的命题是() 5元 A.Ig sin =0 B.若f(eos)=os2x,则f6m30)= 2 C.若ma+a)=,则m(4-e小=司 sin(a-n+cos(-0）-3 D.若tan(r+a)=2,则sin(r+a)-cos(元-a) 【答案】ACD 【解折1对于A项。m(到》-m》-1-0,故A项正商 对于B项，因为f(eos)=cos2x,所以/心sn30)-cos60)=c0s120=号，枚B项错误 1 1 对于C项，因为sin(π+a)=-sinw=-2,所以sina=2, 所以sin(4r-a)=sin(-a）=-sina=-,枚c项正确； 对于D项，因为tan(π+a)=tana=2 23/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(a-t)+cos(n-a)-sina-cosa sina+cosa tana+1 2+1 所以n+2)Co-ana+os&ma-cos&ana-23,故D项正确 故选：ACD 5.(2026广东江门高一数学竞赛)人脸识别技术为生活带来很多便利.在人脸识别中检测样本之间的相似度 主要应用余弦相似度.若二维空间有两个点A(,),B(x,),则余弦相似度为： cos(4,B)=x+yX 爱+了V+片买+开'+巧，已知点M6ina,cos,N(sin B.,cosm' CsmA-as:若aM.)-5aM,Q)-子则m&nA- 【答案】-3 【解析】由题， cos(M,N)=- sinasin B+cosa cos B sinasin BcoB-sinasincc sin2a+cos2a.sin2 B+cos2 B 1×1 5,① sinasin B-cosa cos B sin asin B-cosa cosB-sina sin B-cosacosB 2 cos(M,O)= sin2a+cos2a.sin2B+(-cos B) 1×1 5,② 3 则①.②得，2 sinasin B= 5 ①_②得，2 cosB=-1 3 所以tan a tan B= 2 sina sin B_5」 =-3 2cosacos B 1 5 x+siny 2027 6. (2026贵州贵阳高二下竞赛)已知实数x'y满足：1x+2025c0sy=2026( 0≤ys 则x+2cosy= 【答案】2026 【解析】由方程组得siny=1+2025cosy 因为0≤ys 2，则1+2025cosy≥1且siny≤1 故得c0y=0,代入x+2025c0sy=2026可得x=2026, 故x+2c0sy=2026 7.(2024海南海口实验中学学科竞赛)己知点P(4,2),过点P的直线1与x轴、y轴的正半轴分别交于 A,B两点，O点为坐标原点，则△AOB的周长的最小值为 24/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20 【解析】设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0, 设∠OBA=a,aE 02】 O4=a=4+2tana,OB=b=2+4 AB=4 >、2 tana' sina cosa' △AOB的周长L=OA+AB+B0=6+4 42 -+2 tan a+ tan a sina cosa 4 4tan =6+ 2 4 2 2tan 1-tan2a 2tan a 2 1-tan2a 1-tan2 1+tan2 1+tan2 2 2 4 =4+ tml-tam 2 x(1-x) 当且仅当x=1-x,即x=2时，周长取最小值20， 8(204四川直宾商中数学联赛初赛)知面货/)-e人++2子2(6eR).若 30e0,3 使关于g的不等式f(2sin0cos0)+f(4-2sin0-2cos6-m)<2成立，则实数，m的取值范围 是 【答案】(2，+∞) 【解析】对于f(x),x∈R,定义域关于原点对称， 因为f(到i++222+ei-222 10g21上2.2-2+4=2，所以f)的图象关于0,1)对称 因为y=1g,(+F+小=2子1在0，+网)上单调道地。 2 所以f(x)在(0，+o)上单调递增，可得∫(x)在x∈R上单调递增， 因为f(2 sincos0)+f(4-2sin0-2cos0-m)<2, 25/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以f(2sin0cos0)<2-f(4-2sin0-2cos0-m）<f(4+2sin6+2cos0+m), 因为f(x)在x∈R上单调递增，所以2sin0cos0<-4+2sin0+2cos0+m, 即30∈0,8 3 2sin0cos0+4-2sin0-2cosm 成立， y=2sin0cos0+4-2sin 0-2cos0 0e0, L3 即求)=2n6cs6+4-2sin0-2cos0在0e0写 上的最小值， =sin0+cos0=2sin0+ 4 t2-1 可得t∈[1，v2],所以2=1+2sin0cos0' 即2 =sin0cos0. 令g)=2-1+4-21=(t-1}+2,1∈1，V2] 所以g(在t∈[1,2上的最小值为2， 所以m>2,即m的取值范围是(2，+o). 5 9.(2o24湖南邵阳数学竞赛尼知-元<4<0，且满足cosa+sia=- 5 (1)求cosa-sinc的值； cos B+sin B (2)若角B的终边与角。的终边关于y轴对称，求cosB-simB的值. 【解析】(1)因为-π<a<0,则sina<0, cosa+sina = 峪 联立 5,解得 25, cos a+sin'a=1 sina=- 5 则cosa=-sina=5 所以cosa-sina= 25-35 55 (2)法1：由于角B的终边与角a的终边关于y轴对称，则B=2km+元-a(k∈Z), 26/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则sinB=sin(2km+π-a)=sina= 25 5 cosB-cos(2kx+x-a)--c0=-5 从而有anB=s血B=2 cosa cosB+sin B_1+tanB=1+2=-3 所以cosB-sinB1-tanB1-2 法2：由于角B的终边与角a的终边关于y轴对称，则B=2km+元-a(k∈Z). 则tanB=-tana=- sina 2, cosa cosB+sin阝_1+tanB1+2 所以cosB-sinB1-tanB1-2 3 .1 10.(2024-湖南岳阳高二数学竞赛)已知tana=一3，计算 (1)2sincos+ (2)sinacosa 1 【解析】(1)解：由tana=-3: 1 cos2a+sin2a 1+tan2a 10 2sina cos+cosa2sinacosa+cosa 2tana+1 3 1 (2)解：由tana= 3 则sinacosa= sinacosa tana 3 cos2a+sin2a 1+tan2a 10 27/27 专题14 同角三角函数的基本关系及诱导公式 目 录 A组 题型专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 求其他三角函数值 题型06 利用诱导公式求值 题型02 弦化切问题 题型07 利用诱导公式化简 题型03 关于“知一求二”问题 题型08 利用诱导公式证明 题型04 利用同角三角函数关系式化简 题型09 同角三角函数关系与诱导公式的综合 题型05 利用同角三角函数式证明 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题10道） 【熟记重要结论（二级结论）】 同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin α＝tan α·cos α. (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α). (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α). (4)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (5)， 题型01 已知一个三角函数值求同角的其他三角函数值 1．若，则＝（   ） A．3 B． C． D．－3 2．（多选）在平面直角坐标系中，角和均以为始边，它们的终边关于原点对称．若，则（     ） A． B． C． D． 3．已知，则（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则______． 题型02 “弦化切”问题 5．（多选）已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 6．已知，且为第二象限角，则的值为______． 7．已知，则 . 8．设，则 9．已知角为第二象限角，且， (1)求和的值； (2)求的值； (3)化简并求值． 题型03 关于“知一求二”问题 10．在中，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．(多选)设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 14．(多选)已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 15．(多选)已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 题型04 利用同角三角函数关系式化简 16．若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 17．已知 ，且 ，则 . 18．若为第二象限角，且，则 ． 题型五 利用同角三角函数关系式证明 19．（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 20．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 题型05 利用诱导公式求值 21．已知，，则（   ） A． B． C． D． 22．角终边过点，则（     ） A． B． C． D． 23．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知，，则（   ） A． B． C． D． 25．若，则（     ） A． B． C． D． 26．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 题型06 利用诱导公式化简 27．下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 28．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 29．“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 题型07 利用诱导公式证明 31．证明：． 32．已知，求证：. 33．证明：，． 题型09 同角三角函数关系式与诱导公式的综合 34．已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 35．已知，则（     ） A． B． C． D． 36．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．化简得（    ） A． B． C． D． 38．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 40．在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，已知的终边上一点（不与重合）的坐标为. (1)若为第二象限角，证明：为第三象限角； (2)若，求的值； (3)当时，关于的方程有解，求实数的取值范围. 1．(2024·湖南株州“同济大学杯”数学竞赛)利用诱导公式可将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值约为（    ） 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A． B． C．0.14 D．0.18 2．（2024·山东滨州学科素养数学竞赛）湖南株州“同济大学已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(北京大学博雅计划)已知，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．前三个答案都不对 4．（多选）（2024·河北保定数学竞赛）下列正确的命题是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．(2026·广东江门高一数学竞赛)人脸识别技术为生活带来很多便利．在人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用余弦相似度．若二维空间有两个点，则余弦相似度为：．已知点，，若，则__________． 6．（2026·贵州贵阳高二下竞赛）已知实数，满足：，则__________. 7．（2024·海南海口实验中学学科竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 8．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 9．(2024·湖南邵阳数学竞赛)已知，且满足． (1)求的值； (2)若角的终边与角的终边关于y轴对称，求的值． 10．(2024·湖南岳阳高二数学竞赛)已知，计算 (1)； (2)； 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $