专题11 函数y=Asin(wx+φ)（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 函数 （题型突破·举一反三） 题型01 相位变换及解析式特征 1 题型02 周期变换及解析式特征 2 题型03 正(余)弦型函数图象的变换 4 题型04 通过三角函数单调性与奇偶性求ω与φ的参数 6 题型05 通过三角函数周期性求ω与φ的参数 7 题型06 通过三角函数最值或值域求ω与φ的参数 9 题型07 通过三角函数零点或根求ω与φ的参数 10 题型08 通过三角函数图象求ω与φ的参数 11 ▌题型01 相位变换及解析式特征 相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】对于三角函数图象平移，遵循“左加右减，针对本身”的原则. 将平移得到. 先对目标函数变形：. 对比与，替换为， 根据“右减”规则，需将的图象向右平移个单位长度. 【变式1-1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式1-2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）为了得到函数的图象，则只需将的图象（    ） A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 【变式1-3】（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ▌题型02 周期变换及解析式特征 周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 【典例2-1】．（24-25高一上·全国·课堂例题）为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：. 【变式2-1】（2022·河南开封·模拟预测）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）为了得到，的图象，只需把余弦曲线上所有点的（   ）． A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【变式2-3】（23-24高一下·陕西·阶段检测）为了得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 ▌题型03 正(余)弦型函数图象的变换 函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【典例3-1】（22-23高一下·江西·期末）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据伸缩得出解析式，再结合平移得出函数的解析式即可. 【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的得， 纵坐标伸长为原来的2倍得, 将所得图象向右平移个单位长度，即． 故选:A． 【变式3-1】（25-26高一下·湖北·期中）为了得到函数的图象，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式3-2】（25-26高一下·广东汕尾·期中）只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【变式3-3】（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； ▌题型04 通过三角函数单调性与奇偶性求ω与φ的参数 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 【典例4-1】（25-26高一下·江西吉安·期末）已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，从而求出答案 【详解】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得， 因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 【典例4-2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得. 因为为偶函数，所以，可得. 因为，所以当时，即得最小值. 【变式4-1】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【变式4-3】（25-26高三上·江西·阶段检测）将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. ▌题型05 通过三角函数周期性求ω与φ的参数 利用公式求周期. 【典例5】（多选）（24-25高二下·广西南宁·期末）已知函数的最小正周期为，则（  ） A． B．曲线的一个对称中心为 C．的单调递增区间 D．将正弦曲线向左平移个单位长度可得到曲线 【答案】BC 【分析】对于A：利用周期的公式即可求得结果；对于B：利用对称中心的公式即可求得结果，对于C：利用单调递增区间的公式即可求得结果；对于D：利用平移变换“左加右减”即可求得结果. 【详解】对于A：因为，所以，故A不正确； 对于B：，令，得曲线的对称中心为， 当时，对称中心为，所以B正确； 对于C：令，得的单调递增区间为， 所以C正确； 对于D：将正弦曲线向左平移个单位长度得到曲线，所以D不正确. 故选：BC 【变式5-1】（多选）（2026·湖南永州·一模）已知函数的最小正周期为，则（ ） A． B． C．在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 【变式5-2】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【变式5-3】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． ▌题型06 通过三角函数最值或值域求ω与φ的参数 根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值. 【典例6】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简三角表达式得到，再分别利用在单调递增、在上恰好取得一次最大值 这两个条件列出关于的不等式，联立取交集得到的取值范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 【变式6-1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. ▌题型07 通过三角函数零点或根求ω与φ的参数 换元得的区间，结合图象，列出关于的不等式组。 关键：端点是否取得到，要看题目条件，注意开闭。 【典例7】（26-27高三·全国·一轮复习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出平移后的函数解析式及其整体相位的取值范围，根据“恰有3个零点”结合正弦函数的图象即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点，所以， 解得. 【变式7-1】（25-26高三上·江西赣州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数.若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数将函数图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍得到，若在区间上恰有个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型08 通过三角函数图象求ω与φ的参数 五点（针对,）：，对应上升零点、最高点、下降零点、最低点、上升零点。 解题步骤： ①看图象上下高度求； ②读图象周期T，求； ③取图象上关键点代入匹配五点，解； ④结合范围取舍，优先取绝对值小的初相。 【典例8】（25-26高一上·天津·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的对称中心为 B．当时， C．的单调递减区间为 D．若，且，则 【答案】D 【分析】对于A，根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，根据正弦函数的对称性可判断A；对于B，由的范围求的范围，再结合正弦函数性质求的范围可判断B；对于C，根据正弦函数的单调性求函数的单调递减区间判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】对于A，已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，，又， 则，则， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，故A错误； 对于B，由，可得， 所以，所以， 当时，，当时，，B错误； 对于C，由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象， 可知， 则，则，故D正确. 故选：D 【变式8-1】（2026·天津河北·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【变式8-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（    ）    A．2， B．2， C．2， D．4， 【变式8-3】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 （题型突破·举一反三） ▌题型01 相位变换及解析式特征 【典例1】 【答案】D 【详解】对于三角函数图象平移，遵循“左加右减，针对本身”的原则. 将平移得到. 先对目标函数变形：. 对比与，替换为， 根据“右减”规则，需将的图象向右平移个单位长度. 【变式1-1】 【答案】B 【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案. 【详解】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 【变式1-2】 【答案】B 【分析】根据平移变换左加右减原则即可求解. 【详解】因为， 所以只需将的图象向左平移个长度单位. 故选：B. 【变式1-3】 【答案】C 【详解】因为，根据函数图象的平移变换规律， 将函数图象上的每个点向左平行移动个单位长度， 即可得函数的图象. ▌题型02 周期变换及解析式特征 【典例2-1】． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：. 【变式2-1】 【答案】B 【分析】结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】根据三角函数的图象变换，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来 倍，即可得到函数. 故选：B． 【变式2-2】 【答案】B 【分析】根据余弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】由题意得，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 即可得到，的图象． 故选：B. 【变式2-3】 【答案】D 【分析】根据三角函数的图象变换即可得到结论. 【详解】将图象上所有的点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：D. ▌题型03 正(余)弦型函数图象的变换 【典例3-1】 【答案】A 【分析】先根据伸缩得出解析式，再结合平移得出函数的解析式即可. 【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的得， 纵坐标伸长为原来的2倍得, 将所得图象向右平移个单位长度，即． 故选:A． 【变式3-1】 【答案】B 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 【变式3-2】 【答案】D 【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解. 【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 【变式3-3】 【答案】AD 【分析】由三角函数图象平移逐项判断即可； 【详解】对于A，将函数图象先向右平行移动个单位得到， 再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，说法正确； 对于B，将函数图象先向左平行移动个单位得到， 再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，说法错误； 对于C，将函数图象先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到， 再向右平行移动个单位得到，说法错误； 对于D，将函数图象先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到， 再向右平行移动个单位得到，说法正确； 故选：AD ▌题型04 通过三角函数单调性与奇偶性求ω与φ的参数 【典例4-1】 【答案】B 【分析】根据题意得到，，从而求出答案 【详解】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得， 因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 【典例4-2】 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得. 因为为偶函数，所以，可得. 因为，所以当时，即得最小值. 【变式4-1】 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】，的图象关于点对称， 又，当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，，. ，时，. 【变式4-2】 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 【变式4-3】 【答案】D 【分析】利用平移变换得到，然后根据正切函数的性质得，结合的范围即可求解. 【详解】依题意，函数的最小正周期为 由为奇函数，可得,即， 因为，所以当时，. 故选：D. 【变式4-4】 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 ▌题型05 通过三角函数周期性求ω与φ的参数 【典例5】 【答案】BC 【分析】对于A：利用周期的公式即可求得结果；对于B：利用对称中心的公式即可求得结果，对于C：利用单调递增区间的公式即可求得结果；对于D：利用平移变换“左加右减”即可求得结果. 【详解】对于A：因为，所以，故A不正确； 对于B：，令，得曲线的对称中心为， 当时，对称中心为，所以B正确； 对于C：令，得的单调递增区间为， 所以C正确； 对于D：将正弦曲线向左平移个单位长度得到曲线，所以D不正确. 故选：BC 【变式5-1】 【答案】ACD 【分析】先由周期公式求出得到函数解析式，再逐个选项代入求值、换元结合复合函数单调性法则、利用正弦函数对称中心性质判断正误． 【详解】对于A，由函数的最小正周期为，得，解得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，令， 因为在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数同增异减的性质，得在上单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以点是的图象的对称中心，D正确． 【变式5-2】 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 【变式5-3】 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以， 令， 解得， 令得，A正确， 令得，C正确， 令得，D正确. ▌题型06 通过三角函数最值或值域求ω与φ的参数 【典例6】 【答案】B 【分析】先化简三角表达式得到，再分别利用在单调递增、在上恰好取得一次最大值 这两个条件列出关于的不等式，联立取交集得到的取值范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 【变式6-1】 【答案】B 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最小值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值， 所以， 由，得， 所以， 令，则. 由在区间上有且只有一个使，所以， 所以， 所以，解得，又，， 若，则，此时取，可使成立， 当时，，其中或时，，不合题意，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，当且仅当时，，所以满足题意. 故的最大值为. 【变式6-2】 【答案】C 【分析】根据函数的值域可推断在和处分别取得最大和最小值，因此区间的长度需要超过周期的一半，再用表示，且两数要在上述区间中，求解不等式可得答案. 【详解】函数的值域为，而，则和必定一个为，一个为， 不妨设，， 函数的周期，要使，且，， 则，即， 对于函数， 有，则，其中， 因为，所以，解得，其中， 因为，所以， 若，即，不满足； 若，即，故. 同理，，则，其中， 因为，所以，解得，其中， 因为，所以， 若，即，结合，即. 综上所述，的最小值为 【变式6-3】 【答案】 【分析】结合三角函数图象性质可列出与有关不等式，结合为整数计算即可得解. 【详解】当时，， 则有，， 解得，， 当时，，，则不等式组无解； 当时，有，即； 当时，由，，则不等式组无解； 综上可得. ▌题型07 通过三角函数零点或根求ω与φ的参数 【典例7】 【答案】A 【分析】先求出平移后的函数解析式及其整体相位的取值范围，根据“恰有3个零点”结合正弦函数的图象即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点，所以， 解得. 【变式7-1】 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式及图象平移得，再由余弦型函数的周期性及区间上零点的个数列不等式求参数范围. 【详解】由题意， 函数向右平移个单位长度，得， 当，则， 由题意，在区间上恰好有2个解， 因此，即. 故选：D 【变式7-2】 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用正弦函数的零点为以及自变量的取值范围即可求解. 【详解】因， 将其图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到， 则，由，可得， 因为在区间上恰有个零点， 令，即，则，其中，因， ①使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ②使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ③使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，无解； 同理，使得的的取值是和时，其中，同样无解， 综上所述，的取值范围为. 【变式7-3】 【答案】A 【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A ▌题型08 通过三角函数图象求ω与φ的参数 【典例8】 【答案】D 【分析】对于A，根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，根据正弦函数的对称性可判断A；对于B，由的范围求的范围，再结合正弦函数性质求的范围可判断B；对于C，根据正弦函数的单调性求函数的单调递减区间判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】对于A，已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，，又， 则，则， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，故A错误； 对于B，由，可得， 所以，所以， 当时，，当时，，B错误； 对于C，由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象， 可知， 则，则，故D正确. 故选：D 【变式8-1】 【答案】B 【详解】由图象可知：，，所以， 由得. 由，得，又可得. 所以，故A正确； 因为，所以不是函数的对称中心，故B错误； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得，故D正确. 【变式8-2】 【答案】C 【分析】先由函数的图象确定函数的周期，求得的值，再由，列出方程，求得的值，得到答案. 【详解】设函数的周期为，由图象得， 解得，所以，即， 又由图象知，点在函数的图象上， 可得，即， 则，解得， 因为，可得. 故选：C. 【变式8-3】 【答案】AD 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得的解析式，可判定A正确；列出方程，求得，举反例可判定B错误；利用三角函数的图象变换，可判定C错误；画出函数与的图象，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数的图象，可得，最小正周期， 则，所以， 又由， 根据五点对应法，可得，所以， 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，即且， 可得且， 因为，所以不妨设或， 即或， 所以，其中， 当时，，所以B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，所以C错误； 对于D，画出函数和在上的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数的图象共有4个交点，所以D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 （题型突破·举一反三） 题型01 相位变换及解析式特征 1 题型02 周期变换及解析式特征 3 题型03 正(余)弦型函数图象的变换 5 题型04 通过三角函数单调性与奇偶性求ω与φ的参数 7 题型05 通过三角函数周期性求ω与φ的参数 11 题型06 通过三角函数最值或值域求ω与φ的参数 13 题型07 通过三角函数零点或根求ω与φ的参数 17 题型08 通过三角函数图象求ω与φ的参数 20 ▌题型01 相位变换及解析式特征 相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】对于三角函数图象平移，遵循“左加右减，针对本身”的原则. 将平移得到. 先对目标函数变形：. 对比与，替换为， 根据“右减”规则，需将的图象向右平移个单位长度. 【变式1-1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案. 【详解】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 【变式1-2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）为了得到函数的图象，则只需将的图象（    ） A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 【答案】B 【分析】根据平移变换左加右减原则即可求解. 【详解】因为， 所以只需将的图象向左平移个长度单位. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【详解】因为，根据函数图象的平移变换规律， 将函数图象上的每个点向左平行移动个单位长度， 即可得函数的图象. ▌题型02 周期变换及解析式特征 周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 【典例2-1】．（24-25高一上·全国·课堂例题）为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：. 【变式2-1】（2022·河南开封·模拟预测）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】B 【分析】结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】根据三角函数的图象变换，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来 倍，即可得到函数. 故选：B． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）为了得到，的图象，只需把余弦曲线上所有点的（   ）． A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据余弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】由题意得，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 即可得到，的图象． 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·陕西·阶段检测）为了得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据三角函数的图象变换即可得到结论. 【详解】将图象上所有的点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：D. ▌题型03 正(余)弦型函数图象的变换 函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【典例3-1】（22-23高一下·江西·期末）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据伸缩得出解析式，再结合平移得出函数的解析式即可. 【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的得， 纵坐标伸长为原来的2倍得, 将所得图象向右平移个单位长度，即． 故选:A． 【变式3-1】（25-26高一下·湖北·期中）为了得到函数的图象，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 【变式3-2】（25-26高一下·广东汕尾·期中）只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解. 【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 【变式3-3】（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； 【答案】AD 【分析】由三角函数图象平移逐项判断即可； 【详解】对于A，将函数图象先向右平行移动个单位得到， 再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，说法正确； 对于B，将函数图象先向左平行移动个单位得到， 再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，说法错误； 对于C，将函数图象先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到， 再向右平行移动个单位得到，说法错误； 对于D，将函数图象先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到， 再向右平行移动个单位得到，说法正确； 故选：AD ▌题型04 通过三角函数单调性与奇偶性求ω与φ的参数 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 【典例4-1】（25-26高一下·江西吉安·期末）已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，从而求出答案 【详解】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得， 因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 【典例4-2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得. 因为为偶函数，所以，可得. 因为，所以当时，即得最小值. 【变式4-1】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】，的图象关于点对称， 又，当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，，. ，时，. 【变式4-2】（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 【变式4-3】（25-26高三上·江西·阶段检测）将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移变换得到，然后根据正切函数的性质得，结合的范围即可求解. 【详解】依题意，函数的最小正周期为 由为奇函数，可得,即， 因为，所以当时，. 故选：D. 【变式4-4】（25-26高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 ▌题型05 通过三角函数周期性求ω与φ的参数 利用公式求周期. 【典例5】（多选）（24-25高二下·广西南宁·期末）已知函数的最小正周期为，则（  ） A． B．曲线的一个对称中心为 C．的单调递增区间 D．将正弦曲线向左平移个单位长度可得到曲线 【答案】BC 【分析】对于A：利用周期的公式即可求得结果；对于B：利用对称中心的公式即可求得结果，对于C：利用单调递增区间的公式即可求得结果；对于D：利用平移变换“左加右减”即可求得结果. 【详解】对于A：因为，所以，故A不正确； 对于B：，令，得曲线的对称中心为， 当时，对称中心为，所以B正确； 对于C：令，得的单调递增区间为， 所以C正确； 对于D：将正弦曲线向左平移个单位长度得到曲线，所以D不正确. 故选：BC 【变式5-1】（多选）（2026·湖南永州·一模）已知函数的最小正周期为，则（ ） A． B． C．在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】先由周期公式求出得到函数解析式，再逐个选项代入求值、换元结合复合函数单调性法则、利用正弦函数对称中心性质判断正误． 【详解】对于A，由函数的最小正周期为，得，解得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，令， 因为在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数同增异减的性质，得在上单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以点是的图象的对称中心，D正确． 【变式5-2】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 【变式5-3】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以， 令， 解得， 令得，A正确， 令得，C正确， 令得，D正确. ▌题型06 通过三角函数最值或值域求ω与φ的参数 根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值. 【典例6】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简三角表达式得到，再分别利用在单调递增、在上恰好取得一次最大值 这两个条件列出关于的不等式，联立取交集得到的取值范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 【变式6-1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最小值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值， 所以， 由，得， 所以， 令，则. 由在区间上有且只有一个使，所以， 所以， 所以，解得，又，， 若，则，此时取，可使成立， 当时，，其中或时，，不合题意，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，当且仅当时，，所以满足题意. 故的最大值为. 【变式6-2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的值域可推断在和处分别取得最大和最小值，因此区间的长度需要超过周期的一半，再用表示，且两数要在上述区间中，求解不等式可得答案. 【详解】函数的值域为，而，则和必定一个为，一个为， 不妨设，， 函数的周期，要使，且，， 则，即， 对于函数， 有，则，其中， 因为，所以，解得，其中， 因为，所以， 若，即，不满足； 若，即，故. 同理，，则，其中， 因为，所以，解得，其中， 因为，所以， 若，即，结合，即. 综上所述，的最小值为 【变式6-3】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】结合三角函数图象性质可列出与有关不等式，结合为整数计算即可得解. 【详解】当时，， 则有，， 解得，， 当时，，，则不等式组无解； 当时，有，即； 当时，由，，则不等式组无解； 综上可得. ▌题型07 通过三角函数零点或根求ω与φ的参数 换元得的区间，结合图象，列出关于的不等式组。 关键：端点是否取得到，要看题目条件，注意开闭。 【典例7】（26-27高三·全国·一轮复习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出平移后的函数解析式及其整体相位的取值范围，根据“恰有3个零点”结合正弦函数的图象即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点，所以， 解得. 【变式7-1】（25-26高三上·江西赣州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数.若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式及图象平移得，再由余弦型函数的周期性及区间上零点的个数列不等式求参数范围. 【详解】由题意， 函数向右平移个单位长度，得， 当，则， 由题意，在区间上恰好有2个解， 因此，即. 故选：D 【变式7-2】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数将函数图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍得到，若在区间上恰有个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用正弦函数的零点为以及自变量的取值范围即可求解. 【详解】因， 将其图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到， 则，由，可得， 因为在区间上恰有个零点， 令，即，则，其中，因， ①使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ②使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ③使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，无解； 同理，使得的的取值是和时，其中，同样无解， 综上所述，的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A ▌题型08 通过三角函数图象求ω与φ的参数 五点（针对,）：，对应上升零点、最高点、下降零点、最低点、上升零点。 解题步骤： ①看图象上下高度求； ②读图象周期T，求； ③取图象上关键点代入匹配五点，解； ④结合范围取舍，优先取绝对值小的初相。 【典例8】（25-26高一上·天津·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的对称中心为 B．当时， C．的单调递减区间为 D．若，且，则 【答案】D 【分析】对于A，根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，根据正弦函数的对称性可判断A；对于B，由的范围求的范围，再结合正弦函数性质求的范围可判断B；对于C，根据正弦函数的单调性求函数的单调递减区间判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】对于A，已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，，又， 则，则， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，故A错误； 对于B，由，可得， 所以，所以， 当时，，当时，，B错误； 对于C，由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象， 可知， 则，则，故D正确. 故选：D 【变式8-1】（2026·天津河北·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】B 【详解】由图象可知：，，所以， 由得. 由，得，又可得. 所以，故A正确； 因为，所以不是函数的对称中心，故B错误； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得，故D正确. 【变式8-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（    ）    A．2， B．2， C．2， D．4， 【答案】C 【分析】先由函数的图象确定函数的周期，求得的值，再由，列出方程，求得的值，得到答案. 【详解】设函数的周期为，由图象得， 解得，所以，即， 又由图象知，点在函数的图象上， 可得，即， 则，解得， 因为，可得. 故选：C. 【变式8-3】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】AD 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得的解析式，可判定A正确；列出方程，求得，举反例可判定B错误；利用三角函数的图象变换，可判定C错误；画出函数与的图象，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数的图象，可得，最小正周期， 则，所以， 又由， 根据五点对应法，可得，所以， 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，即且， 可得且， 因为，所以不妨设或， 即或， 所以，其中， 当时，，所以B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，所以C错误； 对于D，画出函数和在上的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数的图象共有4个交点，所以D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $