专题10 对数函数（竞赛培优专项训练，13大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦对数函数从概念到创新应用的全链条逻辑，通过分层训练实现竞赛能力专项突破 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组|13类核心题型|覆盖概念、定义域、单调性等基础性质到综合应用|概念生成→性质推导→应用拓展，构建完整认知体系| |B组|15道竞赛真题|强基创新题与实际应用题，突出逻辑推理与数学建模|核心素养导向，衔接竞赛考点，提升问题解决能力|

专题10 对数函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对数函数的概念 题型08 比较指数式与对数式的大小 题型02 对数函数定义域问题的求解 题型09 解对数型不等式 题型03 对数函数的值域问题 题型10 对数型函数的奇偶性问题 题型04 对数型函数过定点问题 题型11 对数函数性质的综合应用 题型05 对数函数的图象及应用问题 题型12 对数函数的实际应用 题型06 对数函数的单调性问题 题型13 与对数函数相关的新定义题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 对数函数的概念 1．函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 2．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是 考点二 对数函数定义域问题的求解 4．关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．下列与函数定义域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为______. 考点三 对数函数的值域问题 7．值域为（   ） A． B． C． D． 8．若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 9．函数的定义域为，值域是，则的最大值为______. 考点四 对数型函数过定点问题 10．已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 11．（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 12．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为________． 考点五 对数函数的图象及应用问题 13．已知函数，则它的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．设方程的两个根为，则(　　) A． B． C． D． 15．（多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点六 对数函数的单调性问题 16．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 17．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七 比较指数式与对数式的大小 19．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 20．已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 21．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点八 解对数型不等式 22．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．已知是周期为6的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 24．不等式的解集（用区间表示）________________． 考点九 对数型函数的奇偶性问题 25．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 26．“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 考点十 对数函数性质的综合应用 28．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 29．（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．的图象过定点 B． C． D． 30．已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点十一 对数函数的实际应用 31．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（    ） A． B． C． D． 32．（多选）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（    ） A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 33．为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④ (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由； (2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据：，结果保留2位小数） 考点十二 与对数函数相关的新定义题 34．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 35．（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 36．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则__________. 一、单选题 1．（2024·高三数学极光杯竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东跨地市多校调考）已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（    ） A． B． C．， D．， 5．(2024·山东滨州竞赛)已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024·山东高密竞赛）下列比较大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）(2024·清华大学强基计划)，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·安徽阜阳竞赛）已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是 . 9．(2024·全国高中数学联赛吉林赛区)函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 10．(2024·全国高中数学联赛广西赛区)函设函数．若且，则的取值范围是 ． 11．（2026·山东高三下竞赛）若三角形边长均大于1且满足，则该三角形的形状为______________. 三、解答题 12．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 13．(2024·湖南邵阳数学竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 14．(2024·湖南邵阳数学衍林杯竞赛）对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的．否则称与在上是非接近的．现有两个函数与（，），给定区间． (1)若与在给定区间上都有意义，求实数a的取值范围； (2)讨论与在给定区间上是否是接近的． 15．（2026·广东汕尾高一下竞赛）已知函数，，其中且，. (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式：. 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 对数函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对数函数的概念 题型08 比较指数式与对数式的大小 题型02 对数函数定义域问题的求解 题型09 解对数型不等式 题型03 对数函数的值域问题 题型10 对数型函数的奇偶性问题 题型04 对数型函数过定点问题 题型11 对数函数性质的综合应用 题型05 对数函数的图象及应用问题 题型12 对数函数的实际应用 题型06 对数函数的单调性问题 题型13 与对数函数相关的新定义题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 对数函数的概念 1．函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 2．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 3．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是 【答案】③④ 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 考点二 对数函数定义域问题的求解 4．关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 5．下列与函数定义域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数定义域满足的条件，结合对数运算规则逐个计算判断即可 【详解】函数的定义域为的定义域为，A错误； 的定义域为，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，D错误． 故选：B. 6．函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据定义域的概念，以及对数函数的性质，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】由题意可得， 对于①，由，解得； 对于②，当时，由，可得，此时无解； 当时，由，可得，解得，故有； 对于③ ，当时，解得， 综上，函数的定义域为. 故答案为：. 考点三 对数函数的值域问题 7．值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合对数函数值域及二次函数分段得出函数值域. 【详解】因为， 当时，设，， 当时，单调递增，所以， 所以函数的值域为 8．若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可. 【详解】当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减， 所以，因此当时，值域为； 当时，开口向上，对称轴为，所以； 因此当时，值域为； 要使函数的值域为，则，解得. 9．函数的定义域为，值域是，则的最大值为______. 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【详解】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 考点四 对数型函数过定点问题 10．已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 11．（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 12．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】利用a0＝1求出定点A坐标，代入函数y＝logmx，（m＞0且m≠1）即可求出m的值． 【详解】令x﹣2＝0，得x＝2，y＝a0+1＝2， ∴定点A（2，2）， 把点A（2，2）代入函数y＝logmx，得：logm2＝2， ∴m2＝2，即m， 又∵m＞0且m≠1， ∴m， 故答案为． 考点五 对数函数的图象及应用问题 13．已知函数，则它的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，B，C，D四个选项它们的不同在于四个象限中函数值的正负，A和B中当时，函数值均有取到负值，C当时，函数值可取正或负，D中当时函数值均为负，根据函数特点分析其在定义域上的对应值域的正负，进行判断即得。 【详解】当时，且，所以此时。故A,B均不正确.当时，为了判断的正负性，只需判断和的大小，即判断和，即和的大小.而故.所以，选项D错误，选项C正确. 故选：C 14．设方程的两个根为，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，画出函数和的图像，结合图像，确定两函数图像交点横坐标的范围以及满足的等量关系，然后化简整理即可确定的范围. 【详解】由已知，分别画出函数和的图像如图， 由图像可知方程的两根为， 不妨设，则两根满足是， ，①   ， ② 且， ①②得 ， ，， 即. 故选:D. 15．（多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 考点六 对数函数的单调性问题 16．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 17．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 18．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性可得出，再由函数的单调性可得出，结合参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 考点七 比较指数式与对数式的大小 19．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用换底公式计算化简，再结合对数范围计算求解. 【详解】利用换底公式将c转换为自然对数形式，. 比较a和b：两边同乘正数12得.，，因为，即，因此 比较b和c：两边同乘正数得.，因为，即，因此 综上大小关系为： 20．已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小. 【详解】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 21．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的单调性与对称性：函数关于对称，在上递减，上递增，自变量离越远，函数值越大.再分别估算对应自变量的值，比较其与的距离，从而判断函数值大小. 【详解】函数关于 对称，在上单调递减，在上单调递增，即越大，越大. ，而是一个接近于0的正数，所以 是一个接近于1的数， ，即. 因为 是一个略大于1的数，所以是一个远小于1的正数； ，所以， 所以 结合的单调性，得：. 即， 故选： C. 考点八 解对数型不等式 22．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简后判断函数为偶函数，再判断函数的单调性，利用单调性得出不等式求解. 【详解】因为， 故，而的定义域为，它关于原点对称， 故为上的偶函数. 当时，令， 由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且， 而在上为增函数，故在上为增函数， 而在上为增函数，故在上为增函数. 因为，故，平方后化简可得， 即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D 23．已知是周期为6的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及给定区间的解析式，先确定目标区间内的正负，再分和两类求解不等式的解集. 【详解】当时，令，解得，即有， 若，则，故， 若，则，故； 由为偶函数，即， 若，则，故； 由周期为，故， 若，则，故， ； 若，则且或且， 故不等式的解集为. 24．不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 考点九 对数型函数的奇偶性问题 25．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 26．“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可 【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 27．已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 考点十 对数函数性质的综合应用 28．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 29．（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．的图象过定点 B． C． D． 【答案】AC 【分析】令时，得到，可判定A正确；令，求得，和，可判定B错误；根据对数的运算性质，可判定C正确；令，求得，由，得到，求得，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，当时，， 所以的图象过定点，所以A正确； 对于B，令，此时， 可得，， ， 此时不满足，所以B错误； 对于C，由， 又由， 因为，所以，所以C正确； 对于D，令，可得， 此时，， 所以，而，故， 得到，即，可得， 又由 ， 此时不满足，所以D错误. 故选：AC. 30．已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 因为，且， 即，所以，解得， ， 由解得，的定义域为， 对于任意，都有，且， 是奇函数. (2) 在上单调递减. 证明：设，则， ， ，，， 在上单调递减. (3) 【分析】（1）首先求出的值，即可求出函数解析式，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）依题意可得任意，不等式恒成立，令，，判断的单调性，即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）对任意，不等式恒成立， 即任意，不等式恒成立， 令，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为. 考点十一 对数函数的实际应用 31．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设音速，并整理公式为 ，燃料质量为 a、马赫数为 6，代入公式得到含和 的方程(2);燃料质量为、马赫数为10，再利用对数运算法则拆分 ，得到含和的方程(3)，最后联立方程(2)(3)求解，计算音速. 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式： ， 化简为，          (1) 设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6， 所以 又因为 ， 所以, 化简得， ,         (2) 当燃料质量为 时，马赫数为 10， 令并代入(1)式子中， 化简，           (3) 将式子(2)代入公式(3)中 故选：A 32．（多选）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（    ） A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 【答案】ABD 【分析】根据各选项条件，由对数关系式，进行对数不等式或方程的运算求解即可. 【详解】对选项A，若，则， 即，，， ， 所以星等值越小，星星就越亮， 故A正确； 对选项B，当，时，，则，B正确； 对选项C，若，则，即，C错误； 对选项D，若，则，即，D正确. 故选：ABD. 33．为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④ (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由； (2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据：，结果保留2位小数） 【答案】(1)，答案见解析 (2)0.68小时 【解析】（1）因为随着时间的增加，的值先增后减，由图可知第一段线段为增函数，第二段曲线为减函数，故选①和③. 又线段经过点，则，解得，故图中第一段线段的方程为， 又因为点在曲线上，所以，解得        故从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 （2）因为药物开始释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.2毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完后，室内药量减少到0.2毫克以下时，学生方可进入教室， 故，即，两边取以10为底的对数得， 即得，解得. 所以从药物释放开始，至少需要经过0.68小时，学生才能回到教室. 考点十二 与对数函数相关的新定义题 34．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，分和两种情况，解不等式结合对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 35．（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由题意可知，即为满足的整数的个数，数形结合可判断A选项；当时，解不等式，可判断BC选项；数形结合可得出满足不等式的等价条件，求出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】根据题意，即为满足的整数的个数． 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A错误； 当时，，数形结合（如图）， 由，可得，解得， 所以在内有个整数解，为、、，故B对和C错； 当时，作出函数和的图象，如图所示， 若，即的整数解只有一个， 只需满足，即，解得， 所以时，实数的取值范围是，故D正确； 故选：BD． 36．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则__________. 【答案】5334 【分析】由取整函数的定义和对数函数的性质求解即可. 【详解】当为正整数时，. 当，时，； 当，，，，，时，，共6个1； 当，，，，时，，共18个2； 当，，，，时，，共54个3； 当，，，，时，，共20个4. 所以 . 一、单选题 1．（2024·高三数学极光杯竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先三个对数和0比较大小，再让和比较大小，即可求解. 【解析】，， ， 所以，则. 故选：A 2．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得或，则， ，所以. 故选：A. 3．（2024·山东跨地市多校调考）已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为在区间上的任意两个不相等的实数，总有， 所以函数在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数， 所以函数在上是增函数， 不等式，即， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 4．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】B 【解析】对于B：，定义域为， 根据题意，，当时，都有， 化简得，即， 设，即，得在其定义域上为单调递减函数，此时在上是单调递减函数，故B项符合； 对于C：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故C项不符合； 对于D：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故D项不符合； 对于A： 当且时，恒成立，不符合“共建”函数定义，即A项不符合； 故选：B. 5．(2024·山东滨州竞赛)已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 可得， 则， ， 故， 又， 所以，两边取以10为底的对数， ， 综上可知，， 故选:B. 6．（多选）（2024·山东高密竞赛）下列比较大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对A，由幂函数在上为增函数，得. 又指数函数为减函数，则，从而.A正确； 对B，， 又对数函数在单调递增，则， 结合反比例函数在单调递减，则，即，B错误； 对C，对数函数与在都是单调递增， 则，则， 指数函数为增函数，则， 故，C正确； 对D，，故D错误; 故选：AC 7．（多选）(2024·清华大学强基计划)，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于D，构造，易得在上递增， 而，， 所以有唯一的正根，且该根位于区间， 因为，所以， 则，故，. 所以，故D正确； 对于C，而，，故，而， 所以有，故C正确； 对于AB，由，知. 从而，故A正确，B错误. 故选：ACD. 二、填空题 8．（2024·安徽阜阳竞赛）已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，不妨设，则有， 从而，即， 所以是R上的减函数， 首先有，此时函数关于单调递减， 由复合函数单调性可知关于单调递增， 所以，又时，有意义，即恒成立， 而当时，单调递减， 故还需满足， 所以当且仅当实数满足，符合题意， 即，解得． 9．(2024·全国高中数学联赛吉林赛区)函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 . 【解析】当时， ， 设 ，则在上是减函数，所以 . 故 . 当 时， ， 设 ，则 在 上均为减函数， 所以 ， 所以 ，此不等式组无解. 综上，实数 的取值范围是 . 10．(2024·全国高中数学联赛广西赛区)函设函数．若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 11．（2026·山东高三下竞赛）若三角形边长均大于1且满足，则该三角形的形状为______________. 【答案】直角三角形 【分析】利用换底公式及对数的基本运算、对数函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知， 由换底公式可得： ， 即， 即， 即， 所以， 由勾股定理的逆定理可得：三边长为的三角形为直角三角形. 三、解答题 12．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 【答案】 【解析】设，即方程有三个不同的实根， 由于在单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，， 结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当且仅当，且，， 再考虑方程和，注意，或或， 故， 由于，且为关于的增函数，所以. 13．(2024·湖南邵阳数学竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 【答案】(1)； (2)①1次；②. 【解析】（1）当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上，. （2）①1次，理由如下：由题意， 从降至，则，可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 综上，只加热过一次. ②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟. 所以在时，水温正好被加热到. 从降至，则，可得， 从加热至，则，可得， 所以在上递减，且，即. 14．(2024·湖南邵阳数学衍林杯竞赛）对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的．否则称与在上是非接近的．现有两个函数与（，），给定区间． (1)若与在给定区间上都有意义，求实数a的取值范围； (2)讨论与在给定区间上是否是接近的． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由一次函数性质得函数在给定区间上单调递增， 当时，，则， 欲使，则即可，故， 得到，解得， 故实数a的取值范围为． （2）构造函数， 对于函数， 由二次函数性质得上单调递减，在上单调递增， 且由对数函数性质得在其定义域内一定是减函数． 由于，得，所以原函数在区间内单调递减， 若与在给定区间上是接近的， 只需保证， 可得，解得， 综上所述，当时，与在区间上是接近的， 当时，与在区间上是非接近的． 15．（2026·广东汕尾高一下竞赛）已知函数，，其中且，. (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. (2). 【分析】（1）根据题意得，进而分和两种情况求解即可； （2）由题知，，进而根据已知条件得，再结合一元二次不等式求得答案. 【详解】（1）当时，， 所以不等式即， 当时，，  解得； 当时，，  解得. 综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. （2）因为函数（且）与（且）有意义须满足，所以. 所以与有意义须满足，所以. 所以当时，，， 所以不等式可化为， 即，即. 所以，或， 解得或. 故原不等式的解集为. 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $