专题01 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数等5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题01 两角和与差、二倍角的三角函数 目录 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 类型二、二倍角的三角函数公式的正用与逆用 类型三、给值求角问题 类型四、给值求值问题 类型五、给角求值问题 类型六、辅助角公式的应用 压轴专练 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 解题技巧： 1.两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 2.常见变形：； 例1-1．已知，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 例1-2．已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 变式1-1．已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）设，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-3．中，，且，则（   ） A． B． C． D． 变式1-4．（多选）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 类型二、二倍角的三角函数公式的正用与逆用 解题技巧： （1） （2） （3） 常用变形： （1）降幂公式：；； （2）升幂公式：；； ； 例2-1．已知函数，则函数的值域为 ． 例2-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．若，且，则 . 变式2-4．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 类型三、给角求值问题 解题技巧： 1.角的观察：先观察已知角与所求角的关系，判断是否可通过和、差、倍、半等方式相互表示，找准角之间的联系。 2.公式选择：根据角的关系，选择合适的三角恒等变换公式，如和差公式、倍角公式、半角公式、诱导公式等，将未知角转化为已知角的组合。 3.符号判断：结合已知角的范围，判断所求角所在的象限，确定三角函数的符号，避免符号错误。 4.技巧总结：给角求值的核心是“凑角”——把要求的角，用已知的角通过加减乘除凑出来，再用公式展开计算。 例3-1．求值： ． 例3-2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 变式3-1． ． 变式3-2．“对数的发明”中，纳皮尔利用对数制作了每隔的八位三角函数表，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神.今天，我们可以利用已经学会的三角函数知识以及算法知识，借助计算机技术，很容易地制作出非常精确的三角函数表，具体算法如下：；以此为初始值，利用，可得精确三角函数表，请利用以上信息，求解（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（多选）下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 变式3-4．求值：__________. 类型四、给值求值问题 解题技巧： 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示. （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解 （3）常见的配角技巧： ①；； ②； ③； ④； ⑤． 例4-1．已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4-2．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 变式4-1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 变式4-3．已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 变式4-4．已知为锐角，若，则的最小值为 ． 类型五、给值求角问题 解题技巧： 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好 例5-1．已知，满足条件的的一个值为（    ） A． B． C． D． 例5-2．已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，则（ ） A． B． C． D． 变式5-3．（多选）使等式成立的的值可以为（ ） A. B. C. D. 变式5-4．（多选）已知满足，且，则（ ） A． B． C． D． 类型六、辅助角公式的应用 解题技巧： 1.辅助角公式 （其中） 2.常见辅助角结论 （1）；（2）； （3）；（4）． 3.识别形如asinx+bcosx的线性组合，这是辅助角公式的直接应用场景，核心是将两个不同名的三角函数合并为一个单一三角函数 4.符号判断：根据a,b的正负判断辅助角φ所在的象限，避免符号错误，确保角度与三角函数符号一致。 5.性质应用：化简为单一三角函数后，可直接分析周期性、单调性、最值、值域等核心性质，解决范围、最值、零点等问题 例6-1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 例6-2．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式6-1．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 变式6-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知，则的最小值为 ． 变式6-4.（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最大值为1. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若将函数的图像向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数，若方程在内有唯一解，求的取值范围. 压轴专练 1.已知，则（　　） A． B． C． D． 2.（   ） A． B． C． D．1 3.已知锐角满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 6.已知，，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 7.（多选）在中，角的对边分别为，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8.（多选）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ） A. B. C. 已知方程在上有三个根，记为，，，则 D. 对于任意的，当时一定有 9.已知角满足，，则 . 10.若，且，则 . 11.已知，满足，则的最大值为 . 12.已知，对，有恒成立，则的最大值为 ． 13.（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 14.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 15.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. (1)利用结论，求出的值；（提示：） (2)在切比雪夫多项式中证明：； (3)设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 两角和与差、二倍角的三角函数 目录 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 类型二、二倍角的三角函数公式的正用与逆用 类型三、给值求角问题 类型四、给值求值问题 类型五、给角求值问题 类型六、辅助角公式的应用 压轴专练 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 解题技巧： 1.两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 常见变形：； 例1-1．已知，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题可求得，进而得到，即，进而得到，再代入求即可． 【详解】，即， ， ， 由解得， ， ，则， ，又， ，即， 则，即， 解得或（舍去）． 故选：B． 例1-2．已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先将已知等式化简得到与的关系，再逐一验证选项是否满足该关系. 【详解】已知， 变形可得： 因此（）. 对于选项A：，时，则，成立. 对于选项B：，时，则，成立. 对于选项C：时，则，故该情形不成立. 对于选项D：，时，则，成立. 故选：C 变式1-1．已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 变式1-2．（多选）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 变式1-3．中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及差角余弦公式、三角形内角的性质得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 又为三角形的内角，则，而， 所以. 故选：B 变式1-4．（多选）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A. ，故A正确； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D正确. 故选：ACD 类型二、二倍角的三角函数公式的正用与逆用 解题技巧： （1） （2） （3） 常用变形： （1）降幂公式：；； （2）升幂公式：；； ； 例2-1．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用平方关系降幂，再利用二倍角公式化简后，结合正弦函数值域与二次函数性质得值域． 【详解】， 又， 所以， 故答案为：． 例2-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 变式2-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】由，而，得， 因此， 所以. 故选：B 变式2-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 变式2-3．若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 变式2-4．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化简得到，齐次化代入求值. 【详解】，即， 所以， 因为，所以， 所以 故，解得或（舍去）， 故选：C 类型三、给角求值问题 解题技巧： 1.角的观察：先观察已知角与所求角的关系，判断是否可通过和、差、倍、半等方式相互表示，找准角之间的联系。 2.公式选择：根据角的关系，选择合适的三角恒等变换公式，如和差公式、倍角公式、半角公式、诱导公式等，将未知角转化为已知角的组合。 3.符号判断：结合已知角的范围，判断所求角所在的象限，确定三角函数的符号，避免符号错误。 4.技巧总结：给角求值的核心是“凑角”——把要求的角，用已知的角通过加减乘除凑出来，再用公式展开计算。 例3-1．求值： ． 【答案】 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 例3-2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 【答案】2 【分析】由平方关系结合倍角公式得出答案. 【详解】因为，，所以， 故答案为： 变式3-1． ． 【答案】/ 【详解】因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 变式3-2．“对数的发明”中，纳皮尔利用对数制作了每隔的八位三角函数表，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神.今天，我们可以利用已经学会的三角函数知识以及算法知识，借助计算机技术，很容易地制作出非常精确的三角函数表，具体算法如下：；以此为初始值，利用，可得精确三角函数表，请利用以上信息，求解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设，则，代入解方程可得；方法二：根据，直接代入已知可得. 【详解】方法一：由以上信息知，； 设，则， 代入可得，， 即，移项得：， 两边同时平方化简得，解得. 因为，且， 即，所以. 方法二：， 代入可得. 故选：C. 变式3-3．（多选）下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB. 变式3-4．求值：__________. 【答案】 【详解】不妨设所求的值为，则， 由正弦的二倍角公式逆用有， 由诱导公式、二倍角公式及其逆用得 ， 最终由两角和差的正弦公式得 . 故答案为： 类型四、给值求值问题 解题技巧： 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示. （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解 （3）常见的配角技巧： ①；； ②； ③； ④； ⑤． 例4-1．已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 例4-2．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 【答案】D 【分析】先由，运用正切的差角公式计算出，再利用正切的二倍角公式，解得. 【详解】 ， 又因为， 则， 令，则有， 解得或，即或. 故选：D. 变式4-1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式结合已知条件可求出、的值，利用切化弦可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得，据此可求得所求代数式的值. 【详解】由可得， 所以，， ， 所以，， 因此，. 故选：B. 变式4-2．已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】结合，运用两角和与差的正弦公式构造出与，再利用诱导公式，即可得解. 【详解】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故选：D. 变式4-3．已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简，可得，结合条件求得，再利用和差角的正弦公式求得，进而求得答案. 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 变式4-4．已知为锐角，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换得，应用换元法，令及分类讨论、分式型函数的性质求的范围，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，而， 所以， 令，则，则， 当时，， 当时，， 若，，当且仅当时取等号，此时 若，，当且仅当时取等号，此时， 综上，，故的最小值为. 故答案为： 类型五、给值求角问题 解题技巧： 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好 例5-1．已知，满足条件的的一个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得 故， 因此或，. 则满足条件的的一个值为. 故选：D. 例5-2．已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得，，，进而结合选项分析求解即可. 【详解】由 ， 则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子； 当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，. 故选：C 变式5-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 变式5-2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可将，， 则， ， ，即或． 又，所以， 所以，所以选项A，B错误， 即，则，所以．则C错，D对， 故选：D 变式5-3．（多选）使等式成立的的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【详解】，， ，解得：， 当时，，使得等式成立的一个的值为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）. 故选：ABD. 变式5-4．（多选）已知满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，且，所以，， 则，所以，故A错误； 由，得，， 所以，则，故B正确； 由，，得，， ，所以，故C正确； 因为， 所以， 故，故D正确. 故选：BCD. 类型六、辅助角公式的应用 解题技巧： 1.辅助角公式 （其中） 2.常见辅助角结论 （1）；（2）； （3）；（4）． 3.识别形如asinx+bcosx的线性组合，这是辅助角公式的直接应用场景，核心是将两个不同名的三角函数合并为一个单一三角函数 4.符号判断：根据a,b的正负判断辅助角φ所在的象限，避免符号错误，确保角度与三角函数符号一致。 5.性质应用：化简为单一三角函数后，可直接分析周期性、单调性、最值、值域等核心性质，解决范围、最值、零点等问题 例6-1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期. 【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得 ， 所以的最小正周期为． 故选：C 例6-2．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案． 【详解】 ，其中， 处取得最大值， ，即，， ，①，， ，， ，②， ①②得， ， 即，解得，（舍去）， 由①得，， ， 在第一象限， 取，， 由，即， ，， ，， 使最小，则， 即， 若不等式恒成立，则， 故选：B 变式6-1．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【详解】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 变式6-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件，利用辅助角公式化简可得，利用二倍角公式可求得，再利用诱导公式计算即可求得结果. 【详解】由化简可得：，即，即， 所以， . 故选：D 变式6-3．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，或，分类讨论和的情况，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解． 【详解】由题可得，或， ①若，可得， 当时，不妨取，则， 所以， 因为，所以， 故， 当时，取得最小值； 当时，不妨取，则， 所以， 因为，所以， 所以； 所以当时，最小值为； ②若，即， 与①同理可得的最小值为， 故答案为：． 变式6-4.（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最大值为1. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若将函数的图像向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数，若方程在内有唯一解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用二倍角公式和辅助角公式将化为形式，结合最大值求的值，最后利用正弦函数的周期公式求解即可. （2）利用正弦函数的单调性条件求解即可. （3）按 “平移→伸缩” 顺序得到，分析其在区间内的单调性与值域，将方程解的个数转化为函数图像交点个数，结合图像求的取值范围即可. 【详解】（1）根据已知，，又的最大值为1，而的最大值为1， 因此，解得，所以，故函数的最小正周期. （2）由（1）知，函数， 取，解得， 故函数的单调递减区间为. （3）由（1）知，函数， 将函数的图像向右平移个单位可得， 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得，又方程在内有唯一解， 即在内的图象与的图象有唯一交点，作函数图象如下，在上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 所以或，故或. 压轴专练 1.已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 2.（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】应用诱导公式化简，再结合两角差正弦公式求解. 【详解】 原式 . 故选：C. 3.已知锐角满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可知，通过已知条件与和差角公式化简得的值，解方程得到，的值，再由二倍角公式求得的值，从而得出角的值. 【详解】由，得， 所以，又， 则， 解得或， 当时，因为，所以，此时不存在； 当时，因为，所以，而， 则， 因为为锐角，所以. 故选：B. 4.已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 5.已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 故选：D. 6.已知，，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由三角恒等变换得，设，转化为二次函数求最值； 解法二：由二倍角及和差化积得，记，则，转化为二次函数求最值． 【详解】解法 设，则，即 .故选D. 解法2： ，记，则 则. 故选：D. 7.（多选）在中，角的对边分别为，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用诱导公式及和差角的正弦公式得到，即可判断A，利用正弦定理将角化边得到，假设推出矛盾，即可判断B，利用正弦定理将边化角，结合推出C，结合A、C及诱导公式得到，最后结合平方关系求出，即可判断D. 【详解】对于A：因为， 又， 所以， 即， 所以，所以，故A正确； 对于B：因为，由正弦定理可得， 若，所以，又，所以无解，不符合题意，故B错误： 对于C：因为，由正弦定理可得， 又，所以，又，所以， 所以， 所以，即， 所以，又，所以，故C正确： 对于D：因为， 所以，解得或（舍去），故D正确. 故选：ACD． 8.（多选）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ） A. B. C. 已知方程在上有三个根，记为，，，则 D. 对于任意的，当时一定有 【答案】ACD 【详解】对选项A： ，正确； 对选项B：，， 整理得到，， 即，解得或（舍），错误； 对选项C：，设，，， 即，，或，或， 故三个根分别为，，， ，正确； 对选项D： ，正确； 故选：ACD 9.已知角满足，，则 . 【答案】/ 【分析】根据，代入化简即可. 【详解】因为，， 又， ， 即， 所以 ， ，解得 ． 故答案为：. 10.若，且，则 . 【答案】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，所以. . 所以 因为，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 11.已知，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由三角恒等变换得，则，令，得即可求解． 【详解】由得，， 得， 因为，得， 得，得， 由， 令，则，得， 得， 而， 由及，得，得， 当时，取得最大值为： 故答案为： 12.已知，对，有恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据对不等式化简，令，由题意得，恒成立，令，分为和两种情况分别求的最大值，即可求出答案. 【详解】因为， 所以不等式可化为， 令， 则可化为， 由题意得，恒成立， 令， 因为，则函数开口向下，图象的对称轴为，， 当时，即时，函数在上单调递减， 则，即， 又，两式相加得，当且仅当，即时等号成立， 故此时的最大值为； 当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 则，解得，则， 则， 令，则， 因为，则， 则， 其中，， 所以当时，取得最大值为， 此时，则， 则，当且仅当，时，等号成立，满足， 故此时的最大值为， 又， 所以的最大值为. 故答案为：. 13.（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【分析】（1）由，求出，利用倍角公式求和； （2），由两角差的正切公式计算； （3）由和，求出和，再由，利用两角差的余弦公式计算，可得的值. 【详解】（1）由，有， 已知，则， ， ； （2）已知，， 则； （3）由，得，，， 由，得， 由，得，，， 由，得， ， ， 所以. 14.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)当时，，证明见详解 【分析】（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解. （2）根据将用表示，再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明. 【详解】（1）因为 ， 故常数为； （2）推广：当时，． 证明：因为，则， ． 15.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. (1)利用结论，求出的值；（提示：） (2)在切比雪夫多项式中证明：； (3)设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由题意，建立方程，根据同角三角函数平方式，化简方程为一元二次方程，可得答案； （2）利用赋值法，表示出常数项与各项系数和，根据绝对值不等式，可得答案； （3）由参数表示函数在给定区间上的最值，根据绝对值不等式，可得答案. 【详解】（1），，， 所以， 即，由，解得. （2）由题意可知， 令，则；令，则， 所以. （3）法一： 由题意可知. 其中表示在上的最大值，是一个含有a，b的表达式. 是关于a，b函数的最小值. 令，则时，，， 当且，即且时， 由切比雪夫多项式的定义可知道时，. 结合切比雪夫多项式，. 当或时，， ， 故，当且仅当，时取到等号. 综上可得，实数的取值范围是. 法二： 记，则，，， 所以， 从而，当且仅当，时等号成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $