专题09 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题09 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （题型突破·举一反三） 题型01 利用两角的正余弦值求和差公式 1 题型02 利用两角正余弦乘积求和差公式 2 题型03 两角和差正余弦公式的逆用 3 题型04 两角和差正切公式的应用 5 题型05 两角和差正切公式的逆用 6 题型06 给值求值、给值求角 6 题型07 综合化简问题 9 题型08 积化和差、和差化积 9 ▌题型01 利用两角的正余弦值求和差公式 已知两角的三角函数值，直接代入sin(α±β)、cos(α±β)展开式求值。关键：先由角的范围及已知值，用平方关系求出另一三角函数值，注意符号判断；若已知正切，可先化弦或直接代入正切展开式。注意角的范围决定正负，勿漏讨论。 【典例1】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 【变式1-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（2026高三·全国·专题练习）若，其中，则_________． ▌题型02 利用两角正余弦乘积求和差公式 给出sinαcosβ、cosαsinβ、cosαcosβ、sinαsinβ等乘积结构，逆用和差公式合并为sin(α±β)或cos(α±β)。技巧：观察符号匹配——"正余余正"配sin，"余余正正"配cos，符号同加异减要对应；常配合整体代换，合并后再求值或化简。 【典例2】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以， 故选：B. 【变式2-1】（多选）（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（25-26高三上·辽宁·阶段检测）设，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为锐角，，则（　　） A． B． C． D． ▌题型03 两角和差正余弦公式的逆用 由展开式结构反向合并：sinαcosβ±cosαsinβ=sin(α±β)，cosαcosβ∓sinαsinβ=cos(α±β)。关键：识别"同名乘积"与符号规律，凑出两角α、β；常见于化简求值，如遇特殊结构可提取系数凑公式。逆用后往往化为一角一函数，便于求最值、周期。 【典例3】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）图①②是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，图③④是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，下图是由①②③④这四个直角三角形与一个矩形（图⑤）无缝拼接而成，且，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为（ ）           A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型04 两角和差正切公式的应用 正用tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。注意公式成立条件：α、β、α±β均不为kπ+π/2。技巧：已知tanα、tanβ直接代入；含根号时常凑tan60°、tan45°等特殊值；求值后注意角的范围确定终值，避免增根。 【典例4】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）的值为___________． 【答案】/ 【详解】 . 故答案为：. 【变式4-1】（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若，则（    ） A． B． C． D． ▌题型05 两角和差正切公式的逆用 识别结构(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)逆用为tan(α±β)。常见变式：tanα+tanβ=tan(α+β)(1−tanαtanβ)，tanαtanβ=1−(tanα+tanβ)/tan(α+β)。技巧：遇"1"联想tan45°，遇√3联想tan60°，凑出两角和差形式后整体求值。 【典例5】（2026·江苏南通·一模）已知，，，则__________. 【答案】/ 【详解】因为，，，解得， 又，则，，则， ，因为 所以， 由， 解得. 故答案为： 【变式5-1】（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）_______． 【变式5-2】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则__________. ▌题型06 给值求值、给值求角 给值求值：抓角的变换，用已知角表示所求角（如β=(α+β)−α、2α=(α+β)+(α−β)），先求相关三角函数值，由范围定符号再代入。给值求角：①求所求角的某三角函数值（优先选该范围内单调的，常选正切）；②结合条件缩小角的范围防多解；③定角。口诀"先定象限，再定值"。 【典例6-1】（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 得，所以， 所以． 【典例6-2】（26-27高二上·贵州毕节·开学考试）若，，且，，则______ 【答案】/ 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因，则， 故 ， 因为，，所以，故. 【变式6-1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）设，且，则______． 【变式6-2】（安徽部分校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题B卷）已知． (1)求的值，并证明； (2)若，求的值． ▌题型07 综合化简问题 原则："统一角、统一函数名、统一次数"。策略：切化弦、异角化同角、高次降幂、分式通分约分；遇1±sinα、1±cosα考虑配方或半角，遇sinαcosα用二倍角。化简目标最简形式，求值先化简再代入，注意特殊角与符号判断，整体代换减少运算。 【典例7】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为角终边经过点， 所以，且为第三象限角, 所以， 又将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，所以， 所以 故选：D 【变式7-1】（26-27高三·全国·二轮复习）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·安徽宿州·一模）已知满足，则（    ） A． B． C． D． ▌题型08 积化和差、和差化积 积化和差由两角和差公式相加减推出：sinαcosβ=½[sin(α+β)+sin(α−β)]等。和差化积令A=α+β、B=α−β代换反解：sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A−B)/2)。技巧：积化和差用于"降次合并"，和差化积用于"化积便于约分或定号"，注意系数½与2勿混。 【典例8】（26-27高二·全国·一轮复习）求． 【答案】 【分析】方法一：展开，结合积化和差公式化简可得，再结合分圆恒等式求结论. 方法二：由二倍角公式原式可化为，再根据分圆恒等式结论求值即可 . 【详解】  方法一：， 法二：原式． 【变式8-1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）（1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（2026高一上·全国·专题练习）（1）求值： （2）求值： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (题型突破举一反三) 题型01利用两角的正余弦值求和差公式 典例精析 【典例】 【答案】D 【分析】由题意得a=(α+P)-B,利用同角关系式和两角差的余弦公式求解 【详解1因为ae(.引所以a+A 已知sma+-片0，所以a+Be气】 因tme+--可-29 已知cosB= cosa=cos[(a+B)-B]=cos(@+B)cosB+sin(a+B)sinB 2x5lx6-6 3 3 9 举一反三 【变式1-1】 【答案】D 【分析】由题可知sin 即可 【详解1由好a<平0<B<至符受<a+< 4 4 3死3+B<元， 44 1/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为m任+m(经+小 所以m任+a小经+小品. 所以m(a+例=-sm[任+a{经+p小m任+ojm++em[日+m年+ [)-(8)-等 故选：D 【变式12】 【答案】C 【分析】由平方关系分别求出cosa,cos(a+P),利用B=(a+P)-a,由两角差的余弦公式求解 【详解】因为a0 所以ma>0所以aa-ma)-号 3π 因为a+Be0,2),sin(a+pP)>0,所以a+Be(0,), 又sin(a+p)<sina, 所以a+ cos(a+B)<0 所以oae+=-a+==吕 故选：C 【变式13】 6 【答案】65 【详1因为m(任小所以ma-引-sm任-小且a-(小月 做oa4l-sma-到号 因m年+可号好+（任引所以m任+小任+月- 2117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以 ma*-oma-引升任》-a-引m任pma-m任+号()号- 题型02利用两角正余弦乘积求和差公式 典例精析 【典例2】 【答案】B 【分折】先由an tan=3得sinasin=3:又由cos(a+P)=m得cosaosB=-7 ,最后由两 角差的余弦公式即可求解 【详解】由思意有：tanctanB-CsA-3→s如asi加B=3 cosacosp,. cosa cos B 又cos(a+p月=-csac0sB-sinsinB=-2 coac=m,所以s0sB=-7 2 所以cos(a-B)=cosacosB+sinasin B=4 cosacosB=4× m -2m 2 故选：B 三 举一反三 【变式21】 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出cosαsi血P的值，可判断A选项：利用两角差的正弦公式可判断B选 项；利用切化弦可判断C选项：利用二倍角的正弦公式可判断D选项 【详解】对于A选项，因为sin(a+p)=in+=-16 5, sinacosB=_36 65 所以cosa sin B= 13,故A正确： 对于B选项，sin(a-B)=sinac--oin=-36-4-56 6513=65,故B正确； 36 tana-sinacos65 对于C选项，tan B cosasinB 4 5,故C错误： 13 3117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sin2asin2β=2 sinacosa22 sin Bcos阝=4 sin a cos Bcosasin B=4× 36×4=_576 6513845 故D正确 故选：ABD, 【变式22】 【答案】BD 【分析】根据己知条件，结合两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，两角差的正切 公式依次判断每个选项的正误即可。 2 【详解】对于A,由osa-B)=cosacosp+sinasin=c0 sacos-,，得nasin·故A错误 对于B,cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B= 22=0,放B正确： 55 2 对于C,tan a tanB=sinasinA cosa cos B =1,故C错误： 2 5 tana-tan阝_tana-tanB 对于D,因为tan(a-B)= 1+tan a tan B 2 所以2tan(a-B)=tana-tanB,故D正确。 故选：BD 【变式2-3】 【答案】BCD 【分析】利用两角和差的余弦公式先求出c0 c=乙 -10sinasinB=1 =10可判断B:再由同角的三角函数关 系可得A;由二倍角的正弦公式可得C;利用和角的正切公式可得D. 3 cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B= 5 【详解】对于A、B, 4,则 cos(a-B)=cosa cos B+sinasin B= 1 sin asin B= 5 cosacosB=7 10 10 1 tanatanB= sinasinB101 cosa cosB=7=7,故A错误，B正确： 10 对于C,sin2asin2p=2 sina cosa.2 sin BcosB=4 sin asin B.cosa cos B=4× 177 101025,故C正确： 对于D,因为，B0 所以a+B∈(0，π)： 4117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由osla+月-gsm(a+p月=-osa+A- 所以an(a+p)=sim(a+p)4 cos(a+B)3, 所以tan(a+p)= tana+tanB l-tanatanβ →ana+iamg=tem(a+pl-tata/))-子l-}-9, 故D正确， 故选：BCD, 题型03两角和差正余弦公式的逆用 典例精析 【典例3】 【答案】B 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果。 【详解】由mcosa+nc0s号=m得m2cos2a+ncos2 a 2mncosacos a 2 =m2 同理可得m'sin2a+nsin2g-2 mnsinasin =n2 2 2 两式相加得m2+7+2 mcocs号-sinsin) =m2+n2 2 2 即cosacos -sinasina 3a =0,所以co =0, 2 3a 3π 因为2 0, 所以之-2得a=了，所以sa=号 30- 故选：B 举一反三 【变式3-1】 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：①②两个直角三角形的两条直角边分别为sina和cosC, ③④两个直角三角形的两条直角边分别为sinP和cosB,过F作CD的垂线，垂足为H, 5117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为AG=cosP,所以HD=cosa, 如图一，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为矩形ABHG与矩形HDEF面积的和， 设矩形ABHG的面积为S,矩形HDEF的面积为S2, S=sinacosB,S2=cosasinB S+S2=sinacosB+cosasinp=sin (a+B), 故所求五个图形的面积之和为sin(a+B), G ② ⑤ Va. ① sina F ② ⑤ (① 73 ③ ④ sinB ③B C H cosa 图一 图二 方法二：将这五个图形重新组合得到一个边长为1，一个内角为“+P的菱形， 如图二，菱形的高h=l·sin(a+P)=sin(a+B),则该菱形的面积为sin(a+), 故选：B 【变式3-2】 【答案】B 【详解】由tan Btany=-3,即cosBcos7 sin Asin=-3,可得sin sin=-3 o7' cosB cosy-sin Bsiny=4cosBcosy, 可得cos(B+Y)=4 cosBcosy, 因为a-B-Y=元，即B+y=-元， 可得cos(B+y)=cos(a-π)=-cosa=4 cos B cosy, 又因为sina=2 cosBcosy,日 即na=oasa,所以aa=-分 故选：B 【变式3-3】 【答案】A 【详解】由sina+siny=sinB,cosB+cosy=cosa,得sina-sinB=-siny,，cosa-cosB=cosy, 6117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .(sina-sin B)+(cosa-cosB)=(-siny)'+cos2r=1,2-2sinasin B-2cosacosB=1, 2-2osu-A)=1,解得os(a-P）=方 .sina-sin B=-siny<0 .'sina<sin B 点0a<B经 _T<a-B<0, a-B=号 故选：A. 题型04两角和差正切公式的应用 典例精析 【典例4】 【答案】2-V5/-5+2 【详解】tam555=tam(3x180+15'）=tan15=iam(60-45）=+an60an45 tan60°-tan45 5-1 (5- 1+V3 5*6-可2-6 故答案为：2-V5」 举一反三 【变式41】 【答案】C 【详解】因为sina= 二。二（π.元，所以C0sC=一V1-n=、4. 5,ana=sina、3 cosa4 7117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 in(a+B) sin a cos B+cosa sin B 因为 =sin a+cosa-tan Btan B=4, cosB cos B 55 所以anB=-l7 4 317 16 所以tan(a+B)= tan a+tan B 44 1-tan a tan B 3 17 1- 4 故选：C 【变式42】 【答案】A sina 3 )因为为锐角，sna则cosa=V1-sin2a=,所以， cosa 4' 31 tan a+tan B 由三角函数的定义可得 1,因此，tan(a+B)= =42=2 tan B=- 2 1-tanatanp 1-3xI 42 故选：A 【变式4-3】 【答案】A 3sina+2cosa 3tana+2 8 【详解】因为2sina-cosa 2tana-3,解得tana=2: tan a+tan 2+1 所以， tan a+- 4 =-3 4 1-tan a tan π1-2 故选：A. 题型05两角和差正切公式的逆用 E 典例精析 【典例5】 【答案1号04 8117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4、tana-tanβ 【详解】因为tan(a-)= 1 =31+tan c tan,,tana-tanB=2:解得an c tan B=2 又0<B<a<号则0ca-A子，ama-m=号，则sna-m= 4 cosa-川-号，因为anaa如B=0 sin- 3 cosa cos B 2' 1 所以sina sin B=。cosa cosB 3 cos(a-B)=cosa cosB+sina sin B= , 2 解得cosa cos B= 2 故答案为： 三举一反目 【变式51】 【答案】4 【详解】(1+tan20)(1+tan25）=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25° =1+tan(20°+25)1-tan20°tan25）+tan20°tan25°=2， (1+tan21)1+tan24o)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24 =1+tan(21°+24)(1-tan21°tan24o）+tan21°tan24°=2， :.(1+tan20)(1+tan21)(1+tan24)1+tan25)=4. 故答案为：4. 【变式52】 2W2 【答案】- 3 【详解】依题意，tan(a-B)= tana-tanB、4 =2√2>0 1+tanatanB1+√2-1 因为2<a<2+受eZ,2选+<<2选+经eZ, 即-2x子<-A<-2k-xeZ, 9117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以2k-k)压-<a-B<2-6)-会又am(e-9>0: 所以2(6-k)-<a-月<2-与)x-4,无eZ. 所以sn(a-)=-2v2 3 2W2 故答案为： 3 题型06给值求值、给值求角 E 典例精析 【典例61】 【答案】B 【详辨1因为5sma-2oa+写）-0， 所以5sna=2cosa+習=2 osco写 π） 2sin asin=cos a-3 sin a V3 得25sina=cosa' 所以tana= 6, 55 π tan a-tan 所以tana- 6=63 1+3xV s、3 6 1+tana tan 7· 6 63 【典例6-2】 7π 7 【答案】44π 【详1白引可得2[小 因cos2a= 25, 则sin2a=V1-cos22a 2√5 5 3 又B， 则a-a[] 10/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 肉na-0小e则aa-a-m0-0- 310 10 10, cos(a+B)=cos[2a+(B-a)]=cos2acos(B-a)-sin2asin(B-a) 、 25310√5.10√2 -X 5 105102 3 因为&∈ 42 B,所以妥≤a+B≤2x,故a+A=牙 4 举一反三目 【变式61) 【答案】 2品5 【详解】因为0<a<受则名a-名号 63, 因为a-君)-所以o-君引}-ya哥--周-手 所以，s e+}n[e-刮a-君m导ma 3x2+2x472 52 2510 72 故答案为： 10 【变式6-2】 【答案】(l)tana= 4 3 证明见解析 22a+B=4 π 【分析】 1 【详解】(1)因为sin+cos=5,ae(0,), 1 →2 sina cosa=- 2 所以1+2 sina cosa= 25 25,所以a∈ 11/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以sina-cosa=V(sina-cosa)}=V1-2 sinacosa= 497 V255’ 所以sina= 3 5.cosa=_ sina .4 所以tana= cosa 3 <-1, 所以a∈T3z (2’4 (2因为aa+角=片 4.1 所以tan(2a+B)=tan(a+a+B)= tana+tan(a+B) 1-tan a tan(a+B) 又因为B∈(-元，0)，a∈ π3元 2'4 所以2a+B0】 所以2a+B= 3π 4 题型07综合化简问题 典例精析 【典例7) 【答案】D 【详解】因为角a终边经过点P(-2,-2V5), 所以tana= -23 -2 =3,且为第三象限角， 所以a=4 3 +2kπ，k∈Z, 又将的终达披照原时计方向旋传5后得到狗B:所以B-a吾1+2x大e乙， 所以w+s0=isma:}-is如（臣+a+号}-im经+-isn号-e2 故选：D 12/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式71】 【答案】A 【详解】由题可得a+写丝边过点(-1)， 3 6×+5×53+6 3×2 3 2 6 故选：A 【变式72】 【答案】B 【详解】因为tano-名血月，所以 5 sina cos B=sin B,sina cos B= osa cossmB 5 又n(a+)=naos月+-对将macm-月号oosin入， 2 所以5 osi+ossin=84 ,解得cosasin=1 i7,故sin acos=3x1224 517851 所以sin(a-B)=si-on=24_12_-36 8517=-85 故选：B 题型08积化和差、和差化积 典例精析 【典例8】 【答案】8 【分析】方法一：展开，结合积化和差公式化简可得=1+c0sc0s3江cos cos- -cos- 7 7 7 再结合分圆恒等式求结论， 13/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方法二：由二倍角公式原式可化为20s2开2cos23江-2c0925 14 14 4,再根据分圆恒等式结论求值即可· 【详解】 法：(+em+em+ows-1+os号+oms9+o号+esm号+ COSCOS 7 7 5+c0 3os5 3π +COS cos π=1+cos+cos3+co cos- 7 7 +cos- 2 +cos4 7 7 7 7 3π os5红-1+coscos3cos5-1-coco 2元o03=1 17 7 7 1 7 7 88 头-：原式=2ow2ams2oaw晋-8sm语smn号=8x- 14 14 °14 7 26-8 E 举一反三 【变式8-1】 【答案】(l)由余弦的和差角公式：cos(a+P)=cosa cosB-sinasinBD, cos(a-B)=cosa cos B+-sinasinB②， (②_①)2，得血asinB-os(a-月-cos(a+p]. 由正弦的和差角公式：sin(a+P)=sina cosB+cosasin B③， sin(a-B)=sina cos B-cosasin B④， (@+④)2”得si=[sn(a+)+s如(a-] (2)2 (3)不存在，理由如下： sin 3+sin23+sin33+..+sin n/3 (sin +sin2+sin3sn)sin 2 ⑤ 2 sin V3 s咖v3+si咖5 sin2+sinsin3sin sinnv3 2 Sin V3 14/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3V3 + 3V5 55 2n-l)n3(2n+l)v3 cos -COS COS -COS cos 2 2 2sin v3 2 2n+1)v3 3 cos -COS- coS -1+1 2 2- 4 -1 2sin V3 2sin v3 2 4cos 2tan 4 4 设/(x)=anx-x=simt coSx 七，0<x< 2, 则-0，所以内0引单调范溶。 故f)>0对于任意的xe0引恒成立，则有m、点 4 4 则imv5+s血25+sin3v3++inN5<1=2W5 2x53, 故不存在正整数n使得i血V5+sin25+sin33++sinN5>2 3 【分析】(1)根据两角和与差的余弦、正弦公式求证即可： (2)将式子分子分母同时乘以sin 7，再用积化和差公式化简求解即可： (3)结合积化和差公式及三角恒等变换公式化简可得 sin 3+sin 23+sin33+..+sin n/31 5,设 2tan 4 f)=mx-x-0x,0<x<受，利用导数分析其单调性，进而求解即可 coSx 【详解】(1)略 2 4π 6π coS -+CoS +cos sin 2π 4π 6π 7 7 7 (2)cos +c0s 7 +COS- 7 π sin sincos 2π +sin cos π sin 3n ） 3π + 7 7 7 7 7 7 si 1 - sin 7 +sin 7 -） 1 7 Sin 7 2sin 15/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sin 7 1 2sn 2 (3)略 【变式8-2】 【答案】(1) 2wm+: 1o41.1 2ot2°-2 【f1设s-言n,c-豆w k百 ()由积化和差公式2 sinasinB=cos(a-)-cos(a+) 2m时nf写-)-om写+)-om-ae+ -22nk-2a--o+51 2sin I 21 1 tcos90-)-cos(90+7】 1° 3° 3°5° =[cos-cos ]+[cos-cos ]+[cos -cos905] 2 2 2 sg-cos71…+Heos89 2 2 2 2-c0s90°=0mn1 1 1° =cOS- +sin- 2 2 2 1° 雨2m5三o3+5m，+功/ 19 1 1° cos 。2=1+1=11°1 ”十 2 2 2 2sin 2 +22ot2+2 2tan 2 (2)由积化和差公式2 sina cosB=sin(B+a)-sin(B-a) 2sin- ok=mk+少)-nk- 2 =mr+分-smr-rme+-sme-r+smg+少sg- 4nw+5-smw-】 16/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 -sin 7° 5 2-sin7J+[sin号 1+[sin2 2 -sin 2 +…+Hsim90)-sin89】 2 =sin901 .1°1 1 2 -sin2 =cos 2 -sin 2 1° 1 1° 1。 即2sin号C=co 2 2-sin 1° 2-1-11c11 1° 2si02 2260t2-2 2tan 2 17/17 专题09 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （题型突破·举一反三） 题型01 利用两角的正余弦值求和差公式 1 题型02 利用两角正余弦乘积求和差公式 2 题型03 两角和差正余弦公式的逆用 4 题型04 两角和差正切公式的应用 5 题型05 两角和差正切公式的逆用 7 题型06 给值求值、给值求角 9 题型07 综合化简问题 9 题型08 积化和差、和差化积 9 ▌题型01 利用两角的正余弦值求和差公式 已知两角的三角函数值，直接代入sin(α±β)、cos(α±β)展开式求值。关键：先由角的范围及已知值，用平方关系求出另一三角函数值，注意符号判断；若已知正切，可先化弦或直接代入正切展开式。注意角的范围决定正负，勿漏讨论。 【典例1】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 【变式1-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 【变式1-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式1-3】（2026高三·全国·专题练习）若，其中，则_________． 【答案】 【详解】因为，所以，且， 故. 因，且，所以. 所以 ▌题型02 利用两角正余弦乘积求和差公式 给出sinαcosβ、cosαsinβ、cosαcosβ、sinαsinβ等乘积结构，逆用和差公式合并为sin(α±β)或cos(α±β)。技巧：观察符号匹配——"正余余正"配sin，"余余正正"配cos，符号同加异减要对应；常配合整体代换，合并后再求值或化简。 【典例2】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以， 故选：B. 【变式2-1】（多选）（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-2】（多选）（25-26高三上·辽宁·阶段检测）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，两角差的正切公式依次判断每个选项的正误即可. 【详解】对于A，由，，得，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 【变式2-3】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用两角和差的余弦公式先求出可判断B；再由同角的三角函数关系可得A；由二倍角的正弦公式可得C；利用和角的正切公式可得D. 【详解】对于A、B，，则， ，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以， 由， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. ▌题型03 两角和差正余弦公式的逆用 由展开式结构反向合并：sinαcosβ±cosαsinβ=sin(α±β)，cosαcosβ∓sinαsinβ=cos(α±β)。关键：识别"同名乘积"与符号规律，凑出两角α、β；常见于化简求值，如遇特殊结构可提取系数凑公式。逆用后往往化为一角一函数，便于求最值、周期。 【典例3】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）图①②是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，图③④是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，下图是由①②③④这四个直角三角形与一个矩形（图⑤）无缝拼接而成，且，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为（ ）           A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：①②两个直角三角形的两条直角边分别为和， ③④两个直角三角形的两条直角边分别为和，过作的垂线，垂足为， 因为，所以， 如图一，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为矩形与矩形面积的和， 设矩形的面积为，矩形的面积为， 而，， 则， 故所求五个图形的面积之和为， 方法二：将这五个图形重新组合得到一个边长为1，一个内角为的菱形， 如图二，菱形的高，则该菱形的面积为. 故选：B. 【变式3-2】（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由，即，可得， 则， 可得， 因为，即， 可得， 又因为，即，所以． 故选：B． 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. ▌题型04 两角和差正切公式的应用 正用tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。注意公式成立条件：α、β、α±β均不为kπ+π/2。技巧：已知tanα、tanβ直接代入；含根号时常凑tan60°、tan45°等特殊值；求值后注意角的范围确定终值，避免增根。 【典例4】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）的值为___________． 【答案】/ 【详解】 . 故答案为：. 【变式4-1】（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式4-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为锐角，，则，所以，， 由三角函数的定义可得，因此，. 故选：A. 【变式4-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，解得， 所以，. 故选：A. ▌题型05 两角和差正切公式的逆用 识别结构(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)逆用为tan(α±β)。常见变式：tanα+tanβ=tan(α+β)(1−tanαtanβ)，tanαtanβ=1−(tanα+tanβ)/tan(α+β)。技巧：遇"1"联想tan45°，遇√3联想tan60°，凑出两角和差形式后整体求值。 【典例5】（2026·江苏南通·一模）已知，，，则__________. 【答案】/ 【详解】因为，，，解得， 又，则，，则， ，因为 所以， 由， 解得. 故答案为： 【变式5-1】（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）_______． 【答案】 【详解】∵ ， ， ∴． 故答案为：4. 【变式5-2】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则__________. 【答案】 【详解】依题意，， 因为，， 即， 所以，又， 所以，， 所以. 故答案为：. ▌题型06 给值求值、给值求角 给值求值：抓角的变换，用已知角表示所求角（如β=(α+β)−α、2α=(α+β)+(α−β)），先求相关三角函数值，由范围定符号再代入。给值求角：①求所求角的某三角函数值（优先选该范围内单调的，常选正切）；②结合条件缩小角的范围防多解；③定角。口诀"先定象限，再定值"。 【典例6-1】（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 得，所以， 所以． 【典例6-2】（26-27高二上·贵州毕节·开学考试）若，，且，，则______ 【答案】/ 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因，则， 故 ， 因为，，所以，故. 【变式6-1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）设，且，则______． 【答案】/ 【详解】因为，则， 因为，所以， 所以， . 故答案为：. 【变式6-2】（安徽部分校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题B卷）已知． (1)求的值，并证明； (2)若，求的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 所以， 所以，     所以， 所以； （2）因为， 所以．     又因为，所以．     所以． ▌题型07 综合化简问题 原则："统一角、统一函数名、统一次数"。策略：切化弦、异角化同角、高次降幂、分式通分约分；遇1±sinα、1±cosα考虑配方或半角，遇sinαcosα用二倍角。化简目标最简形式，求值先化简再代入，注意特殊角与符号判断，整体代换减少运算。 【典例7】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为角终边经过点， 所以，且为第三象限角, 所以， 又将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，所以， 所以 故选：D 【变式7-1】（26-27高三·全国·二轮复习）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得终边过点， 则可得，， 则 . 故选：A 【变式7-2】（2026·安徽宿州·一模）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又，将代入， 所以，解得，故， 所以. 故选：B. ▌题型08 积化和差、和差化积 积化和差由两角和差公式相加减推出：sinαcosβ=½[sin(α+β)+sin(α−β)]等。和差化积令A=α+β、B=α−β代换反解：sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A−B)/2)。技巧：积化和差用于"降次合并"，和差化积用于"化积便于约分或定号"，注意系数½与2勿混。 【典例8】（26-27高二·全国·一轮复习）求． 【答案】 【分析】方法一：展开，结合积化和差公式化简可得，再结合分圆恒等式求结论. 方法二：由二倍角公式原式可化为，再根据分圆恒等式结论求值即可 . 【详解】  方法一：， 法二：原式． 【变式8-1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）（1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由余弦的和差角公式：①， ②， （②①），得 . 由正弦的和差角公式：③， ④， （③④），得. （2） （3）不存在，理由如下： 由 ， 设，， 则，所以在上单调递增， 故对于任意的恒成立，则有， 则， 故不存在正整数使得. 【分析】（1）根据两角和与差的余弦、正弦公式求证即可； （2）将式子分子分母同时乘以，再用积化和差公式化简求解即可； （3）结合积化和差公式及三角恒等变换公式化简可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2） . （3）略 【变式8-2】（2026高一上·全国·专题练习）（1）求值： （2）求值： 【答案】(1) ；(2) . 【详解】设, (1)由积化和差公式 即, (2)由积化和差公式 即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $