专题13 任意角和弧度制及三角函数的概念（竞赛培优专项训练+9大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

专题13 任意角和弧度制及三角函数的概念 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 周期现象 题型06 三角函数定义及应用 题型02 终边相同的角 题型07 判断三角函数的符号 题型03 区域角 题型08 三角函数线的应用 题型04 n倍角或n分角所在象限的判断 题型09 任意角与三角函数定义的综合 题型05 弧度制下各公式的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题9道） 【熟记重要结论（二级结论）】 1.象限角 2.轴线角 3.三角函数不等式 若角α∈，则sin α＜α＜tan α. 4.三角函数线 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线． 题型01 周期现象 1．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支、把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戌、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2025年是乙巳年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（   ） A．戊巳年 B．己巳年 C．戊午年 D．己辰年 【答案】B 【解析】由题知天干以10为周期，地支以12为一个周期，2025年是乙巳年， 而， 地支恰好经过两个周期，天干经过两周期多四年， 所以2049年的天干为己，地支为巳. 故选：B. 2．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次 10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次. 每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合12次. 故选：B. 5．已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是； ②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； ④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． 其中说法正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【分析】依题意将沿着轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点轨迹，由题目中“一个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可. 【解析】 如上图，沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下： 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置； 第二步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期. 对于①，∵，∴一个周期，故①正确； 对于②，如图所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错误； 对于③，由已知，，∴， ∴的弧长，的弧长， ∴完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确； 对于④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的图形为扇形，扇形与的面积和，∵， ∴， ∵等边边长为，∴， ∴完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故④错误. ∴正确的说法为：①③. 故选：D. 题型02 终边相同的角 4．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 5．已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（    ） A．－12 B．－10 C．－4 D．4 【答案】C 【解析】与终边相同的角的集合为， 由题意知，，，解得，， 当时，，故的最小整数值为1，此时的最小正值为. 当时，，故的最大整数值为0，此时的最大负值为. 所以. 6．与终边关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则， 又因与终边关于原点对称， 故，即的值是. 7．，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，， 当时，， 由此可知：是的真子集， 故选：A 题型03 区域角 8．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将角度转化为弧度，， 所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为. 9．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，即，即选项C中第一象限所示的部分； 当时，即，即选项C中第三象限所示的部分； 当时，其所表示的角的范围与表示的范围一致. 综上可得，选项C表示集合中的角所表示的范围. 故选C. 10．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 11．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【解析】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； （2）. 题型04 n倍角或n分角所在象限的判断 12．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【解析】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 13．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 14．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 15．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【解析】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 16．若，则是（   ） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出的范围，再求出的范围即可得结果. 【解析】由知． ． 是第二或第四象限角， 故选：C 17．已知为第二象限角，那么是第_________象限角． 【答案】一、二、四 【解析】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 题型05 弧度制下各公式的应用 18．已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 因为扇形的圆心角为，即圆心角为，可得， 将代入上式，可得，解得，则 所以扇形的面积为. 19．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 20．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 21．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 22．现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 23．折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇环内半径为，外半径为，圆心角， 扇环面积等于圆台侧面积：，则， 已知，则，即， 解得， 又， 故． 24．(多选题)已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【解析】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 25．已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【解析】（1）由扇形的弧长计算公式 （2）方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 26．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【解析】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，， 当时，，所以， 所以， 即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得， 则， ， 当且仅当，即，取得最大值. 题型06 三角函数定义及应用 27．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为， 因为，则， 由于在第一象限，不妨取， 因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点， ， 于是. 故选：B． 28．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角以为始边，终边经过点，可得， 则， 将角的终边逆时针旋转得到角的终边，可得， 则. 29．已知角在坐标系中“”是“终边关于对称”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若终边关于对称，则，， 于是， 所以由“终边关于对称”能推出“”，必要性成立， 反过来，由，得， 正弦相等有两种可能： 第一种： 此时终边关于对称， 第二种：， 此时终边关于对称，而不是关于对称， 因此，不一定推出终边关于对称，充分性不成立， 所以，“”是“终边关于对称”的必要不充分条件. 30．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】射线的斜率是，对应角度在第四象限，为或，由题意，点初始角度为0，点初始角度为（或图1中）， 当第一次重合时，如图1，此时点转过的角度比点转过的角度多， 当第二次重合时，如图2，此时点比多转一圈，所以点转过的角度比点转过的角度总共多， 可以想象，从第次重合开始，到第次重合，点又比多转一圈， 所以，第2026次重合时，点转过的角度比点转过的角度总共多， 设此时时刻为，则点转过的角度与点转过的角度之差为. 解得， 所以当第2026次重合时，以为终边的角， ，， 所以点坐标为. 31．若角的终边与直线重合且，又是终边上一点，且，则 ________　. 【答案】 【解析】因为，， 所以点位于在第三象限的图象上， 且， 所以. 所以， 所以. 32．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 【解析】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为． （2）因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为， 则， 所以，. 题型07 判断三角函数值的符号 33．若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【解析】因为是第二象限角，所以， ，故A错误； 若，则，故B错误； ，故C正确； ，即相当于一个在第四象限的角，所以，故D错误. 34．若点在第三象限，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】点在第三象限，所以，. 由各象限角三角函数值的符号可知，余弦值为负的角是第二或第三象限角或终边落在轴的非正半轴上， 正弦值为负的角是第三或第四象限角或终边落在轴的非正半轴上，， 因此是第三象限角. 35．在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 36．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 37．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【解析】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 38．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解析】依题意，是第一象限，是第二象限，是第三象限，是第四象限， 对于函数，当是第一、二象限角时，； 当是第三、四象限角时，； 对于函数，当是第一、四象限角时，； 当是第二、三象限时，. 要使， 则需①且，或②且； 所以当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 共有种不同取法. 故选：B 39．设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A项，由已知，的取值集合为. 所以，， 所以，， 所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A错误； 对于B项，由已知，的取值集合为. 所以，. 当为偶数时，设，则， 此时位于第二象限，； 当为奇数时，设，则， 此时位于第四象限，. 综上所述，恒成立，故B项正确； 对于C项，当位于第二象限时，，故C项错误； 对于D项，当位于第四象限时，，故D项错误. 故选：B. 题型08 三角函数线的应用 40．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，即得， 在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域P与Q， 则区域P的解集为， 区域Q的解集为， 其公共区域为不等式组的解即为， 故函数的定义域为. 故选：B. 41．在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在轴正半轴上取，过点作轴的垂线交单位圆于两点， 由图知满足的角的范围如图中阴影部分所示，而， 所以的取值范围是． 42．下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于AC，由，得，AC正确； 对于B，，得，则，B错误； 对于D，由，则， 则，D正确. 故选：B 42．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数线可得当时，， 又， 所以，所以. 故选：C. 其中当时的证明如下： 构造单位圆，如图所示：    则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即，即. 题型09 任意角与三角函数定义的综合 43．（多选）下列结论正确的有（   ） A． B．已知角的终边在上，则 C．已知点在第四象限，则角终边在第二象限 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】对于A，因为，，所以，故，A不正确； 对于B，因为角的终边在上，所以，所以，B正确； 对于C，因为点在第四象限，所以，所以角终边在第二象限，C正确； 对于D，终边落在直线上的角的集合是，D不正确. 44．(多选)给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．若角的终边过点且，则 B．若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C．若在单调递减，则 D．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为 【答案】BD 【解析】点到原点的距离，，则， 化简整理得，解得或（舍去），故A错误； 是第三象限角，则， 故， 为偶数时，在第二象限；为奇数时，在第四象限，故B正确； 令，底数且， 时，递增，需在递减，且在恒成立， 开口向上，对称轴，递减区间为，故，即； 在的最小值趋近于，需，即， 综上，，即，故C错误； 由弧长公式，解得， 故扇形面积，故D正确． 45．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【解析】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. 46．有下列命题中： ①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°； ②若角的终边过点，则﹔ ③已知是第二象限角﹐则； ④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为. 正确命题的序号是 .（写出所有正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】①，由且，可得，故所求的最小正角，正确； ②，由三角函数的定义可得，正确； ③，∵是第二象限角， ∴，， ∴，， ∴，错误﹔ ④，弧长为2，圆心角为90°，则扇形的半径为，所以扇形面积为，正确. 正确命题的序号是①②④. 1．(2025年第77届AMC12B国际数学竞赛)指针式时钟从午夜开始运行，在经过分钟后停止，问当时钟停止时，时针与分针所成锐角的正切值是多少？（    ） A．0 B． C． D． E． 【答案】B 【解析】时钟一圈为，圈零分钟， ，也就是经过2圈后，剩余时分，故钟表停止在， 规定以点钟方向为基准，顺时针为角度正方向， 分针转速每分钟：， 时针转速：每小时走，每分钟额外走， ， 角度差值为：， 该角本身就是锐角，所求角， ． 2．(2025第七十七届AMC12A国际数学竞赛)在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 【答案】B 【解析】设，圆心角， 因为点位于与之间，点位于与之间，且， 所以，且， 由题意，劣弧的长度为，根据弧长公式可得：①， 因为为劣弧，所以， 又因为优弧的长度为，其对应的圆心角为，可得：②， 由①得：，代入②得：， 整理得：，解得， 因为，且，所以，舍去， 故，即到的距离为. 3．(2024·湖南株州“同济大学杯”数学竞赛)利用诱导公式可将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值约为（    ） 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A． B． C．0.14 D．0.18 【答案】A 【解析】 ， 故选：A 4．（2024·山东滨州学科素养数学竞赛）湖南株州“同济大学已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 且，， 所以. 故选：B. 5．(北京大学博雅计划)已知，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【解析】由题意可得,的取值范围均是， 所以， 解法一： 记，，则，， 于是等式可化为，即， 整理得，解得或或． 若，则，不符合题意； 因此或，此时． 解法二： 令，， 则，， 于是等式可化为， 故或，进而有． 故选：A. 6．（多选）（2024·河北保定数学竞赛）下列正确的命题是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A项，，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为，所以， 所以，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 7．（2024·海南海口实验中学学科竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 【答案】20 【解析】设三角形三个顶点坐标分别为，其中， 设， 则，， 的周长 ， 令，则， 当且仅当，即时，周长取最小值20. 8．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对于，，定义域关于原点对称， 因为 ，所以的图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，可得在上单调递增， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即使成立， 令，， 即求在上的最小值， 令， 当时，，所以， 可得，所以，即， 令，， 所以在上的最小值为2， 所以，即的取值范围是. 9．(2026安徽省示范高中培优联盟冬季联赛)在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与交于，两点（点在第一象限），记以为直径的半圆的弧长为的劣弧的长度为，线段的长度为． (1)设，求证：． (2)（ⅰ）求证：； （ⅱ）已知为实数，且，求证：． 【解析】(1)当时，， 如图： 以PQ为直径的圆与轴正半轴交于点，则点的横坐标， 所以点在外，进一步有， 即，故． (2)（ⅰ）由（1）可知，故． （ⅱ）对任意实数，总存在整数，使得， 记，则， 因为，所以 （a）若，则，进一步有， 故． （b）若，则 ． 故． 由（a），（b）可知当时，． 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 任意角和弧度制及三角函数的概念 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 周期现象 题型06 三角函数定义及应用 题型02 终边相同的角 题型07 判断三角函数的符号 题型03 区域角 题型08 三角函数线的应用 题型04 n倍角或n分角所在象限的判断 题型09 任意角与三角函数定义的综合 题型05 弧度制下各公式的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题9道） 【熟记重要结论（二级结论）】 1.象限角 2.轴线角 3.三角函数不等式 若角α∈，则sin α＜α＜tan α. 4.三角函数线 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线． 题型01 周期现象 1．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支、把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戌、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2025年是乙巳年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（   ） A．戊巳年 B．己巳年 C．戊午年 D．己辰年 2．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 3．已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是； ②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； ④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． 其中说法正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 题型02 终边相同的角 4．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 5．已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（    ） A．－12 B．－10 C．－4 D．4 6．与终边关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 题型03 区域角 8．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 9．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是 A． B． C． D． 10．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 11．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 题型04 n倍角或n分角所在象限的判断 12．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 13．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 14．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 16．若，则是（   ） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 17．已知为第二象限角，那么是第_________象限角． 题型05 弧度制下各公式的应用 18．已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 19．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 20．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 21．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 22．现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 23．折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（     ）    A． B． C． D． 24．(多选题)已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 25．已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 26．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 题型06 三角函数定义及应用 27．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 28．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（   ） A． B． C． D． 29．已知角在坐标系中“”是“终边关于对称”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（     ） A． B． C． D． 31．若角的终边与直线重合且，又是终边上一点，且，则 ________　. 32．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 题型07 判断三角函数值的符号 33．若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 34．若点在第三象限，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 35．在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 36．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 37．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 38．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 39．设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 题型08 三角函数线的应用 40．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 41．在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．设，，，则（   ） A． B． C． D．    题型09 任意角与三角函数定义的综合 43．（多选）下列结论正确的有（   ） A． B．已知角的终边在上，则 C．已知点在第四象限，则角终边在第二象限 D．终边落在直线上的角的集合是 44．(多选)给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．若角的终边过点且，则 B．若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C．若在单调递减，则 D．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为 45．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 46．有下列命题中： ①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°； ②若角的终边过点，则﹔ ③已知是第二象限角﹐则； ④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为. 正确命题的序号是 .（写出所有正确的序号） 1．(2025年第77届AMC12B国际数学竞赛)指针式时钟从午夜开始运行，在经过分钟后停止，问当时钟停止时，时针与分针所成锐角的正切值是多少？（    ） A．0 B． C． D． E． 2．(2025第七十七届AMC12A国际数学竞赛)在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 3．(2024·湖南株州“同济大学杯”数学竞赛)利用诱导公式可将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值约为（    ） 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A． B． C．0.14 D．0.18 4．（2024·山东滨州学科素养数学竞赛）湖南株州“同济大学已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(北京大学博雅计划)已知，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．前三个答案都不对 6．（多选）（2024·河北保定数学竞赛）下列正确的命题是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2024·海南海口实验中学学科竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 8．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 9．(2026安徽省示范高中培优联盟冬季联赛)在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与交于，两点（点在第一象限），记以为直径的半圆的弧长为的劣弧的长度为，线段的长度为． (1)设，求证：． (2)（ⅰ）求证：； （ⅱ）已知为实数，且，求证：． 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $