5.3.2函数的最大（小）值 作业设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高中数学一课时多学科融合作业设计 人教A版·选择性必修第二册 5.3.2 第2课时《函数的最大（小）值》 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 “寻找最优解”——导数与多学科融合分层作业 学段学科 高中数学（数学·物理·经济·生物·工程·环境） 适用年级 高二年级 教材版本 人教A版普通高中教科书《数学 选择性必修第二册》 对应内容 第五章 一元函数的导数及其应用，5.3.2 第2课时：函数的最大（小）值 作业类型 课后作业／跨学科实践探究（1课时） 完成时长 建议总时长60分钟（基础8分钟＋中等12分钟＋提升15分钟＋探究25分钟） 设计者 数学教研团队（姓名按实际填写） 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：落实数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模和直观想象等核心素养；能够借助导数研究函数单调性及最值，在适当的生活与学科情境中建立函数模型、解释结果。具体学业质量水平应结合学校的评价方案判定。 教材地位：本课时承接“导数与函数的单调性”“函数的极值”，发展为闭区间连续函数最值问题及实际优化问题。核心方法为“确定定义域—求导—寻找驻点/不可导点—比较端点和候选点—解释最优解”。 教学重难点：区分极值与最值；完整列举候选点；处理实际问题的取值范围与单位；识别“数学最优”与学科约束下的“可行最优”。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 会求常见函数的导数，能利用导数判断单调性与极值，了解二次函数模型。 现有困惑 容易忽略区间端点或实际约束，把局部极值误当全局最值；面对应用问题不会设置变量及检验结果。 差异分析 基础学生需要可视化的流程支架；中等学生加强多信息处理；学有余力学生挑战约束优化和参数讨论。 3. 设计意图 以“最优解”贯穿13题，按基础单选—中等多选—能力填空—拓展探究递进。选取信息技术、运动学、企业经营、生物变化、建筑工程与环境治理的简化可计算模型，促使学生经历建模、求导、比较、验证与解释的全过程；通过多选辨析、跨学科论证和分层评价实现“知识迁移—证据推理—责任意识”的统一。情境数据均为教学原创的理想化设定，不代表真实实验测量或行业标准。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 理解闭区间最值与极值的区别，列出正确候选值。 数学抽象、数学运算 1—4题正确率与理由 能力运用 B 对给定区间和实际情境正确求导、比较与解释结果。 数学运算、数学建模 5—11题建模和计算过程 思维发展 C 辨析多选命题，推导约束下最优解及参数变化。 逻辑推理、数学建模 6、12、13题推理链与分类 情感态度 D 关注资源节约、环境约束与科学决策，形成核验模型的意识。 理性精神、应用意识 10—13题解释与反思 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 设计意图 对应作业目标编号 参考答案/评价要点 1 单选·基础 求三次函数闭区间最大值 辨析端点与内部极值 A 2 2 单选·基础 极值与最值的必要条件辨析 区分驻点、极大值与最大值，理解导数必要条件 A C 3 单选·基础 分式函数最小值 利用导数判断先降后升 A 4 4 多选·中等 算法运行效率的最优化 在技术情境中辨析导数符号、最大值与最小值 B、C A、B、D 5 多选·中等 速度、加速度与动能峰值 利用导数研究动能的单调性和峰值 B B、C、D 6 多选·中等 经济利润优化 构建收入、成本、利润模型 B、C A、B、C 7 填空·提升 生物活性变化峰值 指数函数最值 B 8 填空·提升 抛物线内接矩形面积 几何函数建模 B 32 9 填空·提升 资源消耗优化 约束区间内的最值 B、D 12 10 解答·探究 抛体最高点与高度区间 物理模型与不等式 B、D 最高21 m；t∈[1,3] s 11 解答·探究 无盖圆柱容器耗材最小 体积约束转单变量 B、D r=h=3 cm；27π cm² 12 解答·探究 边际利润与全局最优 导数符号和端点比较 B、C x=6；最大100（单位） 13 解答·探究 环保阈值约束下的成本最优 建立可行区间并对不同阈值分类求最值 B、C、D 4≤k<5：左端点；5≤k≤8：x=3 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 最值/极值辨别准确、候选点齐全 基本理解，少量疏漏 概念混淆或遗漏关键点 20% ____ 能力运用 建模恰当、求导与计算正确、单位完整 过程基本合理，偶有计算失误 模型或方法不当 30% ____ 思维发展 证据充分，能正确比较和分类讨论 思路基本清楚但论证欠严密 推理链缺失 30% ____ 情感态度 能主动评价模型假设、环保与资源影响 能作必要解释与反思 仅给数字答案，缺少解释 20% ____ 建议评分：1—3题每题3分；4—6题每题4分（全选对4分，漏选且无错选得2分，错选0分）；7—9题每题5分；10—13题分别为14、16、16、18分，合计100分。多选及主观题评分以第七部分标准为准。 六、试题详情 第一层：基础巩固·单项选择（1—3题，共9分） 1．已知 ，，则 f(x) 的最大值为（　）。 A．2　　B．0　　C．−2　　D．1 2．设函数 在 上连续、在 内可导。下列结论一定正确的是（　）。 A．驻点必是最大值点　　B．最大值必在区间内部取得 C．若内点 取最大值，则 　　D．有极大值则端点不可能取最大值 3．设函数 ，，则该函数在给定区间上的最小值为（　）。 A．4　　B．5　　C．　　D．6 第二层：综合辨析·多项选择（4—6题，共12分） 4．【信息技术融合】在简化的算法运行模型中，并发强度 （按连续变量近似），单位资源处理效率为 （无量纲）。下列说法正确的是（　）。 A．并发强度由1增至2，效率上升　　B．最大效率为3，在x=2取得 C．　　D．效率最小值在x=8取得 5．【物理融合·运动与动能】质量为2 kg的物体沿直线运动，在 （s）内，速度为 （m/s）。动能计算式为 （J）。下列说法正确的是（　）。 A．在 s时，加速度达到最大值 B．在 s时，动能达到最大值16 J C．在 s时，加速度为−2 m/s² D．运动开始和结束时，速度均为0 6．【经济融合】某企业销售量 单位：百件），收入 ，成本 金额单位：千元），利润 。下列说法正确的是（　）。 A．最优销售量为 B．最大利润为208千元 C．当 时利润为80千元　 D．区间内利润始终非负 第三层：能力提升·填空（7—9题，共15分） 7．【生物融合】某培养条件下的相对活性指标近似为 ， 为小时）。该指标的最大值为________。 8．【建筑与几何融合】抛物线 与 x 轴围成的区域内，作一个关于 y 轴对称、底边在 x 轴上的矩形，上顶点在抛物线上。矩形最大面积为________（面积单位）。 9．【环境工程融合】某装置在运行参数 下，单位处理量的综合资源消耗模型为 无量纲）。该消耗的最小值为________。 第四层：拓展探究·解答（10—13题，共64分） 10．【物理融合·抛体运动】一个质点竖直向上抛出，其离地高度 ，研究时间为 。（1）求达到最高点的时刻及最大高度。（2）求 的时间区间。（3）解释为什么不能只看 而忽略区间端点。 11．【工程融合·节材设计】设计一个无盖圆柱形容器，容积固定为 27π cm³，忽略材料厚度。设底面半径为 r cm，高为 h cm。（1）建立总用材面积 S 关于 r 的函数并写出定义域。（2）用导数求最节材的 r、h 及面积。（3）说明所得驻点为何是全局最小值。 12．【经济融合·非凸利润模型】某项目投入量 单位：百万元），理想化净收益 单位：百万元）。（1）求 P 的单调区间及区间内局部极值。（2）求允许投入范围内的最大净收益及对应投入。（3）说明“边际收益为零”是否必然意味着全局最大。 13．【环保与运营决策融合·参数探究】某治理工艺选择参数 ，单位运行成本 单位：万元）；排放指标 单位：指标点）。环保监管要求 ，其中阈值 。（1）求不考虑排放约束时的最低成本和最优参数。（2）证明满足环保约束的可行参数区间。（3）讨论不同 k 下的最低成本及对应参数。（4）比较 与 的方案，并给出一条模型局限性说明。 七、答案与解析（含评分标准） 1．【答案】A 【解析】。在[0,2]上的候选点为0、1、2，函数值分别为0、−2、2，因此最大值为2。 【评分标准】3分：答案正确3分。 2．【答案】C 【解析】选C。闭区间内部的可导最大值点满足导数为0，这是必要条件。A错误：驻点不一定是最大值点；B错误：最大值也可能在区间端点取得；D错误：局部极大值不排除端点处取到更大的函数值。 【评分标准】3分。 3．【答案】A 【解析】；[1,2]递减，[2,4]递增。，，，故最小值为4。 【评分标准】3分。 4．【答案】A、B、D 【解析】对效率函数求导得 。由于分母恒正，在 上导数为正，在 上导数为负，故A、B正确；，，。比较得最小值在 处取得，且 ，所以C错误、D正确。 【评分标准】4分：全对4分；只漏选且无错选2分；错选0分。 5．【答案】B、C、D 【解析】因为 ，故在 s时加速度为0，并非最大，A错误。由于质量为2 kg，；其导数为 。在 内动能递增，在 内动能递减；，（J），B正确。（m/s²），C正确；，D正确。 【评分标准】4分：全对4分；只漏选且无错选2分；错选0分。 6．【答案】A、B、C 【解析】，。最大值在处取得，；；，所以D错误。 【评分标准】4分：全对4分；只漏选且无错选2分；错选0分。 7．【答案】 【解析】。由于指数因子恒正，导数在 时为正，在 时为负，所以在 时取得最大值 。 【评分标准】5分：答案5分。 8．【答案】32 【解析】设矩形右上顶点为(x,12−x²)，，则。，为内部极大点；，。 【评分标准】5分。 9．【答案】12 【解析】在[1,2]递减、[2,8]递增，故处取最小值。 【评分标准】5分。 10．【答案】（1）t=2 s，最大高度21 m；（2）[1,3] s；（3）需比较全部候选点 【解析】（1），为驻点；，，，所以最高21 m。（2）−5t²+20t+，即t²−4t+，得。（3）驻点只能给出内部候选值；闭区间最值还可能在端点取得，因此须同时比较端点值。 【评分标准】14分：（1）求导与驻点2分、端点比较及结论3分；（2）不等式变形2分、解集3分；（3）解释4分。 11．【答案】r=3 cm，h=3 cm；Smin=27π cm² 【解析】容积πr²，故，。无盖面积。，故。导数在(0,3)为负，在(3,+∞)为正，取得唯一全局最小值；；。 【评分标准】16分：（1）容积约束3分、面积表达式3分；（2）导数与驻点3分、r和h各1分、正确面积2分；（3）符号与全局性3分。 12．【答案】x=6 时最大净收益100百万元 【解析】。[1,2]上递减、[2,6]上递增、[6,8]上递减。局部极小），局部极大）；端点，，所以全局最大为100，在处取得。边际收益为零也可能对应极小点（，且端点也可能产生全局最大。 【评分标准】16分：（1）求导2分、单调区间4分、极值2分；（2）端点比较3分、结论2分；（3）说明3分。 13．【答案】 （1）不考虑排放约束时，最优参数为 ，最低成本为6万元。 （2）当 时，可行参数区间为 。 （3）当 时，最优参数为 ，最低成本为 万元； 　　当 时，最优参数为 ，最低成本为6万元。 （4）当 时最低成本为 万元；当 时为6万元。 【解析】（1），在 递减，在 递增。因此不考虑排放约束时，，最优参数为 。 （2）由 得 ，即 。由于 ，故 ，该区间始终包含于 ，即为可行区间。 （3）当 时，，可行区间位于成本函数的递增部分，最优参数为左端点 ，将其代入 ，得最低成本。当 时，，参数 可行且为原函数全局最小点，最低成本为6万元。 （4） 时只能取 ，成本为 万元； 时可取 ，成本为6万元，降低了 万元。模型未考虑设备规格离散化与测量误差，实际应用需校验参数。 【评分标准】18分：（1）导数与无约束最优3分；（2）可行区间4分；（3）分类界点2分、两类结论各3分；（4）数值对比2分、局限性1分。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $