5.2 导数的运算（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 课标要点 1.熟记基本初等函数的导数公式，能直接求简单函数的导数。 2.掌握导数的四则运算法则，能正确进行和、差、积、商的求导运算。 3.理解复合函数的求导法则，能求一次内层的简单复合函数的导数。 4.能综合运用公式与法则求切线方程，解决与切线相关的参数与存在性问题。 学习重难点 重点： 1.基本初等函数的导数公式与四则运算法则的运用。 2.在一点处与过一点切线方程的求法。 难点： 1.复合函数结构的识别与内外层对应，求导不重不漏。 2.公切线、垂直切线等存在性问题的转化与求解。 知识点一 基本初等函数的导数公式 根据5.1导数的定义，可以推出基本初等函数的导数公式，它们是求导运算的基础，必须熟记： 原函数 导函数 原函数 导函数 （） （1）用公式的关键是认清函数类型 求导前先辨认：是幂函数（自变量作底、常数为指数），还是指数函数（常数为底、自变量作指数）；是对数函数，还是常数。例如，而、——常数的导数总为。 （2）负指数与分式指数先化简 遇到、、等，先化为、、再套幂函数公式；遇到先用诱导公式化简为再求导。 易错提醒 常数的导数为，如、，不要与混淆；与是两个不同的公式，前者底为常数、指数含自变量，后者恰好相反；对数公式中分母是，不要写成。 即学即练 1．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 知识点二 和、差与常数倍 设、为可导函数，则；（为常数）。即：和、差的导数等于导数的和、差，常数倍可以提到求导符号外面。 （1）多项式函数逐项求导 多项式求导时每一项分别求导再相加减，注意不要漏掉常数项（其导数为）与一次项。例如，则。 （2）先化简再求导 有些函数先化简可以减少法则的使用：如可展开为后逐项求导；含多个分数系数的多项式，先把系数整理清楚，避免符号出错。 函数 导函数 特别提醒 和、差法则对每一项分别起作用，逐项求导时不要漏项，也不要把常数倍丢掉；注意而不是。求导完成后得到的是导函数，如需某点的导数值，再把代入。 即学即练 2．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数，则（     ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数，则， 所以. 知识点三 乘法与除法法则 设、为可导函数，则乘法与除法法则为：；（）。 （1）法则的结构 乘积的导数是“轮流求导、各乘一次”两项之和，不能写成；商的导数分子为“上导下不导，减去上不导下导”，分母是分母函数的平方。例如，。 （2）能化简的先化简 如，化简后逐项求导得，比直接用商法则简便；但化简要保持等价（注意分母不为零的范围）。 运算 公式 注意 乘积 两项之和，轮流求导 除法 分子相减的顺序不能反 常数因子 可先用常数倍法则简化 易错提醒 乘积法则不能写成；商法则分子是“上导下不导减上不导下导”，减号前后的顺序不能颠倒，分母为且要求。形如的函数用商法则时，把看作分母函数，分母是，分子中才含。 即学即练 3．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项：为常数，故，A错误； 对于B选项： ，B错误； 对于C选项： ，C错误； 对于D选项： ，D正确. 知识点四 简单复合函数的导数 一般地，函数与复合而成的函数对的导数为，即：复合函数的导数等于“外层对内层的导数”乘以“内层对自变量的导数”。本节要求内层为一次函数（如、、）的简单复合。 （1）识别内外层，由外向内逐层求导 如由与复合，；由与复合，；由与复合，。 （2）不要漏乘内层的导数 复合求导最常见的错误是只对外层求导而漏乘，如把写成——正确结果是。求导完成后要把换回的表达式。 函数 外层/内层 导数 ， ， ， 易错提醒 复合求导分清内外层、由外向内逐层求导再相乘，不要漏乘内层的导数；本节限于一次内层的简单复合，多层嵌套不作要求。若能用恒等式先化简（如），化简后再求导往往更简便，但要注意化简前后的定义域关系。 即学即练 4．（24-25高二下·北京·期中）函数的导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以函数的导函数 . 知识点五 混合运算的求导顺序 对一个既含四则运算又含复合结构的函数求导，先分析整体结构，再确定每一步用公式、法则还是链式：加减看项、乘除看因子、复合看层次。每一步只处理一层运算，逐层展开。 （1）典型结构的处理顺序 ①：乘积结构，先乘积法则，再分别用幂函数与余弦公式；②：商结构，分子分母分别求导；③：乘积结构，其中还需复合求导；④：常数倍提出，外层、内层。 （2）求导完成后再代值 导数运算全部完成得到后，再把代入求；不要在求导过程中提前代入，也不要把当成。 结构 首选方法 示例 加减各项 逐项求导 乘除因子 乘积/商法则 ， 内外层结构 链式（逐层相乘） 特别提醒 先化简（拆对数、去常数、降幂）再求导能减少出错；混合结构按“加减看项、乘除看因子、复合看层次”逐层处理；所有求导完成后再代具体值。 即学即练 5．（25-26高二下·安徽·阶段检测）设函数的导数为，且，则在时的瞬时变化率为（    ） A．3e3 B．e3 C．0 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 令，得，解得， 故在时的瞬时变化率为． 题型01 基本初等函数的求导 典｜例｜精｜析 【例1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）. （2）. （3），所以. （4）. （5） 所以. 【变式1-2】（多选）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 题型02 四则运算法则求导 典｜例｜精｜析 【例2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）方法一： . 方法二： 因为， 所以. 【变式2-2】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由指数函数的导数公式得，故A正确， 对于B，由正弦函数的导数公式得，故B错误， 对于C，由对数函数的导数公式和导数的乘法法则得，故C正确， 对于D，由导数的除法法则得，故D正确. 题型03 简单复合函数的求导 典｜例｜精｜析 【例3】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. （4）因为， 所以. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】求下列函数的导数. (1) (2)； (3). 【答案】(1). (2) (3). 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式3-2】（多选）下列函数在处的导数值大于0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：，求导得，代入得，不符合要求； 选项B：，求导得，代入得，符合要求； 选项C：，求导得，代入得，符合要求； 选项D：，求导得，代入得，不符合要求. 题型04 在一点处的切线方程 典｜例｜精｜析 【例4】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，切点为： 得，即切点为； ，代入得斜率； 切线方程为，整理得. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】曲线在处的切线方程为_________． 【答案】 （或） 【详解】的定义域为,，即切点为, ，得切线斜率, 由直线的点斜式方程得，所以切线方程为（或）. 【变式4-2】已知函数． (1)当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； (2)设函数，求函数在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）， 则， ，， 则函数在点处的切线方程为， 整理得. 题型05 过一点的切线与双切线 典｜例｜精｜析 【例5】已知曲线 . (1)求曲线在点 处的切线方程； (2)求曲线过点 的切线方程. 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）已知函数，求导得， 则曲线在点处的切线斜率， 由点斜式可得切线方程为， 整理得. （2）分两种情况讨论： ① 当切点为时，由（1）得切线方程为； ② 当切点不为时，设切点为，其中， 则切线斜率， 又切线过点，故， 因此有， 化简得， 整理得，解得（舍去）， 此时切线斜率，切线方程为，即， 综上，过点的切线方程为或. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. （2）①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 【变式5-2】已知函数； (1)求曲线在点的切线方程． (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1). (2)或. 【详解】（1）由题可得，切点为点，所以所求切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. （2）设切点为，则所求切线斜率为， 当时，所求切线切点为，斜率为4， 则所求切线方程为，即. 当时，所求切线切点为，斜率为， 则所求切线方程为，即. 综上，曲线过点的切线方程为或. 题型06 公切线问题 典｜例｜精｜析 【例6】（多选）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， 直线为曲线与的公共切线，， 由①得，两边取自然对数，得，， 代入②，得，即，解得或， 当时，，，直线的方程为；当时，，，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：AC. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________. 【答案】2 【详解】因为， 所以， 则在点处的切线方程为：，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，则 ，解得， 又，所以， 所以， 故答案为：. 【变式6-2】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________. 【答案】1 【详解】设，则，设切点为，则， 则切线方程为，即， 直线过定点， 所以，所以， 设，则，设切点为，则， 则切线方程为，即， 直线过定点， 所以，所以， 则是函数 和的图象与曲线交点的横坐标， 易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称， 因此点关于直线对称， 从而，， 所以． 故答案为：1. 题型07 已知切线（斜率）求参数 典｜例｜精｜析 【例7】若函数的图象与直线相切，则________. 【答案】2 【详解】根据导数的意义列方程组求解即可. 因为，所以. 设切点为，由题意知，，解得. 所以. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【详解】令，则，∴， 即曲线在点处的切线是， 令，则，令，则， ∴切点坐标为，即，∴. 【变式7-2】曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 题型08 垂直切线与存在性问题 典｜例｜精｜析 【例8】函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数 ，则， 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设在和处的切线互相垂直，则， 即， 则， 所以，， 又，所以或， 所以方程变为，即. 故选：B 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，曲线上存在两条切线相互垂直， 所以，只需且，即， 所以，即. 故选：A 【变式8-2】若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由，故，易知切线的斜率存在． 因为曲线在与处的切线互相垂直， 则，而， 不妨设，， 则，， 即，， 此时． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 而， 易得， 结合选项，取，得，经检验，当时，无法使的值取到，和1， 因此，的值可能是. 基础通关 一、单选题 1．函数在处的导数（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由，得. 2．已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，令，解得，则切点坐标为，可得. 3．下列各组函数中，导函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：由函数和，可得和，A错误； 对于B：由函数和，可得和，B错误； 对于C：由函数和，可得和，C错误； 对于D：由函数和，可得和，D正确． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，则， 故. 二、填空题 5．设函数，则______． 【答案】 【详解】由题知，所以，， 所以. 6．函数在处的导数值为________ 【答案】 【详解】，. 7．函数 的导函数为_______ 【答案】 【详解】令，则. 8．函数导数为_________． 【答案】 【详解】函数的定义域为 ， 可看作由与复合而成， 则. 9．一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为________. 【答案】12 【详解】因为质点的运动方程为，所以， 所以当时的瞬时速度为. 故答案为： 10．函数，则____________. 【答案】 【详解】解：由题可得，所以. 11．曲线在处的切线方程为_______． 【答案】 【详解】， 所以切线方程为，整理得， 故答案为：． 12．已知曲线，则曲线过原点的切线方程为______. 【答案】 【详解】由，则， 设切点为， 所以，解得， 所以切点为，切线的斜率 所以过原点的切线方程为：，即. 故答案为： 13．已知函数，若，则______. 【答案】3 【详解】因为，所以，则， 由导数定义知，所以. 14．若直线与曲线相切于点，则m=___. 【答案】 【详解】由题意，，则，因为，所以， 则， 即，由于，则. 三、多选题 15．下面导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由导数的运算公式，得，故A错误，BCD正确. 四、解答题 16．求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数可以看作函数，和的复合函数， 所以， 所以当时，； （2）函数的导数为， 当时，. 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切．求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得； 则，切点为； 故切线方程为，即； （2）设切点坐标，则，； 则切线方程为， 即，整理得； 因为切线方程为，故，解得； 故． 18．已知函数，. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或； (2), 【详解】（1）因为， 所以， 设过点直线与函数相切于点， 切线方程为， 代入点， 得， 整理得， 即， ， 解得或， 当时，切点为, 则切线方程为：； 当时， 求得切线方程为； 所以切线方程为：或； （2）由（1）可得曲线在点处的切线， 即， 由，可得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得, 此时切点为， 所以曲线在处的切线方程为， 即，与平行，满足题意， 所以. 19．已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）易知的定义域为， 由可得， 又，可得，解得； 因此在点处的切线的斜率为，又此时， 所以切线方程为，即. （2）由（1）可得的定义域为，且，则； 设切点坐标为， 所以切线斜率为，此时切线方程为， 又点在切线上，即， 整理可得，即，解得或（舍）； 当时，切线方程为； 综上可得过点的切线方程为. 20．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得 ． 方法二：，则 所以在处的切线方程为，整理得 （2）设，在P处的切线斜率为 ， 即，由斜率，， 且得，. 素养提升 1．若直线与曲线和曲线同时相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线直线与曲线相切于， 与曲线相切于点， 曲线，其导数，则有， 则在点处切线的方程为， 即，曲线，其导数，则有， 则在处切线的方程为，即， 则有，则有， 又由，则有，则， 则； 故选：A． 2．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，且，则不等式的解集为_____. 【答案】 【详解】由题意，， 令，则， 因为，即，所以， ， 所以不等式的解集等价于， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则关于______对称；______． 【答案】 【详解】①由条件，可知， 求导化简得：，即关于直线对称； ②由可得：， 即，为常数，， ， 代入得：， 即， 代入得：， 令得：，，，， 令得：，，，， 故， 进而，， 代入得， 即，是周期为的函数， 令得，则， 又， 故. 4．已知函数，t，k为常数． (1)若，，求函数解析式； (2)若斜率为k的直线l与的图像相切，求l与图像公共点的坐标； (3)若函数在的最大值恒大于s，其中m，n为常数，求s的取值范围． 【答案】(1)或； (2)，，，； (3). 【详解】（1）， 则根据题意得， 化简得， 则. 则或. 即或. （2）令， 可得或， ①当切点为时，， 则切线方程为， 联立 解得或，， 此时公共点为和. ②当切点为时，. 切线方程为， ， . 解得或，， 此时公共点为和， 综上所述：公共点坐标为，，，. （3）记在的最大值为. 一方面， 则 即. 另一方面，取，， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 易知最大值在处取得，此时. 故. 迁移创新 1．若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________． 【答案】 【详解】由，得， 设存在一条直线，是曲线在处的切线，又是该曲线在处的法线，且， 则可得， 又这条直线的斜率为，即得， 化简得，即， 则，结合，得，即， 代入到中，得， 令，则，即，该方程存在非负实数根， 由于，故方程的两根为正数， 故，得， 解得， 故的最大值是. 2．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 3．（多选）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 课标要点 1.熟记基本初等函数的导数公式，能直接求简单函数的导数。 2.掌握导数的四则运算法则，能正确进行和、差、积、商的求导运算。 3.理解复合函数的求导法则，能求一次内层的简单复合函数的导数。 4.能综合运用公式与法则求切线方程，解决与切线相关的参数与存在性问题。 学习重难点 重点： 1.基本初等函数的导数公式与四则运算法则的运用。 2.在一点处与过一点切线方程的求法。 难点： 1.复合函数结构的识别与内外层对应，求导不重不漏。 2.公切线、垂直切线等存在性问题的转化与求解。 知识点一 基本初等函数的导数公式 根据5.1导数的定义，可以推出基本初等函数的导数公式，它们是求导运算的基础，必须熟记： 原函数 导函数 原函数 导函数 （） （1）用公式的关键是认清函数类型 求导前先辨认：是幂函数（自变量作底、常数为指数），还是指数函数（常数为底、自变量作指数）；是对数函数，还是常数。例如，而、——常数的导数总为。 （2）负指数与分式指数先化简 遇到、、等，先化为、、再套幂函数公式；遇到先用诱导公式化简为再求导。 易错提醒 常数的导数为，如、，不要与混淆；与是两个不同的公式，前者底为常数、指数含自变量，后者恰好相反；对数公式中分母是，不要写成。 即学即练 1．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 和、差与常数倍 设、为可导函数，则；（为常数）。即：和、差的导数等于导数的和、差，常数倍可以提到求导符号外面。 （1）多项式函数逐项求导 多项式求导时每一项分别求导再相加减，注意不要漏掉常数项（其导数为）与一次项。例如，则。 （2）先化简再求导 有些函数先化简可以减少法则的使用：如可展开为后逐项求导；含多个分数系数的多项式，先把系数整理清楚，避免符号出错。 函数 导函数 特别提醒 和、差法则对每一项分别起作用，逐项求导时不要漏项，也不要把常数倍丢掉；注意而不是。求导完成后得到的是导函数，如需某点的导数值，再把代入。 即学即练 2．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数，则（     ） A．1 B．0 C．2 D． 知识点三 乘法与除法法则 设、为可导函数，则乘法与除法法则为：；（）。 （1）法则的结构 乘积的导数是“轮流求导、各乘一次”两项之和，不能写成；商的导数分子为“上导下不导，减去上不导下导”，分母是分母函数的平方。例如，。 （2）能化简的先化简 如，化简后逐项求导得，比直接用商法则简便；但化简要保持等价（注意分母不为零的范围）。 运算 公式 注意 乘积 两项之和，轮流求导 除法 分子相减的顺序不能反 常数因子 可先用常数倍法则简化 易错提醒 乘积法则不能写成；商法则分子是“上导下不导减上不导下导”，减号前后的顺序不能颠倒，分母为且要求。形如的函数用商法则时，把看作分母函数，分母是，分子中才含。 即学即练 3．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点四 简单复合函数的导数 一般地，函数与复合而成的函数对的导数为，即：复合函数的导数等于“外层对内层的导数”乘以“内层对自变量的导数”。本节要求内层为一次函数（如、、）的简单复合。 （1）识别内外层，由外向内逐层求导 如由与复合，；由与复合，；由与复合，。 （2）不要漏乘内层的导数 复合求导最常见的错误是只对外层求导而漏乘，如把写成——正确结果是。求导完成后要把换回的表达式。 函数 外层/内层 导数 ， ， ， 易错提醒 复合求导分清内外层、由外向内逐层求导再相乘，不要漏乘内层的导数；本节限于一次内层的简单复合，多层嵌套不作要求。若能用恒等式先化简（如），化简后再求导往往更简便，但要注意化简前后的定义域关系。 即学即练 4．（24-25高二下·北京·期中）函数的导函数（   ） A． B． C． D． 知识点五 混合运算的求导顺序 对一个既含四则运算又含复合结构的函数求导，先分析整体结构，再确定每一步用公式、法则还是链式：加减看项、乘除看因子、复合看层次。每一步只处理一层运算，逐层展开。 （1）典型结构的处理顺序 ①：乘积结构，先乘积法则，再分别用幂函数与余弦公式；②：商结构，分子分母分别求导；③：乘积结构，其中还需复合求导；④：常数倍提出，外层、内层。 （2）求导完成后再代值 导数运算全部完成得到后，再把代入求；不要在求导过程中提前代入，也不要把当成。 结构 首选方法 示例 加减各项 逐项求导 乘除因子 乘积/商法则 ， 内外层结构 链式（逐层相乘） 特别提醒 先化简（拆对数、去常数、降幂）再求导能减少出错；混合结构按“加减看项、乘除看因子、复合看层次”逐层处理；所有求导完成后再代具体值。 即学即练 5．（25-26高二下·安徽·阶段检测）设函数的导数为，且，则在时的瞬时变化率为（    ） A．3e3 B．e3 C．0 D．3 题型01 基本初等函数的求导 典｜例｜精｜析 【例1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-2】（多选）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 四则运算法则求导 典｜例｜精｜析 【例2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 【变式2-2】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 简单复合函数的求导 典｜例｜精｜析 【例3】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】求下列函数的导数. (1) (2)； (3). 【变式3-2】（多选）下列函数在处的导数值大于0的是（   ） A． B． C． D． 题型04 在一点处的切线方程 典｜例｜精｜析 【例4】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】曲线在处的切线方程为_________． 【变式4-2】已知函数． (1)当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； (2)设函数，求函数在点处的切线方程． 题型05 过一点的切线与双切线 典｜例｜精｜析 【例5】已知曲线 . (1)求曲线在点 处的切线方程； (2)求曲线过点 的切线方程. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【变式5-2】已知函数； (1)求曲线在点的切线方程． (2)求曲线过点的切线方程． 题型06 公切线问题 典｜例｜精｜析 【例6】（多选）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________. 【变式6-2】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________. 题型07 已知切线（斜率）求参数 典｜例｜精｜析 【例7】若函数的图象与直线相切，则________. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 【变式7-2】曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 题型08 垂直切线与存在性问题 典｜例｜精｜析 【例8】函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D．1 基础通关 一、单选题 1．函数在处的导数（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．下列各组函数中，导函数相同的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．设函数，则______． 6．函数在处的导数值为________ 7．函数 的导函数为_______ 8．函数导数为_________． 9．一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为________. 10．函数，则____________. 11．曲线在处的切线方程为_______． 12．已知曲线，则曲线过原点的切线方程为______. 13．已知函数，若，则______. 14．若直线与曲线相切于点，则m=___. 三、多选题 15．下面导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 四、解答题 16．求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切．求实数的值． 18．已知函数，. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 19．已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程. 20．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 素养提升 1．若直线与曲线和曲线同时相切，则（   ） A． B． C． D． 2．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，且，则不等式的解集为_____. 3．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则关于______对称；______． 4．已知函数，t，k为常数． (1)若，，求函数解析式； (2)若斜率为k的直线l与的图像相切，求l与图像公共点的坐标； (3)若函数在的最大值恒大于s，其中m，n为常数，求s的取值范围． 迁移创新 1．若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________． 2．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 3．（多选）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $