专题12 函数模型的应用（竞赛培优专项训练，7大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，覆盖7类竞赛核心题型，通过分层训练实现从基础建模到综合方案设计的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象刻画实际问题|3题|结合生活场景分析函数图象意义|从直观图象到数量关系的转化，培养几何直观| |二次函数与幂函数模型|3题|含最值求解、数据拟合|体现代数运算与实际优化问题的结合，发展运算能力| |分段函数模型|3题|多情境下的分段表达式构建|强化分类讨论思想，培养数学表达能力| |指数对数函数模型|3题|增长规律与实际问题（传播、衰减等）|揭示指数增长与对数关系的现实意义，发展模型观念| |分式函数|3题|成本利润等经济问题|运用分式运算解决最优化，培养应用意识| |拟合函数模型|3题|根据数据选择最优模型|提升数据分析与模型选择能力，体现数据观念| |方案设计问题|3题|含盈利最大化、成本控制等决策|综合运用多种函数模型解决实际决策问题，发展创新意识|

专题12 函数模型的应用 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 利用图象刻画实际问题 题型05 分式函数 题型02 二次函数与幂函数模型 题型06 拟合函数模型 题型03 分段函数模型 题型07 方案设计问题 题型04 指数函数与对数函数模型 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题9道） 考点一 利用图象刻画实际问题 1．某条公共汽车路线收支差额收支差额车票收入支出费用与乘客量的图象如图所示．由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；（2）不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法正确的是（   ）． A．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B．①反映了建议（1），③反映了建议（2） C．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2） 【答案】B 【分析】根据题意即可结合函数图象求解. 【详解】建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，故①反映了建议（1），建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议（2） 故选：B． 2．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出分段函数解析式，从而可选出符合函数的图象. 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 3．学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象． 【详解】设行进的速度为 ，行走的路程为， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②． 故选：A． 考点二 二次函数与幂函数模型 4．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 5．在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】(1)选择模型为，理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 函数解析式为. (2)（i）不能，依题意，得，所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）9km 【分析】（1）先根据定义域和单调性要求筛选出函数模型③，把已知点代入模型求出、的值，检验其余点是否在所得函数图象上确定解析式. （2）（i）计算载重9时飞行20km能耗并与300比较判断能否完成任务. （ii）先算出载重25时总能耗表达式，再根据能耗限制列不等式求解的最大值. 【详解】（1）选择函数模型③，理由略， 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时，表示空载能耗. （2）由（1）得． （i）略 （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． 6．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型（不需要证明），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选，表达式为 (2)国道上行驶，高速上行驶，最少耗电量 【分析】（1）根据对数函数的定义域，指数函数的单调性可以排除，由待定系数法求出表达式； （2）分别列出国道上和高速上的用电量表达式，利用二次函数和基本不等式求最小值. 【详解】（1）由于可以取，不符合对数函数的定义域，排除； 注意到关于是递增的，根据指数函数的单调性，是减函数，也不成立， 故符合的函数模型是， 由，整理可得，解得， ，经检验也成立， 则 （2）在国道上所需时间是，设用电量为， 则，当，用电量最小为； 在高速上所需时间是，设用电量， 则， 当，用电量最小为. 故国道上行驶，高速上行驶，总耗电量最小，共 考点三 分段函数模型 7．某科研单位研制出一种空气净化剂，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于40毫克／立方米时，它才能起到有效净化空气的作用． (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时长能否达到4小时？并说明理由； (2)若第一次喷洒4个单位的净化剂，2小时后再喷洒1个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为毫克／立方米，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【答案】(1) 由题意可得，一次喷洒4个单位的净化剂， 空气中释放的浓度， 当时，由，得， 当时，由，得，得，所以， ∴ 因为，所以， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，有效净化时长不能达到4小时． (2)①；②22毫克／立方米 【分析】（1）由题意得的解析式，由分段函数得到两个不等式，即可求得有效净化时长； （2）①根据题意写出当时，两次喷洒后空气中净化剂浓度，同理写出当时，两次喷洒后空气中净化剂浓度，得到函数的解析式； ②当时由基本不等式求得最小值，当时，由函数单调性求得最小值，即可求得第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【详解】（1）略 （2）①当时， 第一次喷洒的4个单位的净化剂，小时后空气中净化剂的浓度为， 第二次喷洒的1个单位的净化剂，小时后空气中净化剂浓度为， 两次喷洒后空气中净化剂浓度为， 当时， 两次喷洒后空气中净化剂浓度为 ， 所以， ②当时， ， 当且仅当，即时取等号， 当时，，此时在上单调递减， 所以的最小值为， 综上所述，第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值为22毫克／立方米 8．某单面打印机在连续打印时，打印速度会随时间而变化.从开始打印经过分钟时的打印速度（单位：页/分钟）为，累计打印页数为，且当时，. (1)求； (2)求关于的函数关系式； (3)若从第分钟到第分钟，打印页数不少于41页，求的取值范围. 【答案】(1)200 (2) (3) 【分析】（1）根据题意代入运算得解； （2）根据题意写出分段函数的解析式； （3）根据题意分，和讨论求解. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，； 当时，. 综上，. （3）当时，从第分钟到第分钟的打印页数为 ， 令，得，所以. 当时，从第分钟到第分钟的打印页数为 令， 得或，所以. 当时，从第分钟到第分钟的打印页数为 ，不符题意. 综上，的取值范围为. 9．国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 考点四 指数函数与对数函数模型 10．模型是常用于描述物种数量增长或信息传播规律的数学模型.某学者根据社交平台上某热点话题的转发数据，建立了该话题累计转发量（的单位：小时）的模型：，其中为平台潜在最大转发量，为增长速率.已知当时，转发量达到最大转发量的.当时，标志着该话题已进入传播饱和阶段，则从到进入传播饱和阶段大约还需要（    ）小时.（注：为自然对数的底数，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得到方程，从中求出的值，再求出当时的所需时间的值，再用即可得解. 【详解】已知，由题意知. 当时，，即，即. 两边同时取自然对数可得，则. 当话题已进入传播饱和阶段，即时， 可得，即， 即，即. 两边同时取自然对数可得. 将代入上式可得， 解得，即. 将代入上式可得. 即话题从开始转发到进入传播饱和阶段所需要的时间约为小时， 所以从到进入传播饱和阶段大约还需要小时. 故选：D 11．某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 【答案】 4 32 【分析】分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长． 【详解】当时，此时， 代入原函数指数部分：， 所以，， 已知，则， 所以当时，指数是关于的减函数， 因此在上单调递减， 当时，此时，代入原函数指数部分： ， 所以，， 同理得在上单调递增， 综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减， 因此，病毒载量在时达到峰值． 在时，， 根据题意，对于任意，有：， 代入表达式：， 整理得，，， 所以， 病毒具有传染性的条件是，即， 整理得，， 当时，不等式变为：， 结合前提，得到； 当时，不等式变为：， 结合前提，得到， 综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为， 题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度， 故总时长为小时． 12．中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. (1)当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； (2)假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ (3)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 【答案】(1) (2)倍. (3)5.1. 【分析】（1）直接代入，根据题目给的数据化简计算. （2）和代入，然后计算相除. （3）令和，两式相减，大于等于1975 m/s，最后根据题目给的数据化简计算 【详解】（1）. （2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则： ，得  ①； ，得  ②； 由①②两式，得倍. （3）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：， 即，即，即， 从而， 故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1. 考点五 分式函数 13．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)9万件 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得，当时，， 当时，， 故 （2）当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片. 14．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． (1)求x关于t的函数； (2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； (3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【答案】(1) (2) (3)当促销费投入7万元时，企业年利润最大 【分析】（1）利用待定系数法求解即可. （2）利用销售收入减去成本即得利润. （3）利用基本不等式处理该最值问题. 【详解】（1）由题意：与成反比例， 所以设，                            将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                     所以. （2）当年生产x(万件)时，年生产成本为：，         当销售x(万件)时，年销售收入为：，        由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 所以 即：. （3）由（2）有：         因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立.所以，，即. 所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 15．遵义市是全国著名的“红色旅游城市”，全年游客络绎不绝.该市某酒店2024年“标间”的价格为400元/间，整年的入住房间数为.该酒店为提高收益，决定在2025年对“标间”的价格进行调整，价格在288元/间至388元/间上下浮动.经过测算，若酒店标间价格下调至元/间时，新增入住间.设每间“标间”的成本费用（包括水电费、人工费等）为150元. (1)请直接写出2025年价格下调后酒店的“标间”，总收益（单位：元）关于实际价格（单位：元/间）的函数解析式； (2)若酒店仍希望2025年“标间”的总收益比上一年至少增长20%，则“标间”的价格最低应定为多少元/间？ (3)当“标间”的价格定为多少元/间时，可以使酒店的“标间”总收益达到最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，直接写出结果. （2）根据题意，写出2024年收益，进而列出不等式，求出结果，判断最小值. （3）根据函数解析式，以及对勾函数性质，求出在定义域内的最大值，求出此时的“标间”的价格即可. 【详解】（1）由题意得. （2）2024年收益为， 当2025年“标间”的总收益比2024年至少增长20%时，可得， 化简得，因为，解得， 所以当2025年“标间”的总收益比上一年至少增长20%， “标间”的价格最低应定为300元/间. （3）可知， 令，则， 可得， 当，即，根据对勾函数可知，在定义域为时， 函数在上单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，即时，可以使酒店的“标间”总收益达到最大. 考点六 拟合函数模型 16．在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，与相差较大，排除选项A； 对于B，当时，与相差较大，排除选项B； 对于C，当时，与相差较大，排除选项C； 对于D，与相差很小，与相差很小， 与相差很小，与相差很小， 因此函数可作拟合函数，D适合． 17．某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表： 身高 80 90 100 110 120 130 体重 10 12 15 17 20 27    根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的函数关系，现有三种模型提供选择：①，②，③ (1)你认为最符合实际的函数模型是哪个（说明理由）？并利用，，这三组数据求出此函数模型的解析式； (2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？ （参考数据：） 【答案】(1) 选择模型①，因为体重随着身高的增大而增大，并且增长的速度越来越快，属于指数爆炸性增长模型． 把，，这三组数据分别代入， 可得①，消去，可得②， 将两式相除可得，将其代入①式，可得：解得：， 故． (2)正常 【分析】（1）根据散点图和表中的数据特征确定应选择模型①，代入三组值，解一个三元方程组即得函数模型的解析式； （2）依题意，根据该男性的身高代入解析式算出对应的体重平均值，结合其实际体重与平均体重的比值进行判断即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以，当时， 由，即，所以，所以， 所以， 因，且， 故该未成年男性的体重正常． 18．国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值； (2)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】(1) (2)选择函数模型②，. (3)961. 【分析】（1）由即可求解； （2）通过函数单调性确定选择函数模型②.再由即可求解； （3）由（2）确定，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元， 所以， 解得. （2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①和③在上都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，得，解得. 所以解得. 所以日销售量与时间的变化关系为. （3）由（2）知， 所以， 即， 当时，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，单调递减， 所以. 综上所述，当时，取得最小值，最小值为961. 考点七 方案设计问题 19．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【解析】（1）由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利； （2）方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理. 20．某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. (1)当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； (2)求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)15 (2)；38400 (3) 【分析】（1）根据，代入即可求解， （2）利用基本不等式即可求解， （3）根据题意列出不等式，分离参数，进而结合换元法以及函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）宽度为10米时，方案二的报价为37800元， 即，所以的值为15. （2）底面长为，所以墙面面积为， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以方案一中报价的最小值为38400元. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为， 设，则， 由于对勾函数在单调递增， 故当时，取最小值，所以， 又，所以， 所以若对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 21．数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)第3年 (3)第一方案 【分析】（1）根据盈利额的定义，用总收入减去购买成本和使用支出费用来构建函数关系式； （2）令盈利额大于0，求解不等式，即可得到结果； （3）分别计算两种方案下的总获利，比较大小来判断哪种方案更合理. 【详解】（1）由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得： . （2）令，即，即， 对于方程，由求根公式可得， 又，则， ， 所以不等式的解为， 且，所以从第3年开始盈利. （3）第一方案：对于，对称轴为， 当时，（万元）， 此时机床剩余价值为， 总获利为（万元）； 第二方案：年平均盈利额为 其中， 当且仅当时，即时，等号成立， 且，则或， 当时，（万元）， 当时，（万元）， 所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额（万元）， 机床剩余价值为（万元）， 总获利为（万元）， 因为，所以第一方案较为合理. 一、单选题 1．（2024·山东滨州竞赛)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2500 B．2600 C．2700 D．2800 【答案】B 【解析】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数， 当一条鲑鱼静止时，，此时，则，即耗氧量为； 当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为， 因此当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为. 故选：B. 2．（2024·湖南吉首市教师解题大赛）“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（    ）（参考数据：） A．13年 B．14年 C．15年 D．16年 【答案】D 【解析】由题意，，即，所以， 令，即，故，即， 可得，即． 故选：D 3．（2024·湖南邵阳高一竞赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， 根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为， 当点在边上时（不含端点），，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 当点在边上时，，，，如图， ∴，， ∴， 即, 综上所述，与的函数关系式为 ， ∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分． 故选：C 4．（第五届“枫叶新希望杯”全国高一竞赛（初赛））在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ． 【答案】 【解析】根据题意，可得， 所以，即，可得， 而，则，所以，即燃料质量与火箭质量的比值是. 二、填空题 5．（第七届-“枫叶新希望杯”高一竞赛（B卷））某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 明文密文密文明文 现设解密密钥为：，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 【答案】2 【解析】因解密密钥为：，密文“3”通过解密后得到明文“8”即 ，解得． 依题意，加密秘钥为：，故当输入明文为“4”时，接受方所得的密文为． 3、 解答题 6．（2025·湖南省邵阳市高一上拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛））某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案． 【解析】（1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意，得：， 解得：，经检验是原方程的解；∴； 故每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，由题意，得： ， 解得：， 为整数，，共3种方案； ， 随的增大而减小， ∴当时，有最大值为元， 即当购买电冰箱34台时，购进空调台，利润最大，为元． （3）由题意得：， 当，即：，随的增大而增大， ∴当购买电冰箱36台，购进空调台，利润最大， 当，即：，随的增大而减小， ∴当购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大， 当，即：，每种方案的总利润相同，均为元． 7.（2024·山东高密冬季竞赛考）某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． (1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） (2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 【解析】（1）该景区的门票收入为万元， 则利润，即， 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式； （2）当时，， 当时，二次函数开口向下，对称轴为，故， 当时，，当且仅当，即时等号成立， ， 综上，游客人数为万时利润最大，最大利润为万元． 8．（2024·湖南邵阳竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 【解析】（1）当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上，. （2）①1次，理由如下：由题意， 从降至，则，可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 综上，只加热过一次. ②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟. 所以在时，水温正好被加热到. 从降至，则，可得， 从加热至，则，可得， 所以在上递减，且，即. 9．（2026·广东汕头竞赛）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1)年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； (2)年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. （2）设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数模型的应用 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 利用图象刻画实际问题 题型05 分式函数 题型02 二次函数与幂函数模型 题型06 拟合函数模型 题型03 分段函数模型 题型07 方案设计问题 题型04 指数函数与对数函数模型 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题9道） 考点一 利用图象刻画实际问题 1．某条公共汽车路线收支差额收支差额车票收入支出费用与乘客量的图象如图所示．由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；（2）不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法正确的是（   ）． A．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B．①反映了建议（1），③反映了建议（2） C．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2） 2．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 3．学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 考点二 二次函数与幂函数模型 4．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 5．在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 6．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型（不需要证明），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 考点三 分段函数模型 7．某科研单位研制出一种空气净化剂，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于40毫克／立方米时，它才能起到有效净化空气的作用． (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时长能否达到4小时？并说明理由； (2)若第一次喷洒4个单位的净化剂，2小时后再喷洒1个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为毫克／立方米，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值． 8．某单面打印机在连续打印时，打印速度会随时间而变化.从开始打印经过分钟时的打印速度（单位：页/分钟）为，累计打印页数为，且当时，. (1)求； (2)求关于的函数关系式； (3)若从第分钟到第分钟，打印页数不少于41页，求的取值范围. 9．国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 考点四 指数函数与对数函数模型 10．模型是常用于描述物种数量增长或信息传播规律的数学模型.某学者根据社交平台上某热点话题的转发数据，建立了该话题累计转发量（的单位：小时）的模型：，其中为平台潜在最大转发量，为增长速率.已知当时，转发量达到最大转发量的.当时，标志着该话题已进入传播饱和阶段，则从到进入传播饱和阶段大约还需要（    ）小时.（注：为自然对数的底数，） A． B． C． D． 11．某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 12．中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. (1)当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； (2)假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ (3)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 考点五 分式函数 13．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 14．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． (1)求x关于t的函数； (2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； (3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 15．遵义市是全国著名的“红色旅游城市”，全年游客络绎不绝.该市某酒店2024年“标间”的价格为400元/间，整年的入住房间数为.该酒店为提高收益，决定在2025年对“标间”的价格进行调整，价格在288元/间至388元/间上下浮动.经过测算，若酒店标间价格下调至元/间时，新增入住间.设每间“标间”的成本费用（包括水电费、人工费等）为150元. (1)请直接写出2025年价格下调后酒店的“标间”，总收益（单位：元）关于实际价格（单位：元/间）的函数解析式； (2)若酒店仍希望2025年“标间”的总收益比上一年至少增长20%，则“标间”的价格最低应定为多少元/间？ (3)当“标间”的价格定为多少元/间时，可以使酒店的“标间”总收益达到最大？ 考点六 拟合函数模型 16．在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 17．某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表： 身高 80 90 100 110 120 130 体重 10 12 15 17 20 27    根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的函数关系，现有三种模型提供选择：①，②，③ (1)你认为最符合实际的函数模型是哪个（说明理由）？并利用，，这三组数据求出此函数模型的解析式； (2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？ （参考数据：） 18．国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值； (2)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值. 考点七 方案设计问题 19．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 20．某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. (1)当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； (2)求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 21．数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 一、单选题 1．（2024·山东滨州竞赛)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2500 B．2600 C．2700 D．2800 2．（2024·湖南吉首市教师解题大赛）“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（    ）（参考数据：） A．13年 B．14年 C．15年 D．16年 3．（2024·湖南邵阳高一竞赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 4．（第五届“枫叶新希望杯”全国高一竞赛（初赛））在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ． 二、填空题 5．（第七届-“枫叶新希望杯”高一竞赛（B卷））某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 明文密文密文明文 现设解密密钥为：，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 3、 解答题 6．（2025·湖南省邵阳市高一上拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛））某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案． 7.（2024·山东高密冬季竞赛考）某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． (1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） (2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 8．（2024·湖南邵阳竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 9．（2026·广东汕头竞赛）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $