专题11 函数的零点与方程的解（竞赛培优专项训练，11大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦函数零点与方程解，构建从基础概念到竞赛拓展的递进式训练体系，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点专项过关练|11考点，每考点3题|涵盖求零点、零点存在性、参数范围等基础题型|从概念（求零点）到定理应用（零点存在性、二分法），再到综合问题（嵌套函数、零点分布），形成完整逻辑链| |选拔真题冲奖练|15道竞赛题|含强基、联赛真题，涉及多函数综合、零点个数与分布|衔接基础题型，拓展竞赛难度，强化数学语言表达与逻辑推理|

专题11函数的零点与方程的解 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 求函数的零点 题型07 嵌套函数问题 题型02 零点存在性定理的应用 题型08 比较函数零点（方程根）的大小 题型03 二分法 题型09 二次函数的零点分布 题型04 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 题型10 指数函数、对数函数的零点分布 题型05 确定函数零点（方程的根）的个数 题型11 函数与方程的综合应用 题型06 求函数零点（方程的根）的和 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 求函数的零点 1．已知函数，则其的零点为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，设，得到，构造函数，由单调性可得，即，结合单调性解方程即可求解. 【详解】由题意可得，， 设，即，构造函数，单调递增， 若，则，所以，即 又单调递减，且，所以． 即的零点为， 故选：C． 2．若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断； 【详解】解：是奇函数，且是的一个零点，，，把分别代入下面四个选项， 对于A，，故A正确； 对于B，不一定为0，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：A. 3．方程的解为______. 【答案】4 【分析】利用对数定义将题给方程转化为指数方程，构造新函数并利用函数单调性求得新方程的解，进而求得题给方程的解. 【详解】由，可得，则， 则.可令 则， 整理得，即 又为R上单调递增函数，则. 则， 整理得， 又为R上单调递增函数， 且， 则方程有且仅有一个解. 则方程的解为. 故答案为：4 考点二 零点存在性定理的应用 4．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 5．方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 6．已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______． 【答案】－3，－2或1 【分析】先由求出，确定，再变形得到，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在与内，从而确定k的所有可能值. 【详解】①由方程，解得：， 因为， 故； ②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象， 从图象上可得出：方程在区间内有一个实根． 故方程在区间内有且仅有一个实根．此时， 下面证明：方程在区间内有一个实根， 函数，在区间和内各有一个零点， 因为时，，故函数在区间是增函数， 又，， 即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点， 即方程在区间内有且仅有一个实根， 此时. 故答案为：－3，－2或1． 考点三 二分法 7．已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定所在区间即可. 【详解】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 8．下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 9．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则______． 【答案】1 【分析】由指数函数、反比例函数单调性判断已知函数区间单调性，即知区间零点个数，再由二分法则列方程，即可得. 【详解】根据指数函数与反比例函数的性质，函数在上单调递增， 所以函数在上至多有一个零点． 又由二分法依次确定了零点所在区间为， 对于区间，由二分法知对应下一个区间有或， 当区间为时，显然不成立，故下一个区间为， 所以，化简得． 故答案为：1 考点四 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 10．若函数存在零点，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】化简函数，将零点问题转化为两个函数值相等问题，分别求出函数和的取值范围，即可得出实数的值. 【详解】由题意，在中，， 当时，， 即， 在中，， ， 当且仅当即时等号成立， 在中，函数开口向下，， 当时等号成立， ∴时， 故选：D. 11．已知函数，且下列四个结论：①是的零点，②是的零点，③的零点之积为3，④方程只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号为__________；若方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 ② 【分析】首先解得函数的零点，判断零点的范围，推出①和②③均矛盾，故求得，然后验证即可得出错误结论的序号; 把分段代入方程，有三个不等的实根求得的取值范围. 【详解】函数， 因为在上单调递增，在上单调递减， 若时，令，解得， 所以若函数有零点，只能在上存在唯一一个零点， 由题可知，四个结论中，①和②③均矛盾，故， 若函数满足方程只有一个实根，需，矛盾； 若时，令，解得， 所以函数在上有一个零点，且， 由题可知①和②矛盾， 若①是正确结论，则，因为的零点之积为3，所以，解得， 此时，在上有，在上有，满足题意； 若②是正确结论，则，因为的零点之积为3，所以，解得， 此时，在上有，在上有，不满足题意， 故②结论错误； 因为， 若，即，因为，结合韦达定理可知， 方程必有两个异号实根， 故在上只有一个根，所以在上有两个不同实根， 根据图像可得所以，解得 故 故答案为：②； 12．已知函数. (1)求函数的零点； (2)求不等式：的解集； (3)若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明函数在定义域上单调递增，结合，即可得出答案； （2）先解不等式，再根据指数函数的单调性解出即可； （3）设，原方程可化为，再根据，分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设，则，则，， 因为 ， 所以. 在定义域上单调递增，故至多一个零点，又， 所以有唯一零点. （2）不等式， 因为，所以……① ①式两边开方有：……②， 又……③， ②③取交集为：， 即不等式的解集为； （3）若关于x的方程只有一个实根； 即……④， ……⑤， 设……⑥， 将⑥式代入⑤式有：……⑦； 当时，⑦式为关于的一元一次方程，解得，不符舍去，故不满足题意， 当时， 当时方程有唯一解，或； 当时，代入⑦式，解得，不符舍去，故舍去； 当时，代入⑦式，解得，，符合，故满足题意. 当时，方程⑦有两个实根，但需要保证有一个根大于零，而另一个根不大于零， 设方程⑦有两个根； 由分析可知：……⑧， 由韦达定理可知：……⑨， 联立⑧⑨可得：，此时， 综上可得，的取值范围为：. 考点五 确定函数零点（方程的根）的个数 13．已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为(  ) A．2020 B．2016 C．1010 D．1008 【答案】A 【分析】作出一个周期内的函数图象，结合函数周期性判断与函数图象交点个数即可． 【详解】 依题意，当时，对称轴为， 由可知，函数的周期 令，可得 求函数的零点个数，即求偶函数与函数图象交点个数 当时，函数与函数图象有个交点 由知， 当时函数与函数图象有个交点 故函数的零点个数为 故选: 14．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数． 【详解】∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得， 函数的周期为3， ∵当时， ， 令，则，解得或1， 又∵函数是定义域为的奇函数， ∴在区间上，有． 由，取，得 ，得， ∴． 又∵函数是周期为3的周期函数， ∴方程=0在区间上的解有 共9个， 故选D． 15．已知函数，. (1)若，解方程； (2)讨论函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)当时，有3个零点； 当时，有6个零点； 当时，有7个零点； 当时，有8个零点. 【分析】（1）把代入，再分类讨论解方程即可； （2）先求出的零点，再令，将函数转化为，通过讨论的取值情况来确定的解的个数，进而得到函数的零点的个数. 【详解】（1）当时，， 于是方程分为以下两种情形： ①；②， 分别解得：①，②（注意到，不符）， 因此当时，方程的解只有. （2）分类讨论： （i）当时，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下：    令， 解得或， 即或， 根据图象，有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点； （ii）当时，， 对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：    令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 对于的解的情况，再分以下三种情况： ①当，即时，根据图象，有3个解； ②当，即时，根据图象，有2个解； ③当，即时，根据图象，只有1个解； 综上所述： 当时，有3个零点； 当时，有6个零点； 当时，有7个零点； 当时，有8个零点. 考点六 求函数零点（方程的根）的和 16．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由函数，，的零点分别为，得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，结合图象及函数的对称性可求得. 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得. 所以. 又，所以. 所以. 故选：B. 17．已知函数是R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由已知可分析出函数是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故在，上所有的零点的和为0，则函数在，上所有的零点的和，即函数在，上所有的零点之和，求出，上所有零点，可得答案． 【详解】函数是定义在上的奇函数， ． 又函数， ， 函数是偶函数， 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的． 函数在，上所有的零点的和为0， 函数在，上所有的零点的和，即函数在，上所有的零点之和． 由时，， 即． 函数在，上的值域为，，当且仅当时， 又当时，， 函数在，上的值域为，， 函数在，上的值域为，， 函数在，上的值域为，，当且仅当时，， 函数在，上的值域为，，当且仅当时，， 故在，上恒成立，在，上无零点， 同理在，上无零点， 依此类推，函数在无零点， 综上函数在，上的所有零点之和为8， 故选：C． 18．函数的所有零点之和为___________． 【答案】-2 【分析】根据函数的零点定义得到，令，，转化为有两根，设这两个根为，由得到，得到，从而得到函数的所有零点之和. 【详解】已知，令，得， 令，整理得，， 令，由在时单调递减，在时单调递减， 所以与图像只有两个交点，方程有两根 假设，即。可得。 又因为，所以， 所以，则， 故答案为：-2 考点七 嵌套函数问题 19．已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果. 【详解】令，先解方程. （1）当时，则，得； （2）当时，则，即，解得，. 如下图所示： 直线，，与函数的交点个数为、、， 所以，方程的根的个数为，故选A. 20．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，. 则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然， 则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 21．已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】3 【分析】先根据的分段函数和对应的定义域，求出的解析式和对应的定义域，然后分别讨论不同定义域下其函数的零点个数即可. 【详解】因为， 所以①当时，，此时， 因为，当，即时，， 当时，时，， 即. ②当时，，此时. 因为，当时，即时，； 当时，即时，； 即. 综上，. 时，令，解得，此时有一个零点； 时，，此时无零点； 时，令，解得，此时有一个零点； 时，令，解得，此时有一个零点. 所以共有3个零点. 故答案为：3. 考点八 比较函数零点（方程根）的大小 22．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 23．（多选）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【详解】对于A，由题，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故， 所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 24．已知函数，，的零点分别为，，，则下列说法正确的是________. ①②③④ 【答案】①②③ 【分析】根据函数零点的定义判断命题①，令，，利用反函数的性质证明，由此判断命题②，对于命题③，④，由单调性和零点的存在性定理可得，,的取值范围，然后比较大小. 【详解】对于命题①，将代入，得， 当时，，，故， 当时，，，故， 故①正确. 对于命题②，的零点满足：. 的零点满足：. 令，则， 令，则. 综上，，可以看成函数，与的交点， 函数与互为反函数(关于对称)，因此，即， 故，故②正确. 对于命题③，④，因为函数和均单调递增， 函数是增函数，又因为，， 根据零点存在性定理只有一个零点，故. 函数和均递增，所以是增函数， ，（因为）， 同理也存在一个零点，故 结合，得，故③正确，④错误. 故答案为：①②③ 考点九 二次函数的零点分布 25．已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出二次函数的图象即可判断、、、的大小关系﹒ 【详解】， 由解析式知，对称轴为， 因为为函数的零点，且，， 所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，    由图可知. 故选：D. 26．已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据函数的零点定义求得的值，即得，再结合二次函数的图象性质与函数的零点存在定理列出不等式组，解之即得. 【详解】依题意，为方程的两根， 则，解得， 故，则， 因函数的两个零点分别在区间内， 则，即，解得， 故实数m的取值范围是． 故答案为： 27．已知二次函数． (1)若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围； (2)若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【解析】（1），则， 因为在上有两个互不相同的实数根， 所以，解得． （2）由的解集为，则，即， 故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时，只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，． （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以． 令，因为，所以， 若时，此时． 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 考点十 指数函数、对数函数的零点分布 28．已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，分别是、与的交点横坐标，结合与的图象的对称性得，从而可得结果. 【详解】方程的根，即为与图象交点的横坐标， 方程的根，即为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线轴对称，如图所示： ∴，则，又， ∴. 故选：A． 29．已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【解析】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 30．已知函数，的零点分别是与． (1)若，解不等式； (2)已知， ①证明：； ②若，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) ① 由题意知，，且， 则有， 故当时，则即，矛盾，不符合题意； 当时，则即，矛盾，不符合题意； 当时，则即，解得； 综上所述，． ② 【分析】（1）结合对数运算规则和对数函数的单调性直接求解即可. （2）对于①，根据零点定义得和，进而得，再对取值进行分类讨论即可求解；对于②，由已知条件结构特征得，再结合消去以及结合整理得，进而通过函数的单调性和最值即可求解. 【详解】（1）由题意知， 则有，即，又是增函数， 故，所以不等式的解集为. （2）①略 ②由知，， 即 因为，所以， 即， 设，令， 因为和均为上的增函数， 所以在上单调递增，且， 所以，所以的最小值为. 考点十一 函数与方程的综合应用 31．（多选）已知函数，则（    ） A．对任意的，函数都有零点. B．当时，对，都有成立. C．当时，方程有4个不同的实数根. D．当时，方程有2个不同的实数根. 【答案】AC 【分析】讨论的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当时，令，由得或，结合图象可判断C；当时，方程，则，结合图象可判断D． 【详解】时，；当时，； 所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点， 时，函数只有个零点，故A正确； 当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错； 当时，令，由得或，作出函数的图象 如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解； 所以方程有4个不同的实数根，故C正确； 当时，方程，则，如图所示，有3个不同的交点， 则故D错误． 故选：AC      32．已知函数． (1)求的定义域； (2)当时，求的零点个数； (3)若关于的方程恰有2个解，求的值． 【答案】(1) (2)零点个数为1 (3)2 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域； （2）根据函数的单调性及判断零点个数； （3）令，得到是方程的1个解，转化为只有1个解，结合基本不等式求出的值. 【详解】（1）由且，得的定义域为． （2）当时，因为函数和在上都是增函数，所以是增函数． 因为，所以的零点个数为 （3）令，得，显然是方程的1个解． 当时，，即．① 因为关于的方程恰有2个解，所以方程①只有1个不等于1的解． ，当且仅当时，等号成立． 当时，方程①无解，不符合题意； 当时，方程①恰有1个解（），符合题意； 当时，方程①有2个解（均不等于1），不符合题意． 综上，的值为2． 33．对于函数，若存在两个不同的零点满足为正实数，则称函数具有性质.， (1)判断函数是否具有性质，并说明理由. (2)设函数. （i）已知，证明：函数具有性质. （ii）若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据函数新定义并结合零点存在性定理和方程法判断函数零点个数即可得到答案； （2）（i）令，得，再转化为一元二次方程两根，结合韦达定理求出即可证明； （ii）利用整体换元法得，再讨论其根的分布即可. 【详解】（1）在上单调递增，有唯一零点， 所以只需判断在上是否有零点， 当时，，因为在上均单调递增， 由于在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，所以函数具有性质． （2）（i）函数的零点即方程的根， 令，得．因为，必有两个不同根（设），所以有， 则， 因为，所以． 由得，则得证． （ii）， 设，则原式化为，即， 设，，，则为偶函数， 当时，设，则，根据对勾函数性质知在上单调递增， 结合复合函数性质知在上单调递增， 又因为为偶函数，则在上单调递减， 且，最小值为． 要使得原函数为具有性质的函数，则 ①（＊）式在上有根，则在上有根， 从而另一根在上，满足具有性质的函数的定义， 此时，根据对勾函数性质知在上单调递减，则得． ②（＊）式在上无根，但在区间上有根，若只有一个， 此时对应的的根大于，从而两根之差超过1，所以要成为具有性质的函数， 只有两个不同值在轴同侧与产生的交点横坐标之差不超过1， 所以（＊）式必须在上有两个不同的根， 设为，令， 有，解得． 令，则， 有． 由（i）问可知，欲使，只需， 即． 设，若，因为函数在上单调递增， 则，则． 而，所以， 从而由知，矛盾， 所以不成立，即恒成立，则． 综上，. 一、单选题 1．（2024·全国第四届章鱼杯竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 2．（2024·全国第四届英才杯竞赛）已知方程恰好有三个不同的实数根，则满足题意的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知有两个不同的实数根， 所以有且只有一个实数根或者有两个不同的根； 当时，成立； 当时， 只有一个实根，则，即； 有两个不同的根，此时，即， 则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上可得的最大值为， 故选：D. 3．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的图象如图所示:    因为,且,由图可知, 因为函数的图象关于对称, 所以, 又因为, 所以, 则①, 令,则, 因为,所以, 所以①式可化为:, 根据对勾函数的性质,函数在是增函数,在是减函数, 又, 所以的取值范围是. 故选:B. 4．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛）定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】画出的图象，如下：    令，则，由题意原函数有4个零点， 结合函数图象，可知函数有两个不同零点和， 不妨设，且，， 分析函数的图象可知，， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 则， 解得. 故选：AB. 5．（2024·浙江温州摇篮杯高一竞赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】对于A中，由函数，可得定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以为单调递增函数， 所以函数在，单调递增，所以B错误； 对于C中，令，即，解得，所以C正确； 对于D中，例如：当时，，所以D不正确. 故选：AC. 6．(多选) （2024·全国第四届英才杯竞赛）已知函数和，则下列说法正确的有（    ） A．若有两个相同的实数根，则函数经过一二四象限 B．的图象和一个以为圆心，1为半径的圆没有交点 C．可以在时取到最小值 D．若有两个不同零点，设这两个零点分别为、（在的左边）在时，若的最小值等于，则是不可能成立的 【答案】BC 【解析】对于A，若有两个相同的实数根，则，即， 所以，则函数， 当时，函数，图象过一二象限，故A错误； 对于B，，设为点， 设函数的图象上一动点坐标为， 则， ，当且仅当或时，等号成立， 当时，，， 当时，，，所以， 所以的图象和一个以为圆心，1为半径的圆没有交点，故B正确； 对于C，当时，，设，， 则， 当且仅当时，即时等号成立，， 所以可以在时取到最小值，故C正确； 对于D，若有两个不同零点，则方程有两个不相等的实数根， 所以，， 在时，，设，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，则， 若，则，即，解得， 则存在，，故D错误； 故选：BC． 7．(多选)（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数，则（    ） A．若函数有3个零点，则 B．函数有3个零点 C．，使得函数有6个零点 D．，函数的零点个数都不为4 【答案】BD 【解析】函数的图象如下图所示： A：令， 当函数有3个零点时，函数与直线有三个不同的交点， 由图象可知，，因此本选项不正确； B：由函数的图象可知：， 令，可解，舍去， 当时，由图象可知有三个实数解，因此本选项正确； C：当函数有6个零点时，此时有， 当时，即， 当时，， 由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点， 因此要想有函数有6个零点，必有， 因此本选项不正确； D：由， 令，则， 当时，即或， 当时，有两个不同的实根， 当时，有三个不同的实根 所以此时函数有五个零点， 当时，，或，或， 由图象可知此时时函数一共有七个零点， 当时，，或，或， 由图象可知函数此时一共有6个零点， 当时，，或， 由图象可知函数此时一共有3个零点， 当时，，即，此时不等式的解集为空集， 综上所述：，函数的零点个数都不为4， 故选：BD 二、填空题 8．（2024·中国科大强基计划）若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是 ． 【答案】 【解析】由题意等价于三次方程存在一个二重根与一个根，设其二重根为m，另一实根为n，则由韦达定理可知，解得． 9．（2024·海南省衍林杯学科高一竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 【答案】 【解析】方程的根是对数函数与直线的交点的横坐标， 方程的根是指数函数与直线的交点的横坐标， 对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 联立，可得，所以. 10．（2024·四川省高中数学联赛预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】， 当时，，， 在上递增， 而，， 时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，， 时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4. 3、 解答题 11.（2024·清华大学强基计划）在内有三个不等实根，则的取值范围？ 【答案】 【解析】设， 在内有三个不等实根，，，. 且， 设，，，则，，, ，， . 12．（2024·北京大学强基计划）求上方程的解的个数. 【答案】 【解析】一方面，假设原方程有一个满足的根，则. 令，则. 对，有，故； 对，有，故. 所以对，都有，从而由知，矛盾. 所以无解， 故原方程的解，只有满足，即，直接验证即知都是原方程的解. 所以原方程一共有个解. 13．(2025·重庆高中数学联赛初赛)已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 【答案】 【解析】设，即方程有三个不同的实根， 由于在单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，， 结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当且仅当，且，， 再考虑方程和，注意，或或， 故， 由于，且为关于的增函数，所以. 14．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数，其中. (1)若存在，使得，求的最小值； (2)令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知为单调递增函数，所以当时，， 则当时，有，即， 解得，则，当且仅当时，取得等号， 故的最小值为. （2）由题意得 令，则，，， 若，则， 即，即，   由和满足方程， 即为方程的两根可得：，解得， 且，，     因为，所以，解得， 所以， 易求得当时，，满足， 故实数的取值范围. 15．（2026·新疆高三下竞赛）已知函数有两个不同的零点. (1)若函数是奇函数，求的值. (2)若方程有四个不同的实数根，且成等差数列，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是奇函数求出即可得解； （2）设函数的两个不同的零点为，转化为或，利用韦达定理及根为等差数列可得，配方求最值即可. 【详解】（1）. 由可得，. ∴. ∴. （2）设函数的两个不同的零点为，则或. ∴，是方程的两根，，是方程的两根. ∴，，. 设，，，. ∴，. ∵，. ∴. 当时，. ∴的最大值为. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11函数的零点与方程的解 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 求函数的零点 题型07 嵌套函数问题 题型02 零点存在性定理的应用 题型08 比较函数零点（方程根）的大小 题型03 二分法 题型09 二次函数的零点分布 题型04 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 题型10 指数函数、对数函数的零点分布 题型05 确定函数零点（方程的根）的个数 题型11 函数与方程的综合应用 题型06 求函数零点（方程的根）的和 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 求函数的零点 1．已知函数，则其的零点为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（    ） A． B． C． D． 3．方程的解为______. 考点二 零点存在性定理的应用 4．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 5．方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______． 考点三 二分法 7．已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 8．下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 9．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则______． 考点四 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 10．若函数存在零点，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．已知函数，且下列四个结论：①是的零点，②是的零点，③的零点之积为3，④方程只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号为__________；若方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围为__________. 12．已知函数. (1)求函数的零点； (2)求不等式：的解集； (3)若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围. 考点五 确定函数零点（方程的根）的个数 13．已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为(  ) A．2020 B．2016 C．1010 D．1008 14．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 15．已知函数，. (1)若，解方程； (2)讨论函数的零点的个数. 考点六 求函数零点（方程的根）的和 16．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 17．已知函数是R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．0 B．4 C．8 D．16 18．函数的所有零点之和为___________． 考点七 嵌套函数问题 19．已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 20．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．已知函数，则函数的零点个数为______． 考点八 比较函数零点（方程根）的大小 22．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 24．已知函数，，的零点分别为，，，则下列说法正确的是________. ①②③④ 考点九 二次函数的零点分布 25．已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 26．已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为______． 27．已知二次函数． (1)若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围； (2)若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 考点十 指数函数、对数函数的零点分布 28．已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为 A． B． C． D． 29．已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 30．已知函数，的零点分别是与． (1)若，解不等式； (2)已知， ①证明：； ②若，满足，求的最小值． 考点十一 函数与方程的综合应用 31．（多选）已知函数，则（    ） A．对任意的，函数都有零点. B．当时，对，都有成立. C．当时，方程有4个不同的实数根. D．当时，方程有2个不同的实数根.   32．已知函数． (1)求的定义域； (2)当时，求的零点个数； (3)若关于的方程恰有2个解，求的值． 33．对于函数，若存在两个不同的零点满足为正实数，则称函数具有性质.， (1)判断函数是否具有性质，并说明理由. (2)设函数. （i）已知，证明：函数具有性质. （ii）若函数具有性质，求的取值范围. 一、单选题 1．（2024·全国第四届章鱼杯竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·全国第四届英才杯竞赛）已知方程恰好有三个不同的实数根，则满足题意的的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛）定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024·浙江温州摇篮杯高一竞赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 6．(多选) （2024·全国第四届英才杯竞赛）已知函数和，则下列说法正确的有（    ） A．若有两个相同的实数根，则函数经过一二四象限 B．的图象和一个以为圆心，1为半径的圆没有交点 C．可以在时取到最小值 D．若有两个不同零点，设这两个零点分别为、（在的左边）在时，若的最小值等于，则是不可能成立的 7．(多选)（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数，则（    ） A．若函数有3个零点，则 B．函数有3个零点 C．，使得函数有6个零点 D．，函数的零点个数都不为4 二、填空题 8．（2024·中国科大强基计划）若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是 ． 9．（2024·海南省衍林杯学科高一竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 10．（2024·四川省高中数学联赛预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 3、 解答题 11.（2024·清华大学强基计划）在内有三个不等实根，则的取值范围？ 12．（2024·北京大学强基计划）求上方程的解的个数. 13．(2025·重庆高中数学联赛初赛)已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 14．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数，其中. (1)若存在，使得，求的最小值； (2)令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围. 15．（2026·新疆高三下竞赛）已知函数有两个不同的零点. (1)若函数是奇函数，求的值. (2)若方程有四个不同的实数根，且成等差数列，求的最大值. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $